Скалярное поле

Присвоение чисел точкам в пространстве

Скалярное поле, такое как температура или давление, где интенсивность поля представлена ​​различными оттенками цветов.

В математике и физике скалярное поле — это функция, связывающая одно число с каждой точкой в ​​области пространства — возможно, физического пространства . Скаляр может быть либо чистым математическим числом ( безразмерным ), либо скалярной физической величиной (с единицами ).

В физическом контексте скалярные поля должны быть независимыми от выбора системы отсчета. То есть любые два наблюдателя, использующие одни и те же единицы, согласятся относительно значения скалярного поля в одной и той же абсолютной точке пространства (или пространства-времени ) независимо от их соответствующих точек происхождения. Примеры, используемые в физике, включают распределение температуры в пространстве, распределение давления в жидкости и квантовые поля со спином ноль, такие как поле Хиггса . Эти поля являются предметом теории скалярного поля .

Определение

Математически скалярное поле в области U является действительной или комплекснозначной функцией или распределением в U. ^{[1] [2]} Область U может быть множеством в некотором евклидовом пространстве , пространстве Минковского или, в более общем смысле, подмножеством многообразия , и в математике типично накладывать дополнительные условия на поле, так что оно должно быть непрерывным или часто непрерывно дифференцируемым до некоторого порядка. Скалярное поле является тензорным полем нулевого порядка, ^[3] и термин «скалярное поле» может использоваться для различения функции такого рода с более общим тензорным полем, плотностью или дифференциальной формой .

Скалярное поле колеблется по мере увеличения. Красный цвет представляет положительные значения, фиолетовый — отрицательные значения, а небесно-голубой — значения, близкие к нулю. ${\displaystyle \sin(2\pi (xy+\sigma ))}$ ${\displaystyle \sigma }$

Физически скалярное поле дополнительно отличается наличием единиц измерения, связанных с ним. В этом контексте скалярное поле также должно быть независимым от системы координат, используемой для описания физической системы, то есть любые два наблюдателя, использующие одни и те же единицы, должны согласиться о численном значении скалярного поля в любой заданной точке физического пространства. Скалярные поля противопоставляются другим физическим величинам, таким как векторные поля , которые связывают вектор с каждой точкой области, а также тензорные поля и спинорные поля . ^{[ необходима цитата ]} Более тонко скалярные поля часто противопоставляются псевдоскалярным полям.

Использование в физике

В физике скалярные поля часто описывают потенциальную энергию, связанную с определенной силой . Сила — это векторное поле , которое может быть получено как фактор градиента скалярного поля потенциальной энергии. Примеры включают:

• Потенциальные поля, такие как ньютоновский гравитационный потенциал или электрический потенциал в электростатике , являются скалярными полями, которые описывают более знакомые силы.
• Поле температуры , влажности или давления , например, используемое в метеорологии .

Примеры в квантовой теории и теории относительности

• В квантовой теории поля скалярное поле связано с частицами со спином 0. Скалярное поле может быть действительным или комплексным. Комплексные скалярные поля представляют заряженные частицы. К ним относятся поле Хиггса Стандартной модели , а также заряженные пионы , опосредующие сильное ядерное взаимодействие . ^[4]
• В Стандартной модели элементарных частиц скалярное поле Хиггса используется для придания лептонам и массивным векторным бозонам их массы посредством комбинации взаимодействия Юкавы и спонтанного нарушения симметрии . Этот механизм известен как механизм Хиггса . ^[5] Кандидат на роль бозона Хиггса был впервые обнаружен в ЦЕРНе в 2012 году.
• В скалярных теориях гравитации для описания гравитационного поля используются скалярные поля.
• Скалярно-тензорные теории представляют гравитационное взаимодействие как через тензор, так и через скаляр. Такие попытки, например, представляют собой теорию Джордана ^[6] как обобщение теории Калуцы–Клейна и теории Бранса–Дикке . ^[7]

• Скалярные поля, такие как поле Хиггса, можно найти в скалярно-тензорных теориях, используя в качестве скалярного поля поле Хиггса Стандартной модели . ^{[8] [9]} Это поле взаимодействует гравитационно и подобно Юкаве (на коротких расстояниях) с частицами, которые получают через него массу. ^[10]

• Скалярные поля обнаруживаются в теориях суперструн как дилатонные поля, нарушающие конформную симметрию струны, хотя и уравновешивающие квантовые аномалии этого тензора. ^[11]
• Предполагается, что скалярные поля вызвали сильно ускоренное расширение ранней Вселенной ( инфляцию ), ^[12] помогая решить проблему горизонта и давая гипотетическую причину неисчезающей космологической постоянной космологии. Безмассовые (т.е. дальнодействующие) скалярные поля в этом контексте известны как инфлатоны . Массивные (т.е. короткодействующие) скалярные поля также предлагаются, используя, например, поля типа Хиггса. ^[13]

Другие виды полей

• Векторные поля , которые связывают вектор с каждой точкой пространства. Некоторые примеры векторных полей включают электромагнитное поле и поток воздуха ( ветер ) в метеорологии.
• Тензорные поля , которые связывают тензор с каждой точкой пространства. Например, в общей теории относительности гравитация связана с тензорным полем, называемым тензором Эйнштейна . В теории Калуцы–Клейна пространство-время расширено до пяти измерений, и его тензор кривизны Римана можно разделить на обычную четырехмерную гравитацию плюс дополнительный набор, который эквивалентен уравнениям Максвелла для электромагнитного поля , плюс дополнительное скалярное поле, известное как « дилатон ». ^{[ требуется ссылка ]} ( Скаляр дилатона также встречается среди безмассовых бозонных полей в теории струн .)

Смотрите также

• Теория скалярного поля
• Векторный бозон
• Векторная функция

Ссылки

1. Апостол, Том (1969). Исчисление . Т. II (2-е изд.). Wiley.
2. "Скаляр", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
3. "Скалярное поле", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
4. Технически пионы на самом деле являются примерами псевдоскалярных мезонов , которые не инвариантны относительно пространственной инверсии, но в остальном инвариантны относительно преобразований Лоренца.
5. PW Higgs (октябрь 1964 г.). «Нарушенные симметрии и массы калибровочных бозонов». Phys. Rev. Lett . 13 (16): 508–509. Bibcode :1964PhRvL..13..508H. doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 .
6. Джордан, П. (1955). Шверкрафт и Вельталь. Брауншвейг: Просмотрег.
7. Brans, C.; Dicke, R. (1961). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Phys. Rev. 124 ( 3): 925. Bibcode :1961PhRv..124..925B. doi :10.1103/PhysRev.124.925.
8. Zee, A. (1979). «Теория гравитации с нарушенной симметрией». Phys. Rev. Lett . 42 (7): 417–421. Bibcode : 1979PhRvL..42..417Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.42.417.
9. Денен, Х.; Фроммерт, Х.; Габусси, Ф. (1992). «Поле Хиггса и новая скалярно-тензорная теория гравитации». Int. J. Theor. Phys . 31 (1): 109. Bibcode :1992IJTP...31..109D. doi :10.1007/BF00674344. S2CID  121308053.
10. Денен, Х.; Фроммерт, Х. (1991). «Гравитация поля Хиггса в стандартной модели». Int. J. Theor. Phys . 30 (7): 985–998 [стр. 987]. Bibcode :1991IJTP...30..985D. doi :10.1007/BF00673991. S2CID  120164928.
11. Brans, CH (2005). «Корни скалярно-тензорной теории». arXiv : gr-qc/0506063 .
12. Гут, А. (1981). «Инфляционная Вселенная: Возможное решение проблем горизонта и плоскостности». Phys. Rev. D. 23 ( 2): 347–356. Bibcode :1981PhRvD..23..347G. doi : 10.1103/PhysRevD.23.347 .
13. Сервантес-Кота, Дж. Л.; Денен, Х. (1995). «Индуцированная гравитационная инфляция в SU(5) GUT». Phys. Rev. D. 51 ( 2): 395–404. arXiv : astro-ph/9412032 . Bibcode : 1995PhRvD..51..395C. doi : 10.1103/PhysRevD.51.395. PMID  10018493. S2CID  11077875.