Ромбоэдр

Многогранник с шестью ромбами в качестве граней.

В геометрии ромбоэдр (также называемый ромб-шестигранником ^[1] или , неточно, ромбоидом ) — трёхмерная фигура с шестью гранями, являющимися ромбами . Это частный случай параллелепипеда , у которого все ребра одинаковой длины. Его можно использовать для определения ромбоэдрической решетчатой ​​системы — сот с ромбоэдрическими ячейками. Куб — это частный случай ромбоэдра, у которого все стороны квадратные .

В общем, ромбоэдр может иметь до трех типов ромбических граней в конгруэнтных противоположных парах, симметрия C _i , порядок 2.

Четыре точки, образующие несмежные вершины ромбоэдра, обязательно образуют четыре вершины ортоцентрического тетраэдра , и таким способом можно образовать все ортоцентрические тетраэдры. ^[2]

Ромбоэдрическая решётчатая система

Система ромбоэдрической решетки имеет ромбоэдрические ячейки с 6 конгруэнтными ромбическими гранями, образующими тригональный трапецоэдр :

Особые случаи по симметрии

Особые случаи ромбоэдра

• Куб : с симметрией Oh , порядок 48. Все грани квадратные .
• Трехугольный трапецоэдр (также называемый изоэдрическим ромбоэдром ): ^[3] с симметрией D _3d , порядок 12. Все нетупые внутренние углы граней равны (все грани конгруэнтны ромбоэдра). В этом можно убедиться, растянув куб по его оси, диагональной телу. Например, правильный октаэдр с двумя правильными тетраэдрами , прикрепленными на противоположных гранях, образует тригональный трапецоэдр с углом 60 градусов .
• Правая ромбическая призма : симметрия D _2h , порядок 8. Она состоит из двух ромбов и четырех квадратов. В этом можно убедиться, растянув куб по его грани-диагонали. Например, две прямые призмы с правильными треугольными основаниями, соединенные вместе, образуют правую ромбическую призму с углом 60 градусов .
• Косая ромбическая призма : с симметрией C 2h , порядок 4. Она имеет только одну плоскость симметрии, проходящую через четыре вершины, и шесть ромбических граней.

Твердая геометрия

Для единичного (т. е. с длиной стороны 1) изоэдрического ромбоэдра ^[3] с ромбическим острым углом , с одной вершиной в начале координат (0, 0, 0) и с одним ребром, лежащим вдоль оси x, три порождающие векторы ${\displaystyle \theta ~}$

е ₁  : ${\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr )},}$

е ₂  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},}$

е ₃  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.}$

Остальные _{координаты можно} получить векторным сложением _{[ 4} ^] трех векторов _{направления} : e1 ₊ e2 , e1 + e3 , e2 ₊ e3 и e1 + _e2 + _e3 .

Объем равногранного ромбоэдра, выраженный в терминах длины его стороны и ромбовидного острого угла , представляет собой упрощение объема параллелепипеда и определяется выражением ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta ~}$

${\displaystyle V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.}$

Мы можем выразить объем другим способом: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.}$

Поскольку площадь (ромбического) основания определяется выражением , а высота ромбоэдра определяется его объемом, деленным на площадь его основания, то высота равногранного ромбоэдра выражается через длину его стороны и его ромбический острый угол. дан кем-то ${\displaystyle a^{2}\sin \theta ~}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.}$

Примечание:

${\displaystyle h=a~z}$₃ , где ₃ — третья координата e ₃ . ${\displaystyle z}$

Диагональ тела между остроугольными вершинами самая длинная. Благодаря вращательной симметрии относительно этой диагонали все остальные три диагонали тела между тремя парами противоположных тупоугольных вершин имеют одинаковую длину.

Смотрите также

• Списки фигур

Рекомендации

1. "Небеса оригами Дэвида Митчелла - ромбические многогранники" .
2. Корт, Северная Каролина (октябрь 1934 г.), «Заметки об ортоцентрическом тетраэдре», American Mathematical Monthly , 41 (8): 499–502, doi : 10.2307/2300415, JSTOR  2300415.
3. Lines, L (1965). Твердая геометрия: с главами о пространственных решетках, пакетах сфер и кристаллах . Дуврские публикации.
4. «Векторное сложение». Вольфрам. 17 мая 2016 года . Проверено 17 мая 2016 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Ромбоэдр». Математический мир .
• Калькулятор объема https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php