В физике вращательно-колебательная связь [1] происходит, когда частота вращения системы близка или идентична собственной частоте внутренних колебаний . Анимация справа показывает идеальное движение, при котором сила, создаваемая пружиной , и расстояние от центра вращения увеличиваются линейно без трения .
В вращательно-колебательной связи угловая скорость колеблется. Притягивая вращающиеся массы ближе друг к другу, пружина передает свою накопленную энергию деформации в кинетическую энергию вращающихся масс, увеличивая их угловую скорость. Пружина не может сблизить вращающиеся массы, так как тяга пружины ослабевает по мере сближения вращающихся масс. В какой-то момент увеличивающаяся угловая скорость вращающихся масс преодолевает тягу пружины, заставляя вращающиеся массы все больше отдаляться друг от друга. Это все больше напрягает пружину, усиливая ее тягу и заставляя вращающиеся массы передавать свою кинетическую энергию в энергию деформации пружины, тем самым уменьшая угловую скорость вращающихся масс. В какой-то момент тяга пружины преодолевает угловую скорость вращающихся масс, перезапуская цикл.
В конструкции вертолетов необходимо предусмотреть демпфирующие устройства , поскольку при определенных угловых скоростях вибрации лопастей могут усиливаться вращательно-колебательной связью и катастрофически нарастать. Без демпфирования эти вибрации приведут к отрыву лопастей.
Анимация справа дает более четкое представление об колебании угловой скорости. Существует близкая аналогия с гармоническим колебанием .
Когда гармоническое колебание находится в своей средней точке, то вся энергия системы является кинетической энергией . Когда гармоническое колебание находится в точках, наиболее удаленных от средней точки, вся энергия системы является потенциальной энергией . Энергия системы колеблется вперед и назад между кинетической энергией и потенциальной энергией.
В анимации с двумя вращающимися массами есть возвратно-поступательное колебание кинетической энергии и потенциальной энергии. Когда пружина находится в максимальном растяжении, потенциальная энергия самая большая, когда угловая скорость максимальна, кинетическая энергия самая большая.
В случае настоящей пружины присутствует трение. В случае настоящей пружины вибрация будет затухать, и в конечном итоге массы будут вращаться вокруг друг друга на постоянном расстоянии, с постоянным натяжением пружины.
В этом обсуждении применяются следующие упрощения: сама пружина считается невесомой, а пружина считается идеальной пружиной; восстанавливающая сила увеличивается линейно по мере растяжения пружины. То есть восстанавливающая сила точно пропорциональна расстоянию от центра вращения. Возвращающая сила с такой характеристикой называется гармонической силой .
Следующее параметрическое уравнение положения как функции времени описывает движение вращающихся масс:
где
Движение как функция времени можно также рассматривать как векторную комбинацию двух равномерных круговых движений. Параметрические уравнения (1) и (2) можно переписать как:
Преобразование в систему координат, вычитающее общее круговое движение, оставляет эксцентриситет эллипсовидной траектории. Центр эксцентриситета расположен на расстоянии от главного центра:
Это на самом деле то, что видно во второй анимации, в которой движение отображается в системе координат, вращающейся с постоянной угловой скоростью. Угловая скорость движения относительно вращающейся системы координат равна 2ω, что в два раза больше угловой скорости общего движения. Пружина непрерывно совершает работу. Точнее, пружина колеблется между совершением положительной работы (увеличение кинетической энергии груза) и совершением отрицательной работы (уменьшение кинетической энергии груза)
Центростремительная сила — это гармоническая сила.
Множество всех решений приведенного выше уравнения движения состоит как из круговых траекторий, так и из траекторий в форме эллипса. Все решения имеют одинаковый период обращения. Это отличительная черта движения под действием гармонической силы; все траектории совершают один оборот за одинаковое время.
При использовании вращающейся системы координат к уравнению движения добавляются центробежный член и член Кориолиса. Следующее уравнение дает ускорение относительно вращающейся системы объекта, находящегося в инерциальном движении.
Здесь Ω — угловая скорость вращающейся системы координат относительно инерциальной системы координат. v — скорость движущегося объекта относительно вращающейся системы координат. Важно отметить, что центробежный член определяется угловой скоростью вращающейся системы координат; центробежный член не связан с движением объекта.
В целом это дает следующие три члена в уравнении движения для движения относительно системы координат, вращающейся с угловой скоростью Ω .
И центростремительная сила, и центробежный член в уравнении движения пропорциональны r . Угловая скорость вращающейся системы координат регулируется так, чтобы иметь тот же период обращения, что и объект, следующий по эллипсовидной траектории. Следовательно, вектор центростремительной силы и вектор центробежного члена на каждом расстоянии от центра равны друг другу по величине и противоположны по направлению, поэтому эти два члена убывают друг против друга.
Только в очень особых обстоятельствах вектор центростремительной силы и центробежный член убывают друг против друга на каждом расстоянии от центра вращения. Это имеет место тогда и только тогда, когда центростремительная сила является гармонической силой.
В этом случае в уравнении движения остается только член Кориолиса.
Поскольку вектор члена Кориолиса всегда перпендикулярен скорости относительно вращающейся системы координат, то в случае восстанавливающей силы, которая является гармонической силой, эксцентриситет траектории проявится как небольшое круговое движение относительно вращающейся системы координат. Множитель 2 члена Кориолиса соответствует периоду вращения, который составляет половину периода общего движения.
Как и ожидалось, анализ с использованием векторной записи приводит к прямому подтверждению предыдущего анализа:
пружина непрерывно выполняет работу. Точнее, пружина колеблется между выполнением положительной работы (увеличение кинетической энергии груза) и выполнением отрицательной работы (уменьшение кинетической энергии груза).
В предыдущем разделе под названием «Преобразования энергии» динамика отслеживается путем отслеживания преобразований энергии . Увеличение угловой скорости при сокращении соответствует принципу сохранения момента импульса . Поскольку на вращающиеся грузы не действует крутящий момент , момент импульса сохраняется. Однако это игнорирует причинный механизм, который представляет собой силу растянутой пружины и работу, проделанную во время ее сокращения и растяжения. Аналогично, когда стреляют из пушки, снаряд вылетит из ствола в сторону цели, и ствол отскочит в соответствии с принципом сохранения импульса . Это не означает, что снаряд покидает ствол на высокой скорости, потому что ствол отскакивает. Хотя отдача ствола должна происходить, как описано в третьем законе Ньютона , она не является причинным агентом.
Причинный механизм заключается в энергетических преобразованиях: взрыв пороха преобразует потенциальную химическую энергию в потенциальную энергию сильно сжатого газа. По мере расширения газа его высокое давление оказывает силу как на снаряд, так и на внутреннюю часть ствола. Именно посредством действия этой силы потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию как снаряда, так и ствола.
В случае вращательно-колебательной связи причинным агентом является сила, оказываемая пружиной. Пружина колеблется между выполнением работы и выполнением отрицательной работы. (Работа считается отрицательной, когда направление силы противоположно направлению движения.)
