Циклостационарный процесс

Циклостационарный процесс — это сигнал , имеющий статистические свойства, которые циклически изменяются со временем. ^[1] Циклостационарный процесс можно рассматривать как несколько чередующихся стационарных процессов . Например, максимальную дневную температуру в Нью-Йорке можно смоделировать как циклостационарный процесс: максимальная температура 21 июля статистически отличается от температуры 20 декабря; однако разумным приближением является то, что температура 20 декабря разных лет имеет одинаковую статистику. Таким образом, мы можем рассматривать случайный процесс, состоящий из ежедневных максимальных температур, как 365 чередующихся стационарных процессов, каждый из которых принимает новое значение один раз в год.

Определение

Существует два различных подхода к обработке циклостационарных процессов. ^[2] Стохастический подход заключается в том, чтобы рассматривать измерения как пример абстрактной модели стохастического процесса . В качестве альтернативы, более эмпирический подход заключается в том, чтобы рассматривать измерения как единый временной ряд данных — тот, который фактически был измерен на практике и, для некоторых частей теории, концептуально расширен от наблюдаемого конечного интервала времени до бесконечного интервала. Обе математические модели приводят к вероятностным теориям: абстрактная стохастическая вероятность для модели стохастического процесса и более эмпирическая вероятность доли времени (FOT) для альтернативной модели. Вероятность FOT некоторого события, связанного с временным рядом, определяется как доля времени, в течение которого событие происходит в течение жизненного цикла временного ряда. В обоих подходах процесс или временной ряд считается циклостационарным, если и только если его связанные распределения вероятностей периодически изменяются со временем. Однако в подходе нестохастических временных рядов существует альтернативное, но эквивалентное определение: говорят, что временной ряд, который не содержит аддитивных синусоидальных компонентов конечной силы, демонстрирует циклостационарность тогда и только тогда, когда существует некоторое нелинейное инвариантное во времени преобразование временного ряда, которое создает аддитивные синусоидальные компоненты конечной силы (ненулевые).

Циклостационарность в широком смысле

Важным частным случаем циклостационарных сигналов является тот, который демонстрирует циклостационарность в статистике второго порядка (например, функция автокорреляции ). Они называются циклостационарными сигналами в широком смысле и аналогичны стационарным процессам в широком смысле . Точное определение различается в зависимости от того, рассматривается ли сигнал как стохастический процесс или как детерминированный временной ряд.

Циклостационарный случайный процесс

Стохастический процесс среднего значения и автокорреляционной функции: ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\operatorname {E} \{x(t+\tau )x^{*}(t)\},\,}$

где звездочка обозначает комплексное сопряжение , называется циклостационарным в широком смысле с периодом, если оба и являются циклическими по с периодом, то есть: ^[2] ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]}$ ${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T_{0},}$

${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]=\operatorname {E} [x(t+T_{0})]{\text{ for all }}t}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=R_{x}(t+T_{0};\tau ){\text{ for all }}t,\tau .}$

Таким образом, автокорреляционная функция является периодической по t и может быть разложена в ряд Фурье :

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}}$

где называется циклической автокорреляционной функцией и равна: ${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

Частоты называются циклическими частотами . ${\displaystyle n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,}$

Стационарные процессы в широком смысле являются частным случаем циклостационарных процессов, имеющих только . ${\displaystyle R_{x}^{0}(\tau )\neq 0}$

Спектральная корреляционная функция

Сигнал , дающий представление о циклических отношениях между его спектральными компонентами. Эта функция, обозначенная как , помогает анализировать циклостационарные сигналы, которые демонстрируют периодические статистические свойства. Функция спектральной корреляции выделяет корреляции между частотами, разделенными циклической частотой α, позволяя идентифицировать модулированное или структурированное поведение сигнала в частотной области. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle S_{x}(f,\alpha )}$

Математически функция определяется как:

${\displaystyle S_{x}(f,\alpha )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left[X_{T}\left(f+{\frac {\alpha }{2}}\right)X_{T}^{*}\left(f-{\frac {\alpha }{2}}\right)\right]}$.

Циклостационарный временной ряд

Сигнал, который является просто функцией времени, а не траекторией выборки стохастического процесса, может проявлять свойства циклостационарности в рамках точки зрения доли времени . Таким образом, циклическая автокорреляционная функция может быть определена как: ^[2]

${\displaystyle {\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}x(t+\tau )x^{*}(t)e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

Если временной ряд представляет собой траекторию выборки стохастического процесса, то он равен . Если сигнал далее циклоэргодичен, ^[3] все траектории выборки демонстрируют одинаковые циклические временные средние с вероятностью, равной 1, и, следовательно, с вероятностью 1. ${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )\right]}$ ${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

Поведение в частотной области

Преобразование Фурье циклической автокорреляционной функции на циклической частоте α называется циклическим спектром или спектральной корреляционной функцией плотности и равно:

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\mathrm {d} \tau .}$

Циклический спектр при нулевой циклической частоте также называется средней спектральной плотностью мощности . Для гауссовского циклостационарного процесса его функция искажения скорости может быть выражена через его циклический спектр. ^[4]

Причина , по которой функция называется спектральной корреляционной плотностью, заключается в том, что она равна пределу, когда полоса пропускания фильтра приближается к нулю, ожидаемого значения произведения выходного сигнала одностороннего полосового фильтра с центральной частотой и сопряженного выходного сигнала другого одностороннего полосового фильтра с центральной частотой , при этом выходная частота обоих фильтров смещена к общей центральной частоте, например, к нулю, как первоначально наблюдалось и доказано в ^{[5] .} ${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)}$ ${\displaystyle f+\alpha /2}$ ${\displaystyle f-\alpha /2}$

Для временных рядов функция циклической спектральной плотности называется функцией спектральной корреляционной плотности, потому что она равна пределу, когда полоса пропускания фильтра приближается к нулю, среднего за все время произведения выходного сигнала одностороннего полосового фильтра с центральной частотой и сопряженного выходного сигнала другого одностороннего полосового фильтра с центральной частотой , при этом выходная частота обоих фильтров смещена к общей центральной частоте, например, к нулю, как первоначально наблюдалось и доказано в ^{[6] .} ${\displaystyle f+\alpha /2}$ ${\displaystyle f-\alpha /2}$

Пример: линейно модулированный цифровой сигнал

Примером циклостационарного сигнала является линейно модулированный цифровой сигнал  :

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}p(t-kT_{0})}$

где — случайные величины iid . Форма волны , с преобразованием Фурье , является опорным импульсом модуляции. ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle P(f)}$

Предполагая и , автокорреляционная функция имеет вид: ${\displaystyle \operatorname {E} [a_{k}]=0}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(t,\tau )&=\operatorname {E} [x(t+\tau )x^{*}(t)]\\[6pt]&=\sum _{k,n}\operatorname {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0})\\[6pt]&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end{aligned}}}$

Последнее суммирование является периодическим суммированием , следовательно, сигнал периодический по t . Таким образом, является циклостационарным сигналом с периодом и циклической автокорреляционной функцией: ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}\sigma _{a}^{2}\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-T_{0}/2-kT_{0}}^{T_{0}/2-kT_{0}}p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}(\lambda +kT_{0})}\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}p(\tau )*\left\{p^{*}(-\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\tau }\right\}.\end{aligned}}}$

с указанием свертки . Циклический спектр: ${\displaystyle *}$

${\displaystyle S_{x}^{n/T_{0}}(f)={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}P(f)P^{*}\left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right).}$

Типичные косинусные импульсы , используемые в цифровой связи, имеют, таким образом, только ненулевые циклические частоты. ${\displaystyle n=-1,0,1}$

Тот же результат можно получить для нестохастической модели временного ряда линейно модулированных цифровых сигналов, в которой ожидание заменяется бесконечным временным средним значением, но для этого требуется несколько измененный математический метод, как первоначально наблюдалось и доказано в ^{[7] .}

Циклостационарные модели

Можно обобщить класс моделей авторегрессии скользящего среднего, включив в него циклостационарное поведение. Например, Траутман ^[8] рассматривал авторегрессии , в которых коэффициенты авторегрессии и остаточная дисперсия больше не являются постоянными, а циклически изменяются со временем. Его работа следует за рядом других исследований циклостационарных процессов в области анализа временных рядов . ^{[9] [10]}

Полициклостационарность

На практике возникают сигналы, демонстрирующие цикличность с более чем одним несоизмеримым периодом, и требуют обобщения теории циклостационарности. Такие сигналы называются полициклостационарными, если они демонстрируют конечное число несоизмеримых периодов, и почти циклостационарными, если они демонстрируют счетное бесконечное число. Такие сигналы часто возникают в радиосвязи из-за множественных передач с различными несущими частотами синусоидальной волны и скоростями цифровых символов. Теория была введена в ^[11] для стохастических процессов и далее развита в ^[12] для нестохастических временных рядов.

Высший порядок и строгий смысл циклостационарности

Теория временных рядов в широком смысле, демонстрирующая циклостационарность, полициклостационарность и почти циклостационарность, созданная и развитая Гарднером ^[13], была также обобщена Гарднером до теории временных и спектральных моментов и кумулянтов более высокого порядка и теории кумулятивных распределений вероятностей в строгом смысле. Энциклопедическая книга ^[14] всесторонне обучает всему этому и дает научное рассмотрение исходных публикаций Гарднера и последующих вкладов других.

Приложения

• Циклостационарность имеет чрезвычайно разнообразные приложения практически во всех областях техники и науки, как подробно описано в ^[15] и ^[16] . Вот несколько примеров:
• Циклостационарность используется в телекоммуникациях для синхронизации сигналов , оптимизации передатчиков и приемников, а также для определения спектра для когнитивного радио; ^[17]
• В радиотехнической разведке циклостационарность используется для перехвата сигналов; ^[18]
• В эконометрике циклостационарность используется для анализа периодического поведения финансовых рынков;
• Теория массового обслуживания использует циклостационарную теорию для анализа компьютерных сетей и автомобильного трафика;
• Циклостационарность используется для анализа механических сигналов, создаваемых вращающимися и возвратно-поступательными машинами.

Угловая-временная циклостационарность механических сигналов

Механические сигналы, производимые вращающимися или возвратно-поступательными машинами, замечательно хорошо моделируются как циклостационарные процессы. Циклостационарное семейство принимает все сигналы со скрытыми периодичностями, как аддитивного типа (наличие тональных компонентов), так и мультипликативного типа (наличие периодических модуляций). Это имеет место для шума и вибрации, производимых зубчатыми механизмами, подшипниками, двигателями внутреннего сгорания, турбовентиляторами, насосами, пропеллерами и т. д. Явное моделирование механических сигналов как циклостационарных процессов оказалось полезным в нескольких приложениях, таких как шум, вибрация и жесткость (NVH) и мониторинг состояния . ^[19] В последней области было обнаружено, что циклостационарность обобщает спектр огибающей , популярный метод анализа, используемый при диагностике неисправностей подшипников.

Особенностью сигналов вращающихся машин является то, что период процесса строго связан с углом поворота определенного компонента – «циклом» машины. При этом временное описание должно быть сохранено, чтобы отразить природу динамических явлений, которые управляются дифференциальными уравнениями времени. Поэтому используется функция автокорреляции угол-время ,

${\displaystyle R_{x}(\theta ,\tau )=\operatorname {E} \{x(t(\theta )+\tau )x^{*}(t(\theta ))\},\,}$

где обозначает угол, момент времени, соответствующий углу , и задержку по времени. Процессы, автокорреляционная функция угла-времени которых имеет компоненту, периодическую по углу, т.е. такую, которая имеет ненулевой коэффициент Фурье-Бора для некоторого углового периода , называются (в широком смысле) циклостационарными по углу-времени. Двойное преобразование Фурье автокорреляционной функции угла-времени определяет спектральную корреляцию порядок-частота , ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle t(\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle R_{x}(\theta ;\tau )}$ ${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\lim _{S\rightarrow +\infty }{\frac {1}{S}}\int _{-S/2}^{S/2}\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\theta ,\tau )e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi \alpha {\frac {\theta }{\Theta }}}\,\mathrm {d} \tau \,\mathrm {d} \theta }$

где — порядок (единица измерения — число событий на оборот ) и частота (единица измерения — Гц). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$

Для постоянной скорости вращения, , угол пропорционален времени, . Следовательно, автокорреляция угла и времени является просто традиционной автокорреляцией, масштабированной по цикличности; то есть частоты циклов масштабируются по . С другой стороны, если скорость вращения изменяется со временем, то сигнал больше не является циклостационарным (если только скорость не меняется периодически). Следовательно, это не модель для циклостационарных сигналов. Это даже не модель для циклостационарности, искаженной по времени, хотя она может быть полезным приближением для достаточно медленных изменений скорости вращения. ^[20] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta =\omega t}$ ${\displaystyle \omega }$

