Полупериметр

Половина суммы длин сторон многоугольника

В геометрии полупериметр многоугольника равен половине его периметра . Хотя полупериметр имеет такое простое происхождение от периметра, он достаточно часто встречается в формулах для треугольников и других фигур, что ему дали отдельное название. Когда полупериметр встречается в формуле, он обычно обозначается буквой s .

Мотивация: треугольники

В любом треугольнике расстояние по границе треугольника от вершины до точки на противоположном ребре, к которой прикасается вписанная окружность, равно полупериметру.

Полупериметр чаще всего используется для треугольников; формула полупериметра треугольника со сторонами a, b, c

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$

Характеристики

В любом треугольнике любая вершина и точка, где противоположная вписанная окружность касается треугольника, делят периметр треугольника на две равные длины, создавая таким образом два пути, каждый из которых имеет длину, равную полупериметру. Если A, B, B', C' такие, как показано на рисунке, то отрезки, соединяющие вершину с противоположным касанием вписанной окружности ( AA' , BB' , CC' , показаны на схеме красным цветом), называются разветвителями , