Время пребывания (статистика)

В статистике время пребывания — это среднее количество времени, которое требуется случайному процессу для достижения определенного граничного значения, обычно далекого от среднего.

Определение

Предположим, что $y (t)$ — это реальный скалярный стохастический процесс с начальным значением $y (t 0) = y 0$ , средним значением $y avg$ и двумя критическими значениями ${y avg - y min, y avg + y max$ }, где $y min > 0$ и $y max > 0.$ Определим время первого выхода $y (t)$ из интервала $(- y min, y max)$ как

\tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \{y_{\operatorname {avg} }-y_{\min },\ y_{ \operatorname {avg} }+y_ {\max }\}\},

где "inf" - это инфимум . Это наименьшее время после начального времени $t 0$ , в течение которого $y (t)$ равно одному из критических значений, образующих границу интервала, при условии, что $y 0$ находится внутри интервала.

Поскольку $y (t)$ случайным образом переходит от своего начального значения к границе, $τ(y 0)$ сама по себе является случайной величиной . Среднее значение $τ(y 0)$ является временем пребывания , ^[1]^[2]

{\bar {\tau }}(y_{0})=E[\tau (y_{0})\mid y_{0}].

Для гауссовского процесса и границы, далекой от среднего, время пребывания равно обратной величине частоты превышения меньшего критического значения, ^[2]

{\bar {\tau }}=N^{-1}(\min(y_{\min },\ y_{\max })),

где частота превышения $N$ равна

$σ y 2$ — дисперсия гауссовского распределения,

N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}},

и $Φ y (f)$ — спектральная плотность мощности гауссовского распределения на частоте $f$ .

Обобщение на несколько измерений

Предположим, что вместо скаляра $y (t)$ имеет размерность $p$ , или $y (t) \in ℝ p$ . Определим область $Ψ \subset ℝ p$ , содержащую $y avg$ и имеющую гладкую границу $\partialΨ$ . В этом случае определим время первого прохождения $y (t)$ из области $Ψ$ как

\tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \partial \Psi \mid y_{0}\in \Psi \}.

В этом случае эта нижняя грань является наименьшим временем, при котором $y (t)$ находится на границе $Ψ,$ а не равна одному из двух дискретных значений, предполагая, что $y 0$ находится внутри $Ψ$ . Среднее значение этого времени является временем пребывания , ^[3]^[4]

{\bar {\tau }}(y_{0})=\operatorname {E} [\tau (y_{0})\mid y_{0}].

Логарифмическое время пребывания

Логарифмическое время пребывания — это безразмерная вариация времени пребывания. Оно пропорционально натуральному логарифму нормализованного времени пребывания. Отмечая экспоненту в уравнении ( 1 ), логарифмическое время пребывания гауссовского процесса определяется как ^[5]^[6]

{\hat {\mu }}=\ln \left(N_{0}{\bar {\tau }}\right)={\frac {\min(y_{\min },\ y_{\max })^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}.

Это тесно связано с другим безразмерным дескриптором этой системы — числом стандартных отклонений между границей и средним значением, $min(y min, y max)/ σ y$ .

В общем случае нормировочный коэффициент $N 0$ может быть трудно или невозможно вычислить, поэтому безразмерные величины могут быть более полезны в приложениях.

Смотрите также

Примечания

^ Меерков и Рунольфссон 1987, стр. 1734–1735.
^ Ричардсон и др. 2014, стр. 2027.
^ Меерков и Рунольфссон 1986, с. 494.
^ Меерков и Рунольфссон 1987, с. 1734.
^ Ричардсон и др. 2014, стр. 2028.
^ Meerkov & Runolfsson 1986, стр. 495, альтернативный подход к определению логарифмического времени пребывания и вычислению $N 0$

Ссылки

Меерков, С. М.; Рунольфссон, Т. (1986). Целевое управление . Труды 25-й конференции по принятию решений и управлению. Афины: IEEE. С. 494–498.
Меерков, С.М.; Рунольфссон, Т. (1987). Управление нацеливанием на выход . Труды 26-й конференции по принятию решений и управлению. Лос-Анджелес: IEEE. С. 1734–1739.
Ричардсон, Джонхенри Р.; Аткинс, Элла М.; Кабамба, Пьер Т.; Жирар, Анук Р. (2014). «Запасы безопасности для полета через стохастические порывы». Журнал руководства, управления и динамики . 37 (6). AIAA: 2026–2030. doi : 10.2514/1.G000299. hdl : 2027.42/140648 .