Вращение вокруг неподвижной оси или осевое вращение является частным случаем вращательного движения вокруг неподвижной, стационарной или статической оси вращения в трехмерном пространстве . Этот тип движения исключает возможность мгновенного изменения ориентации оси вращения и не может описывать такие явления, как виляние или прецессия . Согласно теореме Эйлера о вращении , одновременное вращение вдоль нескольких неподвижных осей в одно и то же время невозможно; если одновременно приложить два вращения, то получится новая ось вращения.
Эта концепция предполагает, что вращение также устойчиво, так что для его поддержания не требуется крутящий момент . Кинематика и динамика вращения вокруг фиксированной оси твердого тела математически намного проще, чем для свободного вращения твердого тела ; они полностью аналогичны кинематик и динамике линейного движения вдоль одного фиксированного направления, что неверно для свободного вращения твердого тела . Выражения для кинетической энергии объекта и для сил на частях объекта также проще для вращения вокруг фиксированной оси, чем для общего вращательного движения. По этим причинам вращение вокруг фиксированной оси обычно преподается на вводных курсах физики после того, как студенты освоят линейное движение ; полная общность вращательного движения обычно не преподается на вводных курсах физики.
Твердое тело — это объект конечной протяженности, в котором все расстояния между составляющими его частицами постоянны. По-настоящему твердого тела не существует; внешние силы могут деформировать любое твердое тело. Для наших целей, таким образом, твердое тело — это твердое тело, для ощутимой деформации которого требуются большие силы.
Изменение положения частицы в трехмерном пространстве может быть полностью задано тремя координатами. Изменение положения твердого тела описать сложнее. Его можно рассматривать как комбинацию двух различных типов движения: поступательного движения и кругового движения.
Чисто поступательное движение происходит, когда каждая частица тела имеет ту же мгновенную скорость, что и любая другая частица; тогда путь, пройденный любой частицей, точно параллелен пути, пройденному любой другой частицей в теле. При поступательном движении изменение положения твердого тела полностью задается тремя координатами, такими как x , y и z, дающими смещение любой точки, такой как центр масс, закрепленный на твердом теле.
Чисто вращательное движение происходит, если каждая частица в теле движется по окружности вокруг одной линии. Эта линия называется осью вращения. Тогда радиус- векторы от оси до всех частиц претерпевают одинаковое угловое смещение в одно и то же время. Ось вращения не обязательно должна проходить через тело. В общем случае любое вращение может быть полностью задано тремя угловыми смещениями относительно прямоугольных осей координат x , y и z . Таким образом, любое изменение положения твердого тела полностью описывается тремя поступательными и тремя вращательными координатами.
Любое смещение твердого тела может быть достигнуто путем первого смещения тела с последующим вращением или, наоборот, вращения с последующим смещением. Мы уже знаем, что для любого набора частиц — будь то покоящиеся относительно друг друга, как в твердом теле, или находящиеся в относительном движении, как взрывающиеся осколки снаряда, ускорение центра масс определяется выражением, где M — полная масса системы, а a см — ускорение центра масс. Остается вопрос описания вращения тела вокруг центра масс и его связи с внешними силами, действующими на тело. Кинематика и динамика вращательного движения вокруг одной оси напоминают кинематику и динамику поступательного движения; вращательное движение вокруг одной оси даже имеет теорему о работе и энергии, аналогичную теореме динамики частиц.
Если частица движется по окружности радиуса , пройдя длину дуги , ее угловое положение относительно ее начального положения равно .
В математике и физике принято считать радиан , единицу измерения плоского угла, равным 1, часто опуская его. Единицы преобразуются следующим образом:
Угловое смещение — это изменение углового положения: где — угловое смещение, — начальное угловое положение, — конечное угловое положение.
Изменение углового смещения за единицу времени называется угловой скоростью с направлением вдоль оси вращения. Символ угловой скорости — , а единицы измерения обычно рад с −1 . Угловая скорость — это величина угловой скорости. ω ¯ = Δ θ Δ t = θ 2 − θ 1 t 2 − t 1 . {\displaystyle {\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}
Мгновенная угловая скорость определяется как ω ( t ) = d θ d t . {\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.}
Используя формулу для углового положения и допуская , имеем также ω = d θ d t = v r , {\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},} где — поступательная скорость частицы.
Угловая скорость и частота связаны соотношением ω = 2 π f . {\displaystyle \omega ={2\pi f}\,.}
Изменение угловой скорости указывает на наличие углового ускорения в твердом теле, обычно измеряемого в рад с −2 . Среднее угловое ускорение за интервал времени Δ t определяется как α ¯ = Δ ω Δ t = ω 2 − ω 1 t 2 − t 1 . {\displaystyle {\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}
Мгновенное ускорение α ( t ) определяется как α ( t ) = d ω d t = d 2 θ d t 2 . {\displaystyle \alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.}
Таким образом, угловое ускорение — это скорость изменения угловой скорости, так же как ускорение — это скорость изменения скорости.
