Диагональная матрица

В линейной алгебре диагональная матрица — это матрица , в которой все элементы за пределами главной диагонали равны нулю; этот термин обычно относится к квадратным матрицам . Элементы главной диагонали могут быть как нулевыми, так и ненулевыми. Примером диагональной матрицы 2×2 является , в то время как примером диагональной матрицы 3×3 является . Единичная матрица любого размера или любого кратного ей является диагональной матрицей, называемой скалярной матрицей, например, . В геометрии диагональная матрица может использоваться в качестве масштабирующей матрицы , поскольку умножение матриц на нее приводит к изменению масштаба (размера) и, возможно, также формы ; только скалярная матрица приводит к равномерному изменению масштаба. $\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]$

Определение

Как указано выше, диагональная матрица — это матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. То есть матрица $D = (d i, j)$ с $n$ столбцами и $n$ строками является диагональной, если $\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\подразумевает d_{i,j}=0.$

Однако входы по главной диагонали не ограничены.

Термин «диагональная матрица» иногда может относиться кпрямоугольная диагональная матрица , которая является $m$ -на- $n$ со всеми элементами не вида $d i, i$ равно нулю. Например: ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\end{bmatrix}}\quad {\text{или}}\quad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}$

Однако чаще всего диагональная матрица относится к квадратным матрицам, которые можно явно указать какКвадратно-диагональная матрица . Квадратно-диагональная матрица являетсясимметричной матрицей, поэтому ее также можно назватьсимметричная диагональная матрица .

Следующая матрица является квадратной диагональной матрицей: ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$

Если элементы являются действительными числами или комплексными числами , то это также обычная матрица .

В оставшейся части статьи мы будем рассматривать только квадратные диагональные матрицы и называть их просто «диагональными матрицами».

Оператор вектор-матрица diag

Диагональную матрицу $D$ можно построить из вектора с помощью оператора: $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ $\operatorname {diag}$ $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots,a_{n})$

Более компактно это можно записать как . $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a})$

Этот же оператор используется также для представления блочно-диагональных матриц , где каждый аргумент $A$ $i$ является матрицей. $\mathbf {A} =\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\dots,\mathbf {A} _{n})$

Оператор $diag$ можно записать как: где представляет собой произведение Адамара , а $1$ — постоянный вектор с элементами 1. $\operatorname {diag} (\mathbf {a}) =\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^ {\textsf {T}} \right)\circ \mathbf {I}$ $\circ$

Оператор преобразования матрицы в вектор

Оператор обратного преобразования матрицы в вектор иногда обозначается одноименным оператором $diag$ , где аргументом теперь является матрица, а результатом — вектор ее диагональных элементов. $\operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$

Имеет место следующее свойство: $\operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B}) = \sum _ {j} \left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}} \right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1}$

Скалярная матрица

Диагональная матрица с равными диагональными элементами является скалярной матрицей ; то есть скалярным кратным $λ$ единичной матрицы $I.$ Ее влияние на вектор — скалярное умножение на $λ$ . Например, скалярная матрица 3×3 имеет вид: ${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}$

Скалярные матрицы являются центром алгебры матриц: то есть, они являются именно теми матрицами, которые коммутируют со всеми другими квадратными матрицами того же размера. ^[a] Напротив, над полем (например, действительными числами) диагональная матрица со всеми диагональными элементами, отличными друг от друга, коммутирует только с диагональными матрицами (ее централизатор — это множество диагональных матриц). Это потому, что если диагональная матрица затем дала матрицу $M$ с членом $($ $i$ $,$ $j$ $),$ то произведения будут: и и (так как можно делить на $m$ $ij$ ), поэтому они не коммутируют, если только недиагональные члены не равны нулю. ^[b] Диагональные матрицы, где диагональные элементы не все равны или не все различны, имеют централизаторы, промежуточные между всем пространством и только диагональными матрицами. ^[1] $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots,a_{n})$ $a_{i}\neq a_{j},$ $m_{ij}\neq 0,$ $(\mathbf {DM} )_{ij}=a_{i}m_{ij}$ $(\mathbf {MD})_{ij}=m_{ij}a_{j},$ $a_{j}m_{ij} \neq m_{ij}a_{i}$

Для абстрактного векторного пространства $V$ (а не конкретного векторного пространства $K n$ ) аналогом скалярных матриц являются скалярные преобразования . Это справедливо в более общем случае для модуля $M$ над кольцом $R$ , при этом алгебра эндоморфизмов $End(M)$ (алгебра линейных операторов на $M$ ) заменяет алгебру матриц. Формально скалярное умножение является линейным отображением, индуцирующим отображение (из скаляра $λ$ в его соответствующее скалярное преобразование, умножение на $λ$ ), представляющее $End($ $M$ $)$ как $R$ - алгебру . Для векторных пространств скалярные преобразования являются в точности центром алгебры эндоморфизмов, и, аналогично, скалярные обратимые преобразования являются центром общей линейной группы $GL($ $V$ $)$ . Первый из них в более общем случае является истинным свободным модулем , для которого алгебра эндоморфизмов изоморфна матричной алгебре. $R\to \operatorname {Конец} (M),$ $M\cong R^{n},$

Векторные операции

Умножение вектора на диагональную матрицу умножает каждый из членов на соответствующую диагональную запись. При наличии диагональной матрицы и вектора произведение равно: $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots,a_{n})$ $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ $\mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$

Это можно выразить более компактно, используя вектор вместо диагональной матрицы, и взяв произведение Адамара векторов (поэлементное произведение), обозначаемое : $\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ $\mathbf {d} \circ \mathbf {v}$

$\mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$

Это математически эквивалентно, но позволяет избежать хранения всех нулевых членов этой разреженной матрицы . Таким образом, этот продукт используется в машинном обучении , например, для вычисления произведений производных в обратном распространении или умножения весов IDF в TF-IDF , ^[2] поскольку некоторые фреймворки BLAS , которые эффективно умножают матрицы, не включают возможность произведения Адамара напрямую. ^[3]

Матричные операции

Операции сложения и умножения матриц особенно просты для диагональных матриц. Запишите $diag(a 1, ..., a n)$ для диагональной матрицы, диагональные элементы которой, начинающиеся в верхнем левом углу, равны $a 1, ..., a n$ . Тогда для сложения мы имеем

$\operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})$

и для умножения матриц ,

$\operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).$

Диагональная матрица $diag(a 1, ..., a n)$ обратима тогда и только тогда, когда элементы $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $n$ все ненулевые. В этом случае мы имеем

$\operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).$

В частности, диагональные матрицы образуют подкольцо кольца всех матриц размера $n$ $на n$ .

Умножение матрицы $A$ размером $n на$ n слева $на$ diag ( $a$ $1$ $,$ $...,$ $an$ $)$ равносильно умножению $i$ -й $строки$ матрицы A $на$ a $i$ $для$ всех $i$ ; умножение матрицы $A$ справа на diag $($ $a$ $1$ $, ...,$ $an$ $)$ $равносильно$ умножению $i$ -го столбца матрицы $A$ на $a$ $i$ для всех $i$ .

Операторная матрица в собственном базисе

Как объяснялось при определении коэффициентов операторной матрицы , существует специальный базис, $e 1, ..., e n$ , для которого матрица $A$ принимает диагональную форму. Следовательно, в определяющем уравнении все коэффициенты $a$ $i, j$ при $i$ $\neq$ $j$ равны нулю, оставляя только один член в сумме. Оставшиеся диагональные элементы, $a$ $i, j$ , известны как собственные значения и обозначаются как $λ$ $i$ в уравнении, которое сводится к Полученное уравнение известно как уравнение собственных значений ^[4] и используется для вывода характеристического полинома и, далее, собственных значений и собственных векторов . ${\textstyle \mathbf {Ae} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ $\mathbf {Ae} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}.$

Другими словами, $собственными$ значениями diag $(λ 1, ..., λ n)$ являются $λ 1, ..., λ n$ с соответствующими собственными векторами e $1$ $, ...,$ $e$ $n$ .

Характеристики

Определитель diag $($ $a$ $1$ , $...,$ $a$ $n$ $)$ равен произведению $a$ $1$ $\dots$ $a$ $n$ .
Сопряжение диагональной матрицы снова является диагональным .
Где все матрицы квадратные,
- Матрица диагональна тогда и только тогда, когда она треугольная и нормальная .
- Матрица является диагональной тогда и только тогда, когда она является как верхне- , так и нижнетреугольной .
- Диагональная матрица симметрична .
Единичная матрица $I n$ и нулевая матрица являются диагональными.
Матрица 1×1 всегда диагональна.
Квадрат матрицы 2×2 с нулевым следом всегда диагонален.

Приложения

Диагональные матрицы встречаются во многих областях линейной алгебры. Из-за простого описания матричной операции и собственных значений/собственных векторов, приведенных выше, обычно желательно представлять заданную матрицу или линейную карту диагональной матрицей.

Фактически, заданная $n$ -на- $n$ матрица $A$ подобна диагональной матрице ( что означает, что существует матрица $X$ такая, что $X -1 AX$ является диагональной) тогда и только тогда, когда она имеет $n$ линейно независимых собственных векторов. Такие матрицы называются диагонализируемыми .

Над полем действительных или комплексных чисел верно больше. Спектральная теорема утверждает , что каждая нормальная матрица унитарно подобна диагональной матрице (если $AA$ $*$ $=$ $A$ $*$ $A,$ то существует унитарная матрица $U$ такая, что $UAU$ $*$ диагональна). Более того, разложение по сингулярным значениям подразумевает, что для любой матрицы $A$ существуют унитарные матрицы $U$ и $V$ такие, что $U$ $*$ $AV$ диагональна с положительными элементами.

Теория операторов

В теории операторов , в частности, при изучении уравнений в частных производных , операторы особенно легко понять, а уравнения в частных производных легко решить, если оператор диагонален по отношению к базису, с которым мы работаем; это соответствует разделимому уравнению в частных производных . Поэтому ключевым приемом для понимания операторов является изменение координат — на языке операторов, интегральное преобразование — которое изменяет базис на собственный базис собственных функций : что делает уравнение разделимым. Важным примером этого является преобразование Фурье , которое диагонализирует операторы дифференцирования с постоянным коэффициентом (или, в более общем смысле, инвариантные относительно трансляции операторы), такие как оператор Лапласа, скажем, в уравнении теплопроводности .

Особенно просты операторы умножения , которые определяются как умножение на (значения) фиксированной функции – значения функции в каждой точке соответствуют диагональным элементам матрицы.

Смотрите также

Примечания

^ Доказательство: если задана элементарная матрица , то это матрица только с i -й строкой M , а это квадратная матрица только с j -м столбцом M , поэтому недиагональные элементы должны быть равны нулю, а i -й диагональный элемент должен быть равен j -му диагональному элементу. $e_{ij}$ $Me_{ij}$ $e_{ij}M$
^ Для более общих колец это не выполняется, поскольку не всегда можно выполнить деление.

Ссылки

^ «Всегда ли диагональные матрицы коммутируют?». Stack Exchange. 15 марта 2016 г. Получено 4 августа 2018 г.
^ Сахами, Мехран (2009-06-15). Текстовый анализ: классификация, кластеризация и приложения. CRC Press. стр. 14. ISBN 9781420059458.
^ "Поэлементное вектор-векторное умножение в BLAS?". stackoverflow.com . 2011-10-01 . Получено 2020-08-30 .
^ Ниринг, Джеймс (2010). "Глава 7.9: Собственные значения и собственные векторы" (PDF) . Математические инструменты для физики. Dover Publications. ISBN 978-0486482125. Получено 1 января 2012 г. .

Источники

Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Ройял (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6