Проблема Бернсайда спрашивает, обязательно ли конечно порождённая группа , в которой каждый элемент имеет конечный порядок , является конечной группой . Она была поставлена Уильямом Бернсайдом в 1902 году, что сделало её одним из старейших вопросов в теории групп , и оказала влияние на развитие комбинаторной теории групп . Известно, что в общем случае она имеет отрицательный ответ, поскольку Евгений Голод и Игорь Шафаревич привели контрпример в 1964 году. Проблема имеет много уточнений и вариантов, которые отличаются дополнительными условиями, налагаемыми на порядки элементов группы (см. ограниченные и ограниченные ниже). Некоторые из этих вариантов до сих пор остаются открытыми вопросами .
Первоначальные работы указывали на утвердительный ответ. Например, если группа G конечно порождена и порядок каждого элемента G является делителем 4, то G конечна. Более того, А. И. Кострикин смог доказать в 1958 году, что среди конечных групп с заданным числом образующих и заданным простым показателем существует наибольший. Это дает решение ограниченной проблемы Бернсайда для случая простого показателя. (Позже, в 1989 году, Ефим Зельманов смог решить ограниченную проблему Бернсайда для произвольного показателя.) Иссай Шур показал в 1911 году, что любая конечно порожденная периодическая группа, являющаяся подгруппой группы обратимых комплексных матриц размера n × n, конечна; он использовал эту теорему для доказательства теоремы Жордана–Шура . [1]
Тем не менее, общий ответ на проблему Бернсайда оказался отрицательным. В 1964 году Голод и Шафаревич построили бесконечную группу типа Бернсайда, не предполагая, что все элементы имеют равномерно ограниченный порядок. В 1968 году Петр Новиков и Сергей Адян предоставили отрицательное решение проблемы ограниченной экспоненты для всех нечетных показателей, больших 4381, которое позднее было улучшено до нечетного показателя, большего 665 Адяном [2] . В 1982 году А. Ю. Ольшанский нашел несколько ярких контрпримеров для достаточно больших нечетных показателей (больше 10 10 ), и предоставил значительно более простое доказательство, основанное на геометрических идеях.
Случай четных показателей оказался гораздо более сложным для решения. В 1992 году С. В. Иванов объявил об отрицательном решении для достаточно больших четных показателей, делящихся на большую степень 2 (подробные доказательства были опубликованы в 1994 году и заняли около 300 страниц). Позднее совместная работа Ольшанского и Иванова установила отрицательное решение аналога проблемы Бернсайда для гиперболических групп , при условии, что показатель достаточно велик. Напротив, когда показатель мал и отличен от 2, 3, 4 и 6, известно очень мало.
Группа G называется периодической (или торсионной), если каждый элемент имеет конечный порядок; другими словами, для каждого g в G существует некоторое положительное целое число n такое, что g n = 1. Очевидно, что каждая конечная группа является периодической. Существуют легко определяемые группы, такие как p ∞ -группа , которые являются бесконечными периодическими группами; но последняя группа не может быть конечно порождена.
Общая проблема Бернсайда. Если G — конечно порожденная периодическая группа, то обязательно ли G конечна?
На этот вопрос ответили отрицательно в 1964 году Евгений Голод и Игорь Шафаревич , приведя пример бесконечной p -группы , которая конечно порождёна (см. теорему Голода–Шафаревича ). Однако порядки элементов этой группы априори не ограничены одной константой.
Частью трудности с общей проблемой Бернсайда является то, что требования быть конечно порожденным и периодическим дают очень мало информации о возможной структуре группы. Поэтому мы предъявляем больше требований к G . Рассмотрим периодическую группу G с дополнительным свойством, что существует наименьшее целое число n такое, что для всех g в G , g n = 1. Группа с этим свойством называется периодической с ограниченной экспонентой n , или просто группой с экспонентой n . Проблема Бернсайда для групп с ограниченной экспонентой спрашивает:
Проблема Бернсайда I. Если G — конечно порожденная группа с показателем n , обязательно ли G конечна?
Оказывается, эту проблему можно переформулировать как вопрос о конечности групп в определенном семействе. Свободная группа Бернсайда ранга m и экспоненты n , обозначаемая B( m , n ), является группой с m выделенными генераторами x 1 , ..., x m , в которой тождество x n = 1 выполняется для всех элементов x , и которая является «наибольшей» группой, удовлетворяющей этим требованиям. Точнее, характеристическое свойство B( m , n ) состоит в том, что для любой заданной группы G с m генераторами g 1 , ..., g m и экспонентой n существует единственный гомоморфизм из B( m , n ) в G , который отображает i- й генератор x i группы B( m , n ) в i- й генератор g i группы G . На языке групповых представлений свободная группа Бернсайда B( m , n ) имеет m образующих x 1 , ..., x m и соотношения x n = 1 для каждого слова x в x 1 , ..., x m , и любая группа G с m образующими экспоненты n получается из нее путем наложения дополнительных соотношений. Существование свободной группы Бернсайда и ее единственность с точностью до изоморфизма устанавливаются стандартными методами теории групп. Таким образом, если G — любая конечно порожденная группа экспоненты n , то G — гомоморфный образ B( m , n ), где m — число образующих G . Проблему Бернсайда для групп с ограниченной экспонентой теперь можно переформулировать следующим образом:
Проблема Бернсайда II. Для каких положительных целых чисел m , n свободная группа Бернсайда B( m , n ) конечна?
Полное решение проблемы Бернсайда в этой форме неизвестно. Бернсайд рассмотрел несколько простых случаев в своей оригинальной статье:
Известны следующие дополнительные результаты (Бернсайд, Санов, М. Холл ):
Частный случай B(2, 5) остается открытым.
Прорыв в решении проблемы Бернсайда был достигнут Петром Новиковым и Сергеем Адяном в 1968 году. Используя сложный комбинаторный аргумент, они показали, что для любого нечетного числа n с n > 4381 существуют бесконечные конечно порождённые группы показателя n . Позднее Адян улучшил границу нечетного показателя до 665. [3] В 2015 году Адян заявил, что получил нижнюю границу 101 для нечетного n ; однако полное доказательство этой нижней границы так и не было завершено и никогда не публиковалось. Случай четного показателя оказался значительно сложнее. Только в 1994 году Сергей Васильевич Иванов смог доказать аналог теоремы Новикова–Адяна: для любого m > 1 и четного n ≥ 2 48 , n , делящегося на 2 9 , группа B( m , n ) бесконечна; Вместе с теоремой Новикова–Адяна это влечет бесконечность для всех m > 1 и n ≥ 2 48 . Это было улучшено в 1996 году И. Г. Лысёнком до m > 1 и n ≥ 8000. Новиков–Адян, Иванов и Лысёнок установили значительно более точные результаты о структуре свободных бернсайдовых групп. В случае нечётного показателя было показано, что все конечные подгруппы свободных бернсайдовых групп являются циклическими группами. В случае чётного показателя каждая конечная подгруппа содержится в произведении двух диэдральных групп , и существуют нециклические конечные подгруппы. Более того, было показано, что проблемы тождества и сопряженности эффективно разрешимы в B( m , n ) как для случаев нечётных, так и для случаев чётных показателей n .
Известный класс контрпримеров к проблеме Бернсайда образуют конечно порождённые нециклические бесконечные группы, в которых каждая нетривиальная собственная подгруппа является конечной циклической группой , так называемые монстры Тарского . Первые примеры таких групп были построены А. Ю. Ольшанским в 1979 году с использованием геометрических методов, тем самым утвердительно решив проблему О. Ю. Шмидта. В 1982 году Ольшанский смог усилить свои результаты, установив существование для любого достаточно большого простого числа p (можно взять p > 10 75 ) конечно порождённой бесконечной группы, в которой каждая нетривиальная собственная подгруппа является циклической группой порядка p . В статье, опубликованной в 1996 году, Иванов и Ольшанский решили аналог проблемы Бернсайда в произвольной гиперболической группе для достаточно больших показателей.
Сформулированный в 1930-х годах, он задает еще один, связанный с этим, вопрос:
Ограниченная проблема Бернсайда. Если известно, что группа G с m образующими и показателем n конечна, можно ли заключить, что порядок G ограничен некоторой константой, зависящей только от m и n ? Эквивалентно, существует ли только конечное число конечных групп с m образующими показателя n , с точностью до изоморфизма ?
Этот вариант проблемы Бернсайда можно также сформулировать в терминах теории категорий: утвердительный ответ для всех m эквивалентен утверждению, что категория конечных групп экспоненты n имеет все конечные пределы и копределы. [4] Это также можно сформулировать более явно в терминах некоторых универсальных групп с m образующими и экспонентой n . Согласно основным результатам теории групп, пересечение двух нормальных подгрупп конечного индекса в любой группе само является нормальной подгруппой конечного индекса. Таким образом, пересечение M всех нормальных подгрупп свободной группы Бернсайда B( m , n ), имеющих конечный индекс, является нормальной подгруппой B( m , n ). Поэтому можно определить свободную ограниченную группу Бернсайда B 0 ( m , n ) как фактор-группу B( m , n )/ M . Каждая конечная группа экспоненты n с m образующими изоморфна B( m , n )/ N , где N является нормальной подгруппой B( m , n ) с конечным индексом. Следовательно, по Третьей теореме об изоморфизме , каждая конечная группа экспоненты n с m образующими изоморфна B 0 ( m , n )/( N / M ) — другими словами, она является гомоморфным образом B 0 ( m , n ). Ограниченная проблема Бернсайда затем спрашивает, является ли B 0 ( m , n ) конечной группой. В терминах теории категорий, B 0 ( m , n ) является копроизведением n циклических групп порядка m в категории конечных групп экспоненты n .
В случае простого показателя степени p эта проблема была подробно изучена А. И. Кострикиным в 1950-х годах, до отрицательного решения общей проблемы Бернсайда. Его решение, устанавливающее конечность B 0 ( m , p ), использовало связь с глубокими вопросами о тождествах в алгебрах Ли в конечной характеристике. Случай произвольного показателя степени был полностью решен положительно Ефимом Зельмановым , который был награжден медалью Филдса в 1994 году за свою работу.