Кольцо наборов

Семья закрыта в рамках союзов и родственных отношений

В математике существуют два различных понятия кольца множеств , оба из которых относятся к определенным семействам множеств .

В теории порядка непустое семейство множеств называется кольцом (множеств), если оно замкнуто относительно объединения и пересечения . ^[1] То есть, следующие два утверждения верны для всех множеств и , ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$подразумевает и ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$подразумевает ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}}.}$

В теории меры непустое семейство множеств называется кольцом (множеств), если оно замкнуто относительно объединения и относительного дополнения (теоретико-множественной разности). ^[2] То есть, следующие два утверждения верны для всех множеств и , ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$подразумевает и ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$подразумевает ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}.}$

Это подразумевает, что кольцо в смысле теории меры всегда содержит пустое множество . Более того, для всех множеств A и B ,

${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B),}$

что показывает, что семейство множеств, замкнутое относительно относительного дополнения, также замкнуто относительно пересечения, так что кольцо в смысле теории меры является также кольцом в смысле теории порядка.

Примеры

Если X — любое множество, то множество -степень X (семейство всех подмножеств X ) образует кольцо множеств в любом смысле.

Если ( X , ≤) — частично упорядоченное множество , то его верхние множества (подмножества X с дополнительным свойством, что если x принадлежит верхнему множеству U и x ≤ y , то y также должен принадлежать U ) замкнуты относительно пересечений и объединений. Однако в общем случае оно не будет замкнуто относительно разностей множеств.

Открытые множества и замкнутые множества любого топологического пространства замкнуты как относительно объединений, так и относительно пересечений. ^[1]

На вещественной прямой R семейство множеств, состоящее из пустого множества и всех конечных объединений полуоткрытых интервалов вида ( a , b ] , где a , b ∈ R, является кольцом в смысле теории меры.

Если T — это любое преобразование, определенное на пространстве, то множества, которые отображаются в себя с помощью T, замкнуты относительно как объединений, так и пересечений. ^[1]

Если два кольца множеств определены на одних и тех же элементах, то множества, принадлежащие обоим кольцам, сами образуют кольцо множеств. ^[1]

Связанные структуры

Кольцо множеств в смысле теории порядка образует дистрибутивную решетку , в которой операции пересечения и объединения соответствуют операциям встречи и соединения решетки соответственно. Наоборот, каждая дистрибутивная решетка изоморфна кольцу множеств; в случае конечных дистрибутивных решеток это теорема Биркгофа о представлении , и множества могут быть взяты как нижние множества частично упорядоченного множества. ^[1]

Семейство множеств, замкнутое относительно объединения и относительного дополнения, также замкнуто относительно симметричной разности и пересечения. Наоборот, каждое семейство множеств, замкнутое относительно как симметричной разности, так и пересечения, также замкнуто относительно объединения и относительного дополнения. Это обусловлено тождествами

1. ${\displaystyle A\cup B=(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,(A\cap B)}$и
2. ${\displaystyle A\setminus B=A\,\triangle \,(A\cap B).}$

Симметрическая разность и пересечение вместе придают кольцу в смысле теории меры структуру булева кольца .

В смысле теории меры σ-кольцо — это кольцо, замкнутое относительно счетных объединений, а δ-кольцо — это кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений. Явно, σ-кольцо над — это множество , такое что для любой последовательности мы имеем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{A_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}},}$ ${\textstyle \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathcal {F}}.}$

Для данного множества поле множеств − также называемое алгеброй над − является кольцом, содержащим Это определение влечет, что алгебра замкнута относительно абсолютного дополнения σ -алгебра является алгеброй, которая также замкнута относительно счетных объединений, или, что эквивалентно, σ-кольцом, содержащим Фактически, по законам де Моргана , δ-кольцо, содержащее , обязательно является σ-алгеброй. Поля множеств, и особенно σ-алгебры, являются центральными для современной теории вероятностей и определения мер . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A^{c}=X\setminus A.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Полукольцо (множеств) — это семейство множеств со свойствами ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}},}$
   • Если (3) выполняется, то тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$подразумевает и ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}},}$
3. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$подразумевает для некоторых непересекающихся ${\displaystyle A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}}$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}.}$

Каждое кольцо (в смысле теории меры) является полукольцом. С другой стороны, является полукольцом, но не кольцом, поскольку оно не замкнуто относительно объединений. ${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{\emptyset ,\{x\},\{y\}\}}$ ${\displaystyle X=\{x,y\}}$

Аполуалгебра ^[3]илиэлементарное семейство ^[4]представляет собой совокупностьподмножеств,удовлетворяющих свойствам полукольца, за исключением (3), замененного на: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$

• Если тогда существует конечное число взаимно непересекающихся множеств таких, что ${\displaystyle E\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X\setminus E=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

Это условие сильнее, чем (3), что можно увидеть следующим образом. Если — полуалгебра и , то можно записать для непересекающихся . Тогда: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle F^{c}=F_{1}\cup \ldots \cup F_{n}}$ ${\displaystyle F_{i}\in S}$ $${\displaystyle E\setminus F=E\cap F^{c}=E\cap (F_{1}\cup \ldots \cup F_{n})=(E\cap F_{1})\cup \ldots \cup (E\cap F_{n})}$$

и каждое , так как оно замкнуто относительно пересечения, и непересекающееся , так как они содержатся в непересекающихся 's. Более того, условие строго сильнее: любое , которое является одновременно кольцом и полуалгеброй , является алгеброй, следовательно, любое кольцо, которое не является алгеброй, также не является полуалгеброй (например, совокупность конечных множеств на бесконечном множестве ). ${\displaystyle E\cap F_{i}\in S}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Алгебра множеств  – тождества и отношения, включающие множества
• δ- кольцо  – кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений
• Поле множеств  – алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• 𝜆-система (система Дынкина)  – Семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений
• Монотонный класс  – теоремаСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерваСтраницы с краткими описаниями без пробелов
• π -система  – Семейство множеств, замкнутых относительно пересечения
• σ-алгебра  – Алгебраическая структура алгебры множеств
• 𝜎-идеал  – Семья замкнута относительно подмножеств и счетных объединений
• 𝜎-кольцо  – семейство множеств, замкнутых относительно счетных объединений

Ссылки

1. Биркгоф, Гарретт (1937), «Кольца множеств», Duke Mathematical Journal , 3 (3): 443–454, doi :10.1215/S0012-7094-37-00334-X, MR  1546000.
2. Де Барра, Гар (2003), Теория меры и интегрирование , Horwood Publishing, стр. 13, ISBN 9781904275046.
3. Дарретт 2019, стр. 3–4.
4. Фолланд 1999, стр. 23.

Источники

• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Серия Кембридж по статистической и вероятностной математике. Том 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Получено 5 ноября 2020 г. .
• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-31716-0.

Внешние ссылки

• Кольцо множеств в Энциклопедии математики