Полубольшая и полумалая оси

Термин по геометрии; самый длинный и самый короткий полудиаметры эллипса

Большая полуось ( а ) и малая полуось ( б ) эллипса

В геометрии главная ось эллипса — это его самый длинный диаметр : отрезок линии , проходящий через центр и оба фокуса , с концами в двух наиболее удаленных друг от друга точках периметра . Большая полуось ( большая полуось ) представляет собой самый длинный полудиаметр или половину большой оси и, таким образом, проходит от центра через фокус к периметру. Малая полуось ( малая полуось ) эллипса или гиперболы — это отрезок прямой, находящийся под прямым углом к ​​большой полуоси и имеющий один конец в центре конического сечения . В частном случае круга длины полуосей равны радиусу круга .

Длина большой полуоси a эллипса связана с длиной малой полуоси b через эксцентриситет e и полурасширенную прямую кишку следующим образом: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Большая полуось гиперболы равна , в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями. Таким образом, это расстояние от центра до любой вершины гиперболы.

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, в которой один фокус остается фиксированным, а другой может двигаться сколь угодно далеко в одном направлении, сохраняя неподвижность . Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, a быстрее, чем b . ${\displaystyle \ell }$

Большая и малая оси являются осями симметрии кривой: у эллипса малая ось более короткая; в гиперболе — это тот, который не пересекает гиперболу.

Эллипс

Уравнение эллипса:

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

где ( h ,  k ) — центр эллипса в декартовых координатах , в котором произвольная точка задается как ( x ,  y ).

Большая полуось — это среднее значение максимального и минимального расстояний и эллипса от фокуса, то есть расстояний от фокуса до конечных точек большой оси. ${\displaystyle r_{\text{max}}}$ ${\displaystyle r_{\text{min}}}$

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

В астрономии эти крайние точки называются апсидами . ^[1]

Малая полуось эллипса — это среднее геометрическое этих расстояний:

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}$

Эксцентриситет эллипса определяется как

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}$

так

${\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}$

Теперь рассмотрим уравнение в полярных координатах , с одним фокусом в начале координат, а другим в направлении: ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}$

Среднее значение и для и составляет ${\displaystyle r=\ell /(1-e)}$ ${\displaystyle r=\ell /(1+e)}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}$

В эллипсе большая полуось — это среднее геометрическое расстояния от центра до любого фокуса и расстояния от центра до любой директрисы.

Малая полуось эллипса проходит от центра эллипса (точка на полпути между фокусами и на линии, проходящей между фокусами ) к краю эллипса. Малая полуось — это половина малой оси. Малая ось — это самый длинный отрезок линии, перпендикулярный большой оси, который соединяет две точки на краю эллипса.

Малая полуось b связана с большой полуосью a через эксцентриситет e и полурасширенную прямую кишку следующим образом: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, в которой один фокус остается фиксированным, а другой может двигаться сколь угодно далеко в одном направлении, сохраняя неподвижность . Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, a быстрее, чем b . ${\displaystyle \ell }$

Длину малой полуоси можно также найти по следующей формуле: ^[2]

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}$

где f — расстояние между фокусами, p и q — расстояния от каждого фокуса до любой точки эллипса.

Гипербола

Большая полуось гиперболы , в зависимости от соглашения, равна плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями; если это a в направлении x, то уравнение: ^{[ нужна ссылка ]}

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Что касается полурасширенной прямой кишки и эксцентриситета, мы имеем

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

Поперечная ось гиперболы совпадает с большой осью. ^[3]

В гиперболе сопряженная ось или малая ось длины , соответствующая малой оси эллипса, может быть проведена перпендикулярно поперечной оси или большой оси, причем последняя соединяет две вершины (точки поворота) гиперболы с две оси, пересекающиеся в центре гиперболы. Концы малой оси лежат на высоте асимптот над/под вершинами гиперболы. Любая половина малой оси называется малой полуосью длиной b . Обозначая длину большой полуоси (расстояние от центра до вершины) как a , длины малой и большой полуосей появляются в уравнении гиперболы относительно этих осей следующим образом: ${\displaystyle 2b}$ ${\displaystyle (0,\pm b)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Малая полуось — это также расстояние от одного из фокусов гиперболы до асимптоты. Часто называемый прицельным параметром , он важен в физике и астрономии и измеряет расстояние, на которое частица не попадет в фокус, если ее путешествие не будет нарушено телом в фокусе. ^{[ нужна цитата ]}

Малая полуось и большая полуось связаны эксцентриситетом следующим образом:

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^[4]

Обратите внимание, что в гиперболе b может быть больше a . ^[5]

Астрономия

Орбитальный период

Логарифмический график зависимости периода T от большой полуоси a (среднее значение афелия и перигелия) некоторых орбит Солнечной системы (крестики, обозначающие значения Кеплера), показывающий, что a ³  /  T ^{‍ 2} является постоянным (зеленая линия)

В астродинамике орбитальный период T малого тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, равен: ^[1]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}$

где:

а - длина большой полуоси орбиты,

${\displaystyle \mu }$— стандартный гравитационный параметр центрального тела.

Обратите внимание, что для всех эллипсов с данной большой полуосью орбитальный период одинаков, независимо от их эксцентриситета.

Удельный угловой момент h малого тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, равен ^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}$

где:

a и такие, как определено выше, ${\displaystyle \mu }$

e — эксцентриситет орбиты.

В астрономии большая полуось является одним из наиболее важных орбитальных элементов орбиты , наряду с ее орбитальным периодом . Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с периодом орбиты третьим законом Кеплера (первоначально полученным эмпирическим путем ): ^[1]

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

где Т — период, а — большая полуось. Эта форма оказывается упрощением общей формы задачи двух тел , определенной Ньютоном : ^[1]

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}$

где G — гравитационная постоянная , M — масса центрального тела, а m — масса вращающегося тела. Обычно масса центрального тела настолько больше массы тела, вращающегося по орбите, что m можно игнорировать. Если сделать это предположение и использовать типичные астрономические единицы, то получится более простая форма, открытая Кеплером.

Траектория вращающегося тела вокруг барицентра и его путь относительно его первичной точки представляют собой эллипсы. ^[1] Большая полуось иногда используется в астрономии как расстояние между первичной и вторичной частями, когда отношение масс первичной и вторичной частей значительно велико ( ); таким образом, параметры орбит планет даны в гелиоцентрических терминах. Разницу между примоцентрической и «абсолютной» орбитами лучше всего можно проиллюстрировать, взглянув на систему Земля-Луна. Соотношение масс в этом случае равно ${\displaystyle M\gg m}$81.300 59 . Характерное расстояние Земля-Луна, большая полуось геоцентрической лунной орбиты, составляет 384 400 км. (Учитывая эксцентриситет лунной орбиты e  = 0,0549, ее малая полуось равна 383 800 км. Таким образом, орбита Луны почти круговая.) Барицентрическая лунная орбита, с другой стороны, имеет большую полуось 379 730 км, земную орбиту. контрорбита, составляющая разницу, 4670 км. Средняя барицентрическая орбитальная скорость Луны составляет 1,010 км/с, а Земли — 0,012 км/с. Сумма этих скоростей дает среднюю геоцентрическую лунную орбитальную скорость 1,022 км/с; то же значение можно получить, рассматривая только значение большой геоцентрической полуоси. ^{[ нужна цитата ]}

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось — это «среднее» расстояние между главным фокусом эллипса и вращающимся телом. Это не совсем точно, поскольку зависит от того, какое среднее значение принимается. Среднее по времени и углу расстояние до орбитального тела может изменяться на 50–100% от большой полуоси орбиты в зависимости от эксцентриситета. ^[6]

• усреднение расстояния по эксцентрической аномалии действительно приводит к получению большой полуоси.
• усреднение по истинной аномалии (истинному орбитальному углу, измеренному в фокусе) приводит к малой полуоси . ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$
• усреднение по средней аномалии (доля орбитального периода, прошедшая с момента перицентра, выраженная как угол) дает среднее по времени . ${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$

Усредненное по времени значение обратной величины радиуса равно . ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Энергия; расчет большой полуоси по векторам состояния

В астродинамике большую полуось а можно рассчитать по векторам состояния орбиты :

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

для эллиптической орбиты и, в зависимости от соглашения, того же или

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

для гиперболической траектории и

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}$

( удельная орбитальная энергия ) и

${\displaystyle \mu =GM,}$

( стандартный гравитационный параметр ), где:

v - орбитальная скорость от вектора скорости орбитального объекта,

r - декартовый вектор положения орбитального объекта в координатах системы отсчета , относительно которой должны быть рассчитаны элементы орбиты (например, геоцентрическая экваториальная для орбиты вокруг Земли или гелиоцентрическая эклиптика для орбиты вокруг Солнца),

G — гравитационная постоянная ,

M — масса гравитирующего тела, а

${\displaystyle \varepsilon }$– удельная энергия вращающегося тела.

Обратите внимание, что для данного количества общей массы удельная энергия и большая полуось всегда одинаковы, независимо от эксцентриситета или соотношения масс. И наоборот, для данной общей массы и большой полуоси полная удельная орбитальная энергия всегда одинакова. Это утверждение всегда будет верным при любых данных условиях. ^{[ нужна цитата ]}

Большая и малая полуоси орбит планет.

Орбиты планет всегда приводят в качестве ярких примеров эллипсов ( первый закон Кеплера ). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круглые по внешнему виду. Эта разница (или соотношение) основана на эксцентриситете и рассчитывается как , что для типичных эксцентриситетов планет дает очень маленькие результаты. ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

Причина предположения о выдающихся эллиптических орбитах, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или соотношение) также основана на эксцентриситете и рассчитывается как . Благодаря большой разнице между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко визуализировать. ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$

1 а.е. (астрономическая единица) равна 149,6 миллиона км.

Рекомендации

1. Лиссауэр, Джек Дж.; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 24–31. ISBN 9781108411981.
2. «Большая/малая ось эллипса», Math Open Reference, 12 мая 2013 г.
3. «7.1 Альтернативная характеристика». www.geom.uiuc.edu . Архивировано из оригинала 24 октября 2018 г. Проверено 6 сентября 2007 г.
4. «Геометрия орбит: эллипсы, параболы и гиперболы». www.bogan.ca .
5. «7.1 Альтернативная характеристика». Архивировано из оригинала 24 октября 2018 г. Проверено 6 сентября 2007 г.
6. Уильямс, Даррен М. (ноябрь 2003 г.). «Среднее расстояние между звездой и планетой на эксцентричной орбите». Американский журнал физики . 71 (11): 1198–1200. Бибкод : 2003AmJPh..71.1198W. дои : 10.1119/1.1578073.

Внешние ссылки

• Большая и малая полуоси эллипса С интерактивной анимацией