Ссылки

1. Гарднер, Уильям А.; Антонио Наполитано; Луиджи Паура (2006). «Циклостационарность: полвека исследований». Обработка сигналов . 86 (4). Elsevier: 639–697. doi :10.1016/j.sigpro.2005.06.016.
2. Гарднер, Уильям А. (1991). «Две альтернативные философии оценки параметров временных рядов». IEEE Trans. Inf. Theory . 37 (1): 216–218. doi :10.1109/18.61145.
3. 1983 RA Boyles и WA Gardner. ЦИКЛОЭРГОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ДИСКРЕТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ. Труды IEEE по теории информации, т. IT-29, № 1, стр. 105-114.
4. Кипнис, Алон; Голдсмит, Андреа; Элдар, Йонина (май 2018 г.). «Функция скорости искажения циклостационарных гауссовских процессов». Труды IEEE по теории информации . 65 (5): 3810–3824. arXiv : 1505.05586 . doi : 10.1109/TIT.2017.2741978. S2CID  5014143.
5. WA Gardner. ВВЕДЕНИЕ В СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К СИГНАЛАМ И СИСТЕМАМ. Macmillan, Нью-Йорк, 434 страницы, 1985
6. WA Gardner. СТАТИСТИЧЕСКИЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: НЕВЕРОЯТНОСТНАЯ ТЕОРИЯ. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 565 страниц, 1987.
7. WA Gardner. СТАТИСТИЧЕСКИЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: НЕВЕРОЯТНОСТНАЯ ТЕОРИЯ. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 565 страниц, 1987.
8. Траутман, Б.М. (1979) «Некоторые результаты периодической авторегрессии». Биометрика , 66 (2), 219–228
9. Джонс, Р. Х., Брелсфорд, В. М. (1967) «Временные ряды с периодической структурой». Biometrika , 54, 403–410
10. Пагано, М. (1978) «О периодических и множественных авторегрессиях». Ann. Stat., 6, 1310–1317.
11. WA Gardner. СТАЦИОНАРИЗУЕМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Труды IEEE по теории информации, т. IT-24, № 1, стр. 8-22. 1978
12. WA Gardner. СТАТИСТИЧЕСКИЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: НЕВЕРОЯТНОСТНАЯ ТЕОРИЯ. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 565 страниц, 1987.
13. WA Gardner. СТАТИСТИЧЕСКИЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: НЕВЕРОЯТНОСТНАЯ ТЕОРИЯ. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 565 страниц, 1987.
14. А. Наполитано, Циклостационарные процессы и временные ряды: теория, приложения и обобщения. Academic Press, 2020.
15. WA Gardner. СТАТИСТИЧЕСКИ ВЫВОДИМОЕ ИСКРИВЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ: РАСШИРЕНИЕ ПАРАДИГМЫ ЦИКЛОСТАЦИОНАРНОСТИ С РЕГУЛЯРНОЙ НА НЕРЕГУЛЯРНУЮ СТАТИСТИЧЕСКУЮ ЦИКЛИЧЕСКУЮ В НАУЧНЫХ ДАННЫХ. Журнал EURASIP по достижениям в обработке сигналов, том 2018 г., номер статьи: 59. doi: 10.1186/s13634-018-0564-6
16. А. Наполитано, Циклостационарные процессы и временные ряды: теория, приложения и обобщения. Academic Press, 2020.
17. WA Gardner. ЦИКЛОСТАЦИОНАРНОСТЬ В СВЯЗИ И ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ. Piscataway, NJ: IEEE Press. 504 страницы. 1984.
18. WA Gardner. ПЕРЕХВАТ СИГНАЛА: ОБЪЕДИНЯЮЩАЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ПРИЗНАКОВ. IEEE Transactions on Communications, Vol. COM-36, No. 8, стр. 897-906. 1988
19. Антони, Жером (2009). «Циклостационарность на примерах». Механические системы и обработка сигналов . 23 (4). Elsevier: 987–1036. doi :10.1016/j.ymssp.2008.10.010.
20. 2018 WA Gardner. СТАТИСТИЧЕСКИ ВЫВОДИМОЕ ИСКРИВЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ: РАСШИРЕНИЕ ПАРАДИГМЫ ЦИКЛОСТАЦИОНАРНОСТИ С РЕГУЛЯРНОЙ НА НЕРЕГУЛЯРНУЮ СТАТИСТИЧЕСКУЮ ЦИКЛИЧЕСКУЮ В НАУЧНЫХ ДАННЫХ. Журнал EURASIP по достижениям в обработке сигналов, том 2018, номер статьи: 59. doi: 10.1186/s13634-018-0564-6

Внешние ссылки

• Шум в смесителях, осцилляторах, сэмплерах и логике: введение в циклостационарный шум рукопись аннотированная презентация презентация