Прямоугольная функция

Функция, график которой равен 0, затем 1, затем снова 0, причем график непрерывен почти всюду.

Прямоугольная функция при a = 1

Прямоугольная функция ( также известная как функция прямоугольника , функция rect , функция Пи , функция Пи Хевисайда , ^[1] вентиль , единичный импульс или нормализованная функция прямоугольного ряда ) определяется как ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\right.}$$

Альтернативные определения функции могут быть равны 0, ^[3] 1, ^{[4] [5]} или неопределены. ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

Его периодическая версия называется прямоугольной волной .

История

Функция rect была введена Вудвордом ^[6] в ^[7] как идеальный оператор вырезания , вместе с функцией sinc ^{[8] [9]} как идеальным оператором интерполяции , и их контроперациями, которые являются выборкой ( оператор гребенки ) и репликацией ( оператор rep ) соответственно.

Связь с функцией boxcar

Прямоугольная функция является частным случаем более общей функции прямоугольного ряда :

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=H(t-(X-Y/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(t-X-Y/2)}$$

где — ступенчатая функция Хевисайда ; функция центрирована в точке и имеет длительность от до ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X-Y/2}$ ${\displaystyle X+Y/2.}$

Преобразование Фурье прямоугольной функции

График нормализованной функции (т.е. ) с ее спектральными частотными компонентами. ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (\pi x)}$

Унитарные преобразования Фурье прямоугольной функции ^[2] используют обычную частоту f , где — нормализованная форма ^[10] функции sinc , и используют угловую частоту , где — ненормализованная форма функции sinc . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),}$$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$

Для его преобразование Фурье равно Обратите внимание, что пока определение импульсной функции мотивируется только ее поведением в опыте временной области, нет никаких оснований полагать, что колебательная интерпретация (т. е. функция преобразования Фурье) должна быть интуитивной или непосредственно понимаемой людьми. Однако некоторые аспекты теоретического результата могут быть поняты интуитивно, поскольку конечность во временной области соответствует бесконечной частотной характеристике. (И наоборот, конечное преобразование Фурье будет соответствовать бесконечной временной характеристике.) ${\displaystyle \operatorname {rect} (x/a)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.}$$

Связь с треугольной функцией

Мы можем определить треугольную функцию как свертку двух прямоугольных функций:

$${\displaystyle \operatorname {tri} =\operatorname {rect} *\operatorname {rect} .\,}$$

Использование в теории вероятности

Рассматривая прямоугольную функцию как функцию плотности вероятности , мы видим, что она является частным случаем непрерывного равномерного распределения с характеристической функцией ${\displaystyle a=-1/2,b=1/2.}$

$${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},}$$

и его функция генерации моментов равна

$${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},}$$

где - функция гиперболического синуса . ${\displaystyle \sinh(t)}$

Рациональное приближение

Функцию импульса можно также выразить как предел рациональной функции :

$${\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.}$$

Демонстрация действительности

Во-первых, рассмотрим случай, когда Обратите внимание, что член всегда положителен для целых чисел, однако, и, следовательно, стремится к нулю для больших ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 2t<1}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$

Из этого следует, что: $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.}$$

Во-вторых, мы рассмотрим случай, когда Обратите внимание, что член всегда положителен для целых чисел Однако, и, следовательно, становится очень большим для больших ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 2t>1}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$

Из этого следует, что: $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.}$$

В-третьих, рассмотрим случай, когда мы можем просто подставить в наше уравнение: ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$$

Мы видим, что это удовлетворяет определению импульсной функции. Следовательно,

$${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}}$$

Дельта-функция Дирака

Функция прямоугольника может быть использована для представления дельта-функции Дирака . ^[11] В частности, для функции ее среднее значение по ширине около 0 в области определения функции вычисляется как, ${\displaystyle \delta (x)}$ $${\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$Для получения применяется следующий предел: ${\displaystyle g(0)}$

$${\displaystyle g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)}$$и это можно записать в терминах дельта-функции Дирака как, Преобразование Фурье дельта-функции Дирака имеет вид $${\displaystyle g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).}$$ ${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.}$$где функция sinc здесь является нормализованной функцией sinc. Поскольку первый ноль функции sinc находится в точке и стремится к бесконечности, преобразование Фурье равно ${\displaystyle f=1/a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=1,}$$означает, что спектр частот дельта-функции Дирака бесконечно широк. По мере сокращения времени импульса его спектр становится шире.

Смотрите также

• преобразование Фурье
• Прямоугольная волна
• Ступенчатая функция
• Фильтр-цилиндр
• Функция Boxcar

Ссылки

1. Wolfram Research (2008). "HeavisidePi, функция языка Wolfram" . Получено 11 октября 2022 г. .
2. Weisstein, Eric W. "Функция прямоугольника". MathWorld .
3. Ван, Руйе (2012). Введение в ортогональные преобразования: с приложениями в обработке и анализе данных. Cambridge University Press. С. 135–136. ISBN 9780521516884.
4. Тан, КТ (2007). Математические методы для инженеров и ученых: анализ Фурье, уравнения в частных производных и вариационные модели. Springer. стр. 85. ISBN 9783540446958.
5. Кумар, А. Ананд (2011). Сигналы и системы. PHI Learning Pvt. Ltd. стр. 258–260. ISBN 9788120343108.
6. Клаудер, Джон Р. (1960). «Теория и проектирование ЛЧМ-радаров». Bell System Technical Journal . 39 (4): 745–808. doi :10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x.
7. Вудворд, Филипп М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Pergamon Press. стр. 29.
8. Хиггинс, Джон Роуленд (1996). Теория выборки в Фурье и анализе сигналов: основы . Oxford University Press Inc. стр. 4. ISBN 0198596995.
9. Заид, Ахмед I (1996). Справочник по функциям и обобщенным преобразованиям функций . CRC Press. стр. 507. ISBN 9780849380761.
10. Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
11. Кхаре, Кедар; Бутола, Манси; Раджора, Сунайна (2023). «Глава 2.4 Выборка с помощью усреднения, распределений и дельта-функции». Фурье-оптика и вычислительная визуализация (2-е изд.). Springer. стр. 15–16. doi :10.1007/978-3-031-18353-9. ISBN 978-3-031-18353-9.