Относительный эффективный делитель Картье

В алгебраической геометрии относительный эффективный дивизор Картье — это, грубо говоря, семейство эффективных дивизоров Картье . Точнее, эффективный дивизор Картье в схеме X над кольцом R — это замкнутая подсхема D схемы X , которая (1) плоская над R и ( 2) идеальный пучок D локально свободен от ранга один (т. е. обратимый пучок). Эквивалентно, замкнутая подсхема D схемы X является эффективным дивизором Картье, если существует открытое аффинное покрытие X и ненуледелители такие, что пересечение задается уравнением (называемым локальными уравнениями) и является плоским над R и таким, что они совместимы. ${\displaystyle I(D)}$ ${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle D\cap U_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}=0}$ ${\displaystyle A/f_{i}A}$

Эффективный делитель Картье как нулевое геометрическое место сечения линейного расслоения

Пусть L — линейное расслоение на X , а s — его сечение, такое что (другими словами, s — регулярный элемент для любого открытого подмножества U .) ${\displaystyle s:{\mathcal {O}}_{X}\hookrightarrow L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$

Выберем некоторое открытое покрытие X такое, что . Для каждого i , посредством изоморфизмов, ограничение соответствует ненулевому делителю . Теперь определим замкнутую подсхему X ( называемую нулевым локусом сечения s ) с помощью ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle L|_{U_{i}}\simeq {\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}$ ${\displaystyle \{s=0\}}$

${\displaystyle \{s=0\}\cap U_{i}=\{f_{i}=0\},}$

где правая часть означает замкнутую подсхему , заданную идеальным пучком, порожденным . Это хорошо определено (т.е. они согласны относительно перекрытий), поскольку является единичным элементом. По той же причине замкнутая подсхема не зависит от выбора локальных тривиализаций. ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}/f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$ ${\displaystyle \{s=0\}}$

Эквивалентно, нулевое локус s может быть построено как волокно морфизма; а именно, рассматривая L как его полное пространство, сечение s является X -морфизмом L : морфизм, такой что s , за которым следует , является тождеством. Тогда может быть построено как волокно-произведение s и вложения нулевого сечения . ${\displaystyle s:X\to L}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \{s=0\}}$ ${\displaystyle s_{0}:X\to L}$

Наконец, когда является плоским над базовой схемой S , он является эффективным дивизором Картье на X над S . Более того, эта конструкция исчерпывает все эффективные дивизоры Картье на X следующим образом. Пусть D будет эффективным дивизором Картье и обозначит идеальный пучок D . Из-за локальной свободы взятие дает точную последовательность ${\displaystyle \{s=0\}}$ ${\displaystyle I(D)}$ ${\displaystyle I(D)^{-1}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}-}$ ${\displaystyle 0\to I(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to I(D)^{-1}\to I(D)^{-1}\otimes {\mathcal {O}}_{D}\to 0}$

В частности, 1 в можно отождествить с сечением в , которое мы обозначим через . ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle \Gamma (X,I(D)^{-1})}$ ${\displaystyle s_{D}}$

Теперь мы можем повторить раннее рассуждение с . Поскольку D является эффективным делителем Картье, D локально имеет вид на для некоторого неделителя нуля f в A . Тривиализация задается умножением на f ; в частности, 1 соответствует f . Следовательно, нулевое локус есть D . ${\displaystyle L=I(D)^{-1}}$ ${\displaystyle \{f=0\}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle L|_{U}=Af^{-1}{\overset {\sim }{\to }}A}$ ${\displaystyle s_{D}}$

Характеристики

• Если D и D' являются эффективными делителями Картье, то сумма является эффективным делителем Картье, определенным локально, как если бы f , g задавали локальные уравнения для D и D' . ${\displaystyle D+D'}$ ${\displaystyle fg=0}$
• Если D — эффективный дивизор Картье и — гомоморфизм колец, то — эффективный дивизор Картье в . ${\displaystyle R\to R'}$ ${\displaystyle D\times _{R}R'}$ ${\displaystyle X\times _{R}R'}$
• Если D — эффективный дивизор Картье и плоский морфизм над R , то — эффективный дивизор Картье в X' с идеальным пучком . ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle D'=D\times _{X}X'}$ ${\displaystyle I(D')=f^{*}(I(D))}$

Примеры

Гиперплоскостное расслоение

Эффективные делители Картье на относительной кривой

С этого момента предположим, что X — гладкая кривая (все еще над R ). Пусть D — эффективный дивизор Картье в X , и предположим, что он собственный над R (что немедленно, если X собственный). Тогда — локально свободный R -модуль конечного ранга. Этот ранг называется степенью D и обозначается как . Это локально постоянная функция на . Если D и D' — собственные эффективные дивизоры Картье, то является собственным над R и . Пусть — конечный плоский морфизм. Тогда . ^[1] С другой стороны, замена базы не меняет степени: . ^[2] ${\displaystyle \Gamma (D,{\mathcal {O}}_{D})}$ ${\displaystyle \deg D}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle D+D'}$ ${\displaystyle \deg(D+D')=\deg(D)+\deg(D')}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle \deg(f^{*}D)=\deg(f)\deg(D)}$ ${\displaystyle \deg(D\times _{R}R')=\deg(D)}$

Замкнутая подсхема D схемы X конечна, плоска и имеет конечное представление тогда и только тогда, когда она является эффективным дивизором Картье, который является собственным над R. [ ^3]

Делители Вейля, связанные с эффективными делителями Картье

Если задан эффективный делитель Картье D , то существует два эквивалентных способа связать с ним делитель Вейля. ${\displaystyle [D]}$

Примечания

1. Кац и Мазур 1985, Лемма 1.2.8.
2. Кац и Мазур 1985, Лемма 1.2.9.
3. Кац и Мазур 1985, Лемма 1.2.3.

Ссылки

• Кац, Николас М .; Мазур, Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых . Princeton University Press . ISBN 0-691-08352-5.