Круговой сегмент

Площадь, ограниченная дугой окружности и прямой линией

Круговой сегмент (зеленый) заключен между секущей/хордой (пунктирная линия) и дугой, конечные точки которой равны хорде (дуга, показанная над зеленой областью).

В геометрии круговой сегмент или сегмент диска (символ: ⌓ ) — это область диска [ ^1] , которая «отрезана» от остальной части диска прямой линией. Полная линия называется секущей , а сечение внутри диска — хордой . ^[2]

Более формально, круговой сегмент — это плоская область, ограниченная дугой окружности (по соглашению, меньшей π радиан) и хордой окружности , соединяющей ее конечные точки.

Формулы

Пусть R — радиус дуги, составляющей часть периметра сегмента, θ — центральный угол, стягивающий дугу в радианах , c — длина хорды , s — длина дуги , h — стрела ( высота ) сегмента, d — апофема сегмента и a — площадь сегмента .

Обычно длина хорды и высота даны или измерены, а иногда длина дуги как часть периметра, а неизвестными являются площадь и иногда длина дуги. Их нельзя вычислить просто из длины хорды и высоты, поэтому обычно сначала вычисляют две промежуточные величины: радиус и центральный угол.

Радиус и центральный угол

Радиус равен:

${\displaystyle R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}}$^[3]

Центральный угол равен

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}}$

Длина и высота хорды

Длину хорды и высоту можно вычислить обратно из радиуса и центрального угла следующим образом:

Длина хорды составляет

${\displaystyle c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}}$

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

Стрела - это

${\displaystyle h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}}$

Апофема - это

${\displaystyle d=R-h={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}}$

Длина и площадь дуги

Длина дуги, согласно знакомой геометрии окружности, равна

${\displaystyle s={\theta }R}$

Площадь a кругового сегмента равна площади кругового сектора за вычетом площади треугольной части (используя формулу двойного угла для получения уравнения в терминах ): ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$

В терминах R и h ,

${\displaystyle a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}}$

В терминах c и h ,

${\displaystyle a=\left({\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})}$

Можно утверждать, что по мере уменьшения центрального угла (или, наоборот, увеличения радиуса) площадь a быстро и асимптотически приближается к . Если , то это достаточно хорошее приближение. ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$ ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$

Если поддерживается постоянным, а радиус может изменяться, то мы имеем ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=R}$$

По мере того как центральный угол приближается к π, площадь сегмента стремится к площади полукруга, поэтому хорошим приближением является дельта-смещение от последней площади: ${\displaystyle {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}}$

${\displaystyle a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)}$для h>.75 R

Например, площадь составляет одну четверть круга, когда θ ~ 2,31 радиан (132,3°), что соответствует высоте ~59,6% и длине хорды ~183% радиуса. ^{[ необходимо пояснение ]}

И т. д.

Периметр p равен длине дуги плюс длина хорды,

${\displaystyle p=c+s=c+\theta R}$

В пропорции ко всей площади диска, вы имеете ${\displaystyle A=\pi R^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}}$

Приложения

Формулу площади можно использовать при расчете объема частично заполненного цилиндрического резервуара, лежащего горизонтально.

При проектировании окон или дверей с закругленным верхом c и h могут быть единственными известными значениями и могут использоваться для расчета R для настройки циркуля чертежника.

Полные размеры полного круглого объекта можно восстановить из фрагментов, измерив длину дуги и длину хорды фрагмента.

Для проверки положения отверстий на круговой схеме. Особенно полезно для проверки качества обработанных изделий.

Для вычисления площади или центроида плоской фигуры, содержащей круговые сегменты.

Смотрите также

• Хорда (геометрия)
• Сферический колпачок
• Круговой сектор

Ссылки

1. Математика при необходимости различает слова «круг» и «диск» : диск — это плоская область, имеющая своей границей круг, тогда как круг — это замкнутая кривая, образующая саму границу.
2. Эти термины относятся к линии, пересекающей кривую. В этом случае кривая — это окружность, образующая границу диска.
3. Фундаментальное соотношение между R, c и h, выводимое непосредственно из теоремы Пифагора между компонентами R, C/2 и rh прямоугольного треугольника, имеет вид: которое может быть решено относительно R, c или h по мере необходимости. ${\displaystyle R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}}$

• Вайсштейн, Эрик В. «Круговой сегмент». Математический мир .

Внешние ссылки

• Определение кругового сегмента с интерактивной анимацией
• Формулы площади кругового сегмента С интерактивной анимацией