Правильный сложный многоугольник

Многоугольники, имеющие сопутствующее мнимое измерение для каждого действительного измерения.

Комплексные 1-многогранники, представленные на плоскости Аргана как правильные многоугольники для p = 2, 3, 4, 5 и 6, с черными вершинами. Центроид вершин p показан красным. Стороны многоугольников представляют одно применение генератора симметрии, отображающее каждую вершину в следующую копию против часовой стрелки. Эти многоугольные стороны не являются ребрами многогранника, поскольку комплексный 1-многогранник может не иметь ребер (он часто является комплексным ребром) и содержит только вершинные элементы.

В геометрии правильный комплексный многоугольник является обобщением правильного многоугольника в реальном пространстве до аналогичной структуры в комплексном гильбертовом пространстве , где каждое действительное измерение сопровождается мнимым . Правильный многоугольник существует в 2 действительных измерениях, , в то время как комплексный многоугольник существует в двух комплексных измерениях, , которым можно дать действительные представления в 4 измерениях, , которые затем должны быть спроецированы до 2 или 3 действительных измерений для визуализации. Комплексный многоугольник обобщается как комплексный многогранник в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Сложный многоугольник можно понимать как совокупность сложных точек, линий, плоскостей и т. д., где каждая точка является пересечением нескольких линий, каждая линия — нескольких плоскостей и т. д.

Правильные сложные многоугольники полностью охарактеризованы и могут быть описаны с помощью символической нотации, разработанной Коксетером .

Правильный сложный многоугольник со всеми 2-ребрами может быть представлен графом , тогда как формы с k -ребрами могут быть связаны только гиперграфами . K -ребро можно рассматривать как набор вершин, без подразумеваемого порядка. Их можно нарисовать с попарными 2-ребрами, но это не является структурно точным.

Правильные сложные многоугольники

В то время как 1-многогранники могут иметь неограниченное число p , конечные правильные комплексные многоугольники, за исключением многоугольников двойной призмы _p {4} ₂ , ограничены элементами с 5 ребрами (пятиугольными ребрами), а бесконечные правильные апейрогоны также включают элементы с 6 ребрами (шестиугольными ребрами).

Обозначения

Модифицированная нотация Шлефли Шепарда

Шепард изначально разработал модифицированную форму обозначения Шлефли для правильных многогранников. Для многоугольника, ограниченного p ₁ -ребрами, с p ₂ -множеством в качестве вершинной фигуры и общей группой симметрии порядка g , мы обозначаем многоугольник как p ₁ ( g ) p ₂ .

Тогда число вершин V _равно g / p2 _, а число ребер E равно g / p1 .

Сложный многоугольник, показанный выше, имеет восемь квадратных ребер ( p ₁ =4) и шестнадцать вершин ( p ₂ =2). Из этого мы можем вывести, что g = 32, что дает модифицированный символ Шлефли 4(32)2.

Пересмотренная модифицированная нотация Шлефли Коксетера

Более современная нотация _{p 1} { q } _{p 2} принадлежит Кокстеру [ 2 ^] и основана на теории групп. Как группа симметрии, ее символ — _{p 1} [ q ] _{p 2} .

Группа симметрии _{p 1} [ q ] _{p 2} представлена ​​2 генераторами R ₁ , R ₂ , где: R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I. Если q четное, (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2} . Если q нечетное, (R ₂ R ₁ ) ^{( q −1)/2} R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q −1)/2} R ₁ . Когда q нечетное, p ₁ = p ₂ .

Для ₄ [4] ₂ имеет R ₁ ⁴ = R ₂ ² = I, (R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ² .

Для ₃ [5] ₃ имеет R ₁ ³ = R ₂ ³ = I, (R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁ .

Диаграммы Кокстера–Дынкина

Коксетер также обобщил использование диаграмм Коксетера–Дынкина на комплексные многогранники, например, комплексный многоугольник _p { q } _r представлен каки эквивалентная группа симметрии, _p [ q ] _r , является диаграммой без колец. Узлы p и r представляют зеркала, создающие p и r изображения на плоскости. Непомеченные узлы на диаграмме имеют неявные 2 метки. Например, действительный правильный многоугольник — это ₂ { q } ₂ или { q } или.

Одно ограничение: узлы, соединенные нечетными порядками ветвей, должны иметь идентичные порядки узлов. Если нет, группа создаст «звездчатые» полигоны с перекрывающимися элементами. Такиявляются обычными, в то время какзвездный.