Поступательное ускорение точки на вращающемся объекте определяется как , где r — радиус или расстояние от оси вращения. Это также тангенциальная составляющая ускорения: она направлена по касательной к направлению движения точки. Если эта составляющая равна 0, движение является равномерным круговым движением , а скорость изменяется только по направлению.
Радиальное ускорение (перпендикулярное направлению движения) определяется выражением Оно направлено к центру вращательного движения и часто называется центростремительным ускорением .
Угловое ускорение вызывается крутящим моментом , который может иметь положительное или отрицательное значение в соответствии с соглашением о положительной и отрицательной угловой частоте. Соотношение между крутящим моментом и угловым ускорением (насколько трудно начать, остановить или иным образом изменить вращение) задается моментом инерции : .
Когда угловое ускорение постоянно, пять величин: угловое перемещение , начальная угловая скорость , конечная угловая скорость , угловое ускорение и время, могут быть связаны четырьмя уравнениями кинематики :
Момент инерции объекта, обозначаемый как , является мерой сопротивления объекта изменениям его вращения. Момент инерции измеряется в килограмм-метр² (кг·м² ) . Он зависит от массы объекта: увеличение массы объекта увеличивает момент инерции. Он также зависит от распределения массы: распределение массы дальше от центра вращения увеличивает момент инерции в большей степени. Для отдельной частицы массы на расстоянии от оси вращения момент инерции определяется по формуле I = m r 2 . {\displaystyle I=mr^{2}.}
Крутящий момент — это скручивающий эффект силы F, приложенной к вращающемуся объекту, который находится в положении r от его оси вращения. Математически τ = r × F , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,} где × обозначает векторное произведение . Чистый крутящий момент, действующий на объект, будет создавать угловое ускорение объекта в соответствии с τ = I α , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},} так же, как F = m a в линейной динамике.
Работа, совершаемая крутящим моментом, действующим на объект, равна величине крутящего момента, умноженной на угол, под которым приложен крутящий момент:
Мощность крутящего момента равна работе, совершаемой крутящим моментом за единицу времени, следовательно:
Угловой момент — это мера сложности приведения вращающегося объекта в состояние покоя. Он определяется как L = ∑ r × p , {\displaystyle \mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,} где сумма берется по всем частицам объекта.
Угловой момент является произведением момента инерции и угловой скорости: L = I ω , {\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},} так же, как p = m v в линейной динамике.
Аналогом линейного импульса во вращательном движении является угловой момент. Чем больше угловой момент вращающегося объекта, например, волчка, тем больше его тенденция продолжать вращаться.
Угловой момент вращающегося тела пропорционален его массе и скорости вращения. Кроме того, угловой момент зависит от того, как распределена масса относительно оси вращения: чем дальше масса расположена от оси вращения, тем больше угловой момент. Плоский диск, такой как проигрыватель пластинок, имеет меньший угловой момент, чем полый цилиндр той же массы и скорости вращения.
Как и линейный импульс, угловой момент является векторной величиной, и его сохранение подразумевает, что направление оси вращения имеет тенденцию оставаться неизменным. По этой причине вращающийся волчок остается в вертикальном положении, тогда как неподвижный немедленно падает.
Уравнение момента импульса можно использовать для связи момента результирующей силы, действующей на тело относительно оси (иногда называемого крутящим моментом), и скорости вращения вокруг этой оси.
Крутящий момент и момент импульса связаны соотношением τ = d L d t , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}},} так же, как F = d p / dt в линейной динамике. При отсутствии внешнего момента момент импульса тела остается постоянным. Сохранение момента импульса особенно заметно в фигурном катании : при подтягивании рук ближе к телу во время вращения момент инерции уменьшается, и, следовательно, угловая скорость увеличивается.
Кинетическая энергия, возникающая при вращении тела, определяется по формуле
так же, как в линейной динамике.
Кинетическая энергия — это энергия движения. Количество поступательной кинетической энергии, найденное в двух переменных: массе объекта ( ) и скорости объекта ( ), как показано в уравнении выше. Кинетическая энергия всегда должна быть либо нулевой, либо положительной. В то время как скорость может иметь как положительное, так и отрицательное значение, квадрат скорости всегда будет положительным. [1]
Вышеприведенное развитие является частным случаем общего вращательного движения. В общем случае угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение и крутящий момент считаются векторами .
Угловое смещение считается вектором, направленным вдоль оси, величина которого равна величине . Правило правой руки используется для определения того, в какую сторону он направлен вдоль оси; если пальцы правой руки согнуты так, чтобы указывать в направлении, в котором повернулся объект, то большой палец правой руки указывает в направлении вектора.
Вектор угловой скорости также указывает вдоль оси вращения так же, как и угловые смещения, которые он вызывает. Если диск вращается против часовой стрелки, если смотреть сверху, его вектор угловой скорости указывает вверх. Аналогично, вектор углового ускорения указывает вдоль оси вращения в том же направлении, в котором указывала бы угловая скорость, если бы угловое ускорение поддерживалось в течение длительного времени.
Вектор крутящего момента направлен вдоль оси, вокруг которой крутящий момент стремится вызвать вращение. Чтобы поддерживать вращение вокруг фиксированной оси, общий вектор крутящего момента должен быть направлен вдоль оси, так что он изменяет только величину, а не направление вектора угловой скорости. В случае шарнира только составляющая вектора крутящего момента вдоль оси оказывает влияние на вращение, другие силы и крутящие моменты компенсируются конструкцией.
В математике представление ось -угол параметризует вращение в трехмерном евклидовом пространстве двумя величинами: единичным вектором e, указывающим направление оси вращения , и углом поворота θ, описывающим величину и направление (например, по часовой стрелке ) вращения вокруг оси. Для определения направления единичного вектора e с корнем в начале координат нужны только два числа, а не три, поскольку величина e ограничена. Например, углов возвышения и азимута e достаточно, чтобы определить его в любой конкретной декартовой системе координат.
По формуле вращения Родригеса угол и ось определяют преобразование, которое вращает трехмерные векторы. Вращение происходит в направлении, предписанном правилом правой руки .
Ось вращения иногда называют осью Эйлера. Представление оси-угла основано на теореме Эйлера о вращении , которая гласит, что любое вращение или последовательность вращений твердого тела в трехмерном пространстве эквивалентны чистому вращению вокруг одной фиксированной оси.
Это один из многих формализмов вращения в трех измерениях .Простейшим случаем вращения вокруг неподвижной оси является случай постоянной угловой скорости. Тогда общий крутящий момент равен нулю. Например, для вращения Земли вокруг своей оси трение очень мало. Для вентилятора двигатель прикладывает крутящий момент для компенсации трения. Подобно вентилятору, оборудование, используемое в промышленности массового производства, эффективно демонстрирует вращение вокруг неподвижной оси. Например, многошпиндельный токарный станок используется для вращения материала вокруг своей оси, чтобы эффективно повысить производительность операций резки, деформации и токарной обработки. [2] Угол поворота является линейной функцией времени, которая по модулю 360° является периодической функцией.
Примером этого является задача двух тел с круговыми орбитами .
Внутреннее растягивающее напряжение обеспечивает центростремительную силу , которая удерживает вращающийся объект вместе. Модель жесткого тела пренебрегает сопутствующей деформацией . Если тело не является жестким, эта деформация заставит его изменить форму. Это выражается в том, что объект меняет форму из-за « центробежной силы ».
Небесные тела, вращающиеся друг относительно друга, часто имеют эллиптические орбиты . Частным случаем круговых орбит является пример вращения вокруг фиксированной оси: эта ось является линией, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения. Центростремительная сила обеспечивается гравитацией , см. также задачу двух тел . Это обычно применимо и к вращающемуся небесному телу, поэтому ему не нужно быть твердым, чтобы сохранять целостность, если только угловая скорость не слишком высока по отношению к его плотности. (Оно, однако, будет иметь тенденцию становиться сплющенным .) Например, вращающемуся небесному телу воды необходимо не менее 3 часов и 18 минут, чтобы обернуться, независимо от размера, или вода разделится [ требуется ссылка ] . Если плотность жидкости выше, время может быть меньше. См. орбитальный период . [3]
В геометрии плоскость вращения — это абстрактный объект, используемый для описания или визуализации вращений в пространстве.
Основное применение плоскостей вращения заключается в описании более сложных вращений в четырехмерном пространстве и более высоких измерениях , где они могут быть использованы для разложения вращений на более простые части. Это можно сделать с помощью геометрической алгебры , с плоскостями вращения, связанными с простыми бивекторами в алгебре. [4]
Плоскости вращения нечасто используются в двух- и трехмерном пространстве , поскольку в двух измерениях имеется только одна плоскость (поэтому определение плоскости вращения является тривиальной задачей и выполняется редко), тогда как в трех измерениях ось вращения служит той же цели и является более устоявшимся подходом.
Математически такие плоскости можно описать несколькими способами. Их можно описать в терминах плоскостей и углов поворота . Их можно связать с бивекторами из геометрической алгебры . Они связаны с собственными значениями и собственными векторами матрицы поворота . И в определенных измерениях они связаны с другими алгебраическими и геометрическими свойствами, которые затем можно обобщить на другие измерения.
