Представимый функтор

В математике , в частности в теории категорий , представимый функтор — это определенный функтор из произвольной категории в категорию множеств . Такие функторы дают представления абстрактной категории в терминах известных структур (т. е. множеств и функций ), позволяя использовать, насколько это возможно, знания о категории множеств в других ситуациях.

С другой точки зрения, представимые функторы для категории C — это функторы, заданные с помощью C. Их теория является обширным обобщением верхних множеств в частично упорядоченных множествах , а теорема представимости Йонеды обобщает теорему Кэли в теории групп .

Определение

Пусть C — локально малая категория , а Set — категория множеств . Для каждого объекта A из C пусть Hom( A ,–) — функтор hom , который отображает объект X в множество Hom( A , X ).

Говорят , что функтор F :  C → Set представим , если он естественно изоморфен Hom( A ,–) для некоторого объекта A из C. Представлением F является пара ( A , Φ), где

Φ : Hom( A ,–) → F

является естественным изоморфизмом.

Контравариантный функтор G из C в Set — это то же самое, что и функтор G  : C ^op → Set и обычно называется предпучком . Предпучок представим, когда он естественно изоморфен контравариантному hom-функтору Hom(–, A ) для некоторого объекта A из C .

Универсальные элементы

Согласно лемме Йонеды , естественные преобразования из Hom( A ,–) в F находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами F ( A ). При наличии естественного преобразования Φ : Hom( A ,–) → F соответствующий элемент u ∈ F ( A ) задается как

${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,}$

Наоборот, для любого элемента u ∈ F ( A ) мы можем определить естественное преобразование Φ : Hom( A ,–) → F посредством

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)(u)\,}$

где f — элемент Hom( A , X ). Чтобы получить представление F, мы хотим знать, когда естественное преобразование, вызванное u, является изоморфизмом. Это приводит к следующему определению:

Универсальным элементом функтора F  : C → Set называется пара ( A , u ), состоящая из объекта A из C и элемента u ∈ F ( A ), такая, что для каждой пары ( X , v ), состоящей из объекта X из C и элемента v ∈ F ( X ), существует единственный морфизм f  : A → X такой, что ( Ff )( u ) = v .

Универсальный элемент можно рассматривать как универсальный морфизм из одноточечного множества {•} в функтор F или как исходный объект в категории элементов F .

Естественное преобразование, индуцируемое элементом u ∈ F ( A ), является изоморфизмом тогда и только тогда, когда ( A , u ) является универсальным элементом F . Поэтому мы заключаем, что представления F находятся во взаимно однозначном соответствии с универсальными элементами F . По этой причине принято называть универсальные элементы ( A , u ) представлениями.

Примеры

• Функтор , представленный схемой A, иногда может описывать семейства геометрических объектов . Например, векторные расслоения ранга k над заданным алгебраическим многообразием или схемой X соответствуют алгебраическим морфизмам , где A — грассманиан k -плоскостей в многомерном пространстве. Также некоторые типы подсхем представлены схемами Гильберта . ${\displaystyle X\to A}$
• Пусть C — категория CW-комплексов с морфизмами, заданными гомотопическими классами непрерывных функций. Для каждого натурального числа n существует контравариантный функтор H ⁿ  : C → Ab , который сопоставляет каждому CW-комплексу его n-ю ^группу когомологий (с целыми коэффициентами). Составляя его с забывающим функтором, мы получаем контравариантный функтор из C в Set . Теорема Брауна о представимости в алгебраической топологии гласит, что этот функтор представлен CW-комплексом K ( Z , n ), называемым пространством Эйленберга–Маклейна .
• Рассмотрим контравариантный функтор P  : Set → Set , который отображает каждое множество в его множество мощности , а каждую функцию в ее обратное отображение . Для представления этого функтора нам нужна пара ( A , u ), где A — множество, а u — подмножество A , т. е. элемент P ( A ), такой, что для всех множеств X hom-множество Hom( X , A ) изоморфно P ( X ) посредством Φ _X ( f ) = ( Pf ) u = f ⁻¹ ( u ) . Возьмем A = {0,1} и u = {1}. Для данного подмножества S ⊆ X соответствующая функция из X в A является характеристической функцией S .
• Забывающие функторы в Set очень часто представимы. В частности, забывающий функтор представляется как ( A , u ) всякий раз, когда A является свободным объектом над синглетонным множеством с генератором u .
  • Функтор забывания Grp → Set в категории групп представлен как ( Z , 1).
  • Функтор забывания Ring → Set в категории колец представлен как ( Z [ x ], x ), кольцом многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами .
  • Забывчивый функтор Vect → Set в категории действительных векторных пространств представлен как ( R , 1).
  • Забывчивый функтор Top → Set в категории топологических пространств представлен любым одноэлементным топологическим пространством со своим единственным элементом.
• Группа G может рассматриваться как категория (даже группоид ) с одним объектом, который мы обозначаем через •. Функтор из G в Set тогда соответствует G -множеству . Уникальный hom-функтор Hom(•,–) из G в Set соответствует каноническому G -множеству G с действием левого умножения. Стандартные аргументы из теории групп показывают, что функтор из G в Set представим тогда и только тогда, когда соответствующее G -множество является просто транзитивным (т.е. G -торсором или кучей ). Выбор представления сводится к выбору тождества для кучи.
• Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и пусть R — Mod — категория R - модулей. Если M и N — унитарные модули над R , то существует ковариантный функтор B : R - Mod → Set , который сопоставляет каждому R -модулю P множество R -билинейных отображений M × N → P и каждому гомоморфизму R -модуля f  : P → Q функцию B ( f ) : B ( P ) → B ( Q ), которая переводит каждое билинейное отображение g  : M × N → P в билинейное отображение f ∘ g  : M × N → Q . Функтор B представлен R -модулем M ⊗ _RN . ^[1]

Аналогия: Представимые функционалы

Рассмотрим линейный функционал на комплексном гильбертовом пространстве H , то есть линейную функцию . Теорема Рисса о представлении утверждает, что если F непрерывен, то существует единственный элемент , который представляет F в том смысле, что F равен функционалу скалярного произведения , то есть для . ${\displaystyle F:H\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in H}$ ${\displaystyle \langle a,-\rangle }$ ${\displaystyle F(v)=\langle a,v\rangle }$ ${\displaystyle v\in H}$

Например, все непрерывные линейные функционалы на квадратично-интегрируемом функциональном пространстве представимы в виде для уникальной функции . Теория распределений рассматривает более общие непрерывные функционалы на пространстве тестовых функций . Такой функционал распределения не обязательно представим функцией, но его можно интуитивно рассматривать как обобщенную функцию. Например, дельта-функция Дирака — это распределение, определенное для каждой тестовой функции , и ее можно рассматривать как «представленную» бесконечно высокой и тонкой функцией выпуклости вблизи . ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \textstyle F(v)=\langle a,v\rangle =\int _{\mathbb {R} }a(x)v(x)\,dx}$ ${\displaystyle a(x)\in H}$ ${\displaystyle C=C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(v)=v(0)}$ ${\displaystyle v(x)\in C}$ ${\displaystyle x=0}$

Таким образом, функция может быть определена не своими значениями, а своим влиянием на другие функции через скалярное произведение. Аналогично, объект A в категории может быть охарактеризован не своими внутренними признаками, а своим функтором точек , т.е. своим отношением к другим объектам через морфизмы. Так же, как непредставимые функционалы описываются распределениями, непредставимые функторы могут быть описаны более сложными структурами, такими как стеки . ${\displaystyle a(x)}$

Характеристики

Уникальность

Представления функторов единственны с точностью до единственного изоморфизма. То есть, если ( A ₁ ,Φ ₁ ) и ( A ₂ ,Φ ₂ ) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ : A ₁ → A ₂ такой, что

${\displaystyle \Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\mathrm {Hom} (\varphi ,-)}$

как естественные изоморфизмы из Hom( A ₂ ,–) в Hom( A ₁ ,–). Этот факт легко следует из леммы Йонеды .

В терминах универсальных элементов: если ( A ₁ , u ₁ ) и ( A ₂ , u ₂ ) представляют один и тот же функтор, то существует единственный изоморфизм φ : A ₁ → A ₂ такой, что

${\displaystyle (F\varphi )u_{1}=u_{2}.}$

Сохранение пределов

Представимые функторы естественно изоморфны функторам Hom и, следовательно, разделяют их свойства. В частности, (ковариантные) представимые функторы сохраняют все пределы . Из этого следует, что любой функтор, который не сохраняет какой-либо предел, не представим.

Контравариантные представимые функторы переводят копределы в пределы.

Левый примыкающий

Любой функтор K  : C → Set с левым сопряженным F  : Set → C представлен как ( FX , η _X (•)), где X = {•} — одноэлементное множество , а η — единица сопряжения.

Наоборот, если K представлен парой ( A , u ) и все малые состепени A существуют в C , то K имеет левый сопряженный F , который переводит каждое множество I в I -ю состепень A.

Следовательно, если C — категория со всеми малыми костепенями, то функтор K  : C → Set представим тогда и только тогда, когда он имеет левый сопряженный.

Отношение к универсальным морфизмам и сопряженным объектам

Категориальные понятия универсальных морфизмов и сопряженных функторов могут быть выражены с помощью представимых функторов.

Пусть G  : D → C — функтор, а X — объект C . Тогда ( A ,φ) — универсальный морфизм из X в G тогда и только тогда, когда ( A ,φ) — представление функтора Hom _C ( X , G –) из D в Set . Отсюда следует, что G имеет левый сопряженный F тогда и только тогда, когда Hom _C ( X , G –) представим для всех X в C . Естественный изоморфизм Φ _X  : Hom _D ( FX ,–) → Hom _C ( X , G –) даёт сопряженность; то есть

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)}$

является биекцией для всех X и Y.

Двойственные утверждения также верны. Пусть F  : C → D — функтор, а Y — объект D . Тогда ( A ,φ) — универсальный морфизм из F в Y тогда и только тогда, когда ( A ,φ) — представление функтора Hom _D ( F –, Y ) из C в Set . Отсюда следует, что F имеет правый сопряженный G тогда и только тогда, когда Hom _D ( F –, Y ) представим для всех Y в D . ^[2]

Смотрите также

• Классификатор подобъектов
• Теорема плотности

Ссылки

1. Хангерфорд, Томас. Алгебра . Спрингер-Верлаг. п. 470. ИСБН 3-540-90518-9.
2. Нурани, Сайрус. Теория функториальных моделей: новые приложения к алгебраической топологии, описательным множествам и вычислительным категориям Topos . CRC Press. стр. 28. ISBN 1482231506.

• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.