12 Неприводимых групп Шепарда

_p [4] ₂ подгруппы: p=2,3,4...
_p [4] ₂ --> [ p ], индекс p
_p [4] ₂ --> _p []× _p [], индекс 2

Коксетер перечислил этот список правильных комплексных многоугольников в . Правильный комплексный многоугольник, _p { q } _r или ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, имеет p -рёбер и r -угольные вершинные фигуры . _p { q } _r является конечным многогранником, если ( p  +  r ) q  >  pr ( q  − 2).

Ее симметрия записывается как _p [ q ] _r , называется группой Шепарда , аналогичной группе Кокстера , но также допускающей унитарные отражения .

Для незвездных групп порядок группы _p [ q ] _r можно вычислить как . ^[4] ${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

Число Кокстера для _p [ q ] _r равно , поэтому порядок группы также может быть вычислен как . Правильный комплексный многоугольник можно нарисовать в ортогональной проекции с h -угольной симметрией. ${\displaystyle h=2/(1/p+2/q+1/r-1)}$ ${\displaystyle g=2h^{2}/q}$

Решения ранга 2, генерирующие сложные многоугольники:

Исключенные решения с нечетным q и неравными p и r : ₆ [3] ₂ , ₆ [3] ₃ , ₉ [3] ₃ , ₁₂ [3] ₃ , ..., ₅ [5] ₂ , ₆ [5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₄ [7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ и ₃ [11] ₂ .

Другие целые q с неравными p и r создают звездные группы с перекрывающимися фундаментальными областями:,,,,, и.

Двойственный многоугольник _p { q } _r есть _r { q } _p . Многоугольник вида _p { q } _p является самодвойственным. Группы вида _p [2 q ] ₂ имеют половинную симметрию _p [ q ] _p , поэтому правильный многоугольникто же самое, что и квазирегулярный. Также, правильный многоугольник с теми же порядками узлов,, имеют альтернативную конструкцию, что позволяет соседним ребрам быть двух разных цветов. ^[5]

Порядок группы g используется для вычисления общего числа вершин и ребер. Он будет иметь g / r вершин и g / p ребер. Когда p = r , число вершин и ребер равно. Это условие требуется, когда q нечетно.

Генераторы матриц

Группа p [ q ] r ,, можно представить двумя матрицами: ^[6]

С

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {\cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+\cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}}$

Примеры

Перечисление правильных сложных многоугольников

Коксетер перечислил комплексные многоугольники в Таблице III Правильных комплексных многогранников. ^[7]

Визуализации правильных сложных многоугольников

2D-графики

Многоугольники вида _p {2 r } _q можно визуализировать с помощью q цветовых наборов p -ребер. Каждое p -ребро рассматривается как правильный многоугольник, при этом граней нет.

Сложные многоугольники ₂ { r } _q

Многоугольники вида ₂ {4} _q называются обобщенными ортоплексами . Они имеют общие вершины с 4D q - q дуопирамидами , вершины которых соединены 2-ребрами.

• 
  ₂ {4} ₂ ,, с 4 вершинами и 4 ребрами
• 
  ₂ {4} ₃ ,, с 6 вершинами и 9 ребрами ^[8]
• 
  ₂ {4} ₄ ,, с 8 вершинами и 16 ребрами
• 
  ₂ {4} ₅ ,, с 10 вершинами и 25 ребрами
• 
  ₂ {4} ₆ ,, с 12 вершинами и 36 ребрами
• 
  ₂ {4} ₇ ,, с 14 вершинами и 49 ребрами
• 
  ₂ {4} ₈ ,, с 16 вершинами и 64 ребрами
• 
  ₂ {4} ₉ ,, с 18 вершинами и 81 ребром
• 
  ₂ {4} ₁₀ ,, с 20 вершинами и 100 ребрами

Сложные многоугольники _p {4} ₂

Многоугольники вида _p {4} ₂ называются обобщенными гиперкубами (квадратами для многоугольников). Они разделяют вершины с 4D p - p дуопризмами , вершины соединены p-ребрами. Вершины нарисованы зеленым цветом, а p -ребра нарисованы альтернативными цветами, красным и синим. Перспектива слегка искажается для нечетных измерений, чтобы переместить перекрывающиеся вершины из центра.

• 
  ₂ {4} ₂ ,или, с 4 вершинами и 4 2-ребрами
• 
  ₃ {4} ₂ ,или, с 9 вершинами и 6 (треугольными) 3-ребрами ^[9]
• 
  ₄ {4} ₂ ,или, с 16 вершинами и 8 (квадратными) 4-ребрами
• 
  ₅ {4} ₂ ,или, с 25 вершинами и 10 (пятиугольными) 5-ребрами
• 
  ₆ {4} ₂ ,или, с 36 вершинами и 12 (шестиугольными) 6-гранниками
• 
  ₇ {4} ₂ ,или, с 49 вершинами и 14 (семиугольными)7-ребрами
• 
  ₈ {4} ₂ ,или, с 64 вершинами и 16 (восьмиугольными) 8-ребрами
• 
  ₉ {4} ₂ ,или, с 81 вершиной и 18 (девятиугольными) 9-ребрами
• 
  ₁₀ {4} ₂ ,или, со 100 вершинами и 20 (десятиугольными) 10-ребрами

Сложные многоугольники _p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂ ,или, с 24 вершинами черного цвета и 16 3-ребрами, окрашенными в 2 набора 3-ребрьев красного и синего цвета ^[10]
• 
  ₃ {8} ₂ ,или, с 72 вершинами черного цвета и 48 3-ребрами, окрашенными в 2 набора по 3-ребра красного и синего цвета ^[11]

Сложные многоугольники, _p { r } _p

Многоугольники вида _p { r } _p имеют одинаковое количество вершин и ребер. Они также являются самодвойственными.

• 
  ₃ {3} ₃ ,или, с 8 вершинами черного цвета и 8 3-ребрами, окрашенными в 2 набора 3-ребрьев красного и синего цвета ^[12]
• 
  ₃ {4} ₃ ,или, с 24 вершинами и 24 3-ребрами, показанными в 3 наборах цветов, один набор заполнен ^[13]
• 
  ₄ {3} ₄ ,или, с 24 вершинами и 24 4-ребрами, показанными в 4 наборах цветов ^[14]
• 
  ₃ {5} ₃ ,или, со 120 вершинами и 120 3-ребрами ^[15]
• 
  ₅ {3} ₅ ,или, со 120 вершинами и 120 5-ребрами ^[16]

3D перспектива

Трехмерные перспективные проекции сложных многоугольников _p {4} ₂ могут отображать структуру точек и ребер сложного многоугольника, при этом масштаб не сохраняется.

Дуалы ₂ {4} _p : можно увидеть, добавив вершины внутрь ребер и добавив ребра вместо вершин.

• 
  ₂ {4} ₃ ,с 6 вершинами, 9 ребрами в 3 наборах
• 
  ₃ {4} ₂ ,с 9 вершинами, 6 3-ребрами в 2 наборах цветов, как
• 
  ₄ {4} ₂ ,с 16 вершинами, 8 4-гранниками в 2 наборах цветов и заполненным квадратом с 4-гранниками, как
• 
  ₅ {4} ₂ ,с 25 вершинами, 10 5-ребрами в 2 наборах цветов, как

Квазиправильные многоугольники

Квазиправильный многоугольник — это усечение правильного многоугольника. Квазиправильный многоугольниксодержит альтернативные ребра правильных многоугольниковиКвазиправильный многоугольник имеет p вершин на p-ребрах правильной формы.

Примечания

1. Коксетер, Правильные комплексные многогранники , 11.3 Многоугольник Петри , простой h -угольник, образованный орбитой флага (O ₀ ,O ₀ O ₁ ) для произведения двух порождающих отражений любого незвездного правильного комплексного многоугольника, p ₁ { q } p ₂ .
2. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. xiv
3. Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр. 177, Таблица III
4. Лерер и Тейлор 2009, стр. 87
5. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, Таблица IV. Правильные многоугольники. С. 178–179
6. Комплексные многогранники, 8.9 Двумерный случай , стр. 88
7. Правильные комплексные многогранники, Коксетер, стр. 177–179
8. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 108
9. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 108
10. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 109
11. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 111
12. Коксетер, Регулярные комплексные многогранники, стр. 30 диаграмма и стр. 47 индексы для 8 3-ребер
13. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 110
14. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 110
15. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 48
16. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 49

Ссылки

• Коксетер, Х. С. М. и Мозер, У. О. Дж.; Генераторы и соотношения для дискретных групп (1965), особенно стр. 67–80.
• Коксетер, HSM (1991), Правильные комплексные многогранники , Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
• Коксетер, Х. С. М. и Шепард, Г. К.; Портреты семейства сложных многогранников, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), стр. 239–244,
• Шепард, GC; Правильные комплексные многогранники , Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), стр. 82–97.
• Шепард, GC ; Тодд, JA (1954), "Конечные унитарные группы отражений", Canadian Journal of Mathematics , 6 : 274–304, doi :10.4153/cjm-1954-028-3, MR  0059914
• Густав И. Лерер и Дональд Э. Тейлор, «Группы единой рефлексии» , Cambridge University Press, 2009