Амплитуда рассеяния

Амплитуда вероятности в квантовой теории рассеяния

В квантовой физике амплитуда рассеяния — это амплитуда вероятности исходящей сферической волны относительно входящей плоской волны в процессе рассеяния в стационарном состоянии . ^[1] На больших расстояниях от центрально-симметричного центра рассеяния плоская волна описывается волновой функцией ^[2]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,}$

где – вектор положения; ; – приходящая плоская волна с волновым числом k вдоль оси z ; – исходящая сферическая волна; θ — угол рассеяния (угол между направлением падения и рассеяния); – амплитуда рассеяния. Размерность амплитуды рассеяния равна длине . Амплитуда рассеяния является амплитудой вероятности ; дифференциальное сечение как функция угла рассеяния определяется как квадрат его модуля , ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv (x,y,z)}$ ${\displaystyle r\equiv |\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle e^{ikz}}$ ${\displaystyle e^{ikr}/r}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle d\sigma =|f(\theta )|^{2}\;d\Omega .}$

Асимптотика волновой функции в произвольном внешнем поле принимает вид ^[2]

${\displaystyle \psi =e^{ikr\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} '}+f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

где – направление падающих частиц, – направление рассеянных частиц. ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$

Унитарное состояние

Когда во время рассеяния сохраняется сохранение числа частиц, это приводит к унитарному условию для амплитуды рассеяния. В общем случае имеем ^[2]

${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')\,d\Omega ''}$

Отсюда следует оптическая теорема, полагая ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {n} '.}$

В центрально-симметричном поле унитарное условие принимает вид

${\displaystyle \mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''}$

где и - углы между и и некоторым направлением . Это условие накладывает ограничение на разрешенный вид для , т.е. действительная и мнимая части амплитуды рассеяния в этом случае не являются независимыми. Например, если известно (скажем, по измерению сечения), то можно определить такое, которое однозначно определяется в пределах альтернативы . ^[2] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} ''}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle |f(\theta )|}$ ${\displaystyle f=|f|e^{2i\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha (\theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )\rightarrow -f^{*}(\theta )}$

Частичное волновое расширение

В парциальном разложении амплитуда рассеяния представляется в виде суммы по парциальным волнам ^[3]

${\displaystyle f=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}$,

где f _ℓ — частичная амплитуда рассеяния, а P _ℓ — полиномы Лежандра . Парциальная амплитуда может быть выражена через элемент парциальной S-матрицы S _ℓ ( ) и фазовый сдвиг рассеяния δ _ℓ как ${\displaystyle =e^{2i\delta _{\ell }}}$

${\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}$

Тогда полное сечение ^[4]

${\displaystyle \sigma =\int |f(\theta )|^{2}d\Omega }$,

можно расширить как ^[2]

${\displaystyle \sigma =\sum _{l=0}^{\infty }\sigma _{l},\quad {\text{where}}\quad \sigma _{l}=4\pi (2l+1)|f_{l}|^{2}={\frac {4\pi }{k^{2}}}(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}}$

– частичное сечение. Полное сечение также равно согласно оптической теореме . ${\displaystyle \sigma =(4\pi /k)\,\mathrm {Im} f(0)}$

Для мы можем написать ^[2] ${\displaystyle \theta \neq 0}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{2i\delta _{l}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Рентгеновские лучи

Длина рассеяния рентгеновских лучей — это длина томсоновского рассеяния или классический радиус электрона r ₀ .

Нейтроны

Процесс рассеяния ядерных нейтронов включает в себя длину когерентного рассеяния нейтронов, часто описываемую b .

Квантово-механический формализм

Квантово-механический подход определяется формализмом S-матрицы .

Измерение

Амплитуда рассеяния может определяться длиной рассеяния в низкоэнергетическом режиме.

Смотрите также

• Венецианская амплитуда
• Расширение плоской волны

Рекомендации

1. Квантовая механика: концепции и приложения. Архивировано 10 ноября 2010 г. в Wayback Machine. Автор: Нуредин Зеттили, 2-е издание, стр. 623. ISBN  978-0-470-02679-3 Мягкая обложка, 688 страниц, январь 2009 г.
2. Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Квантовая механика: нерелятивистская теория (Том 3). Эльзевир.
3. Майкл Фаулер / 17 января 2008 г. Плоские волны и частичные волны
4. Шифф, Леонард И. (1968). Квантовая механика . Нью-Йорк: МакГроу Хилл. стр. 119–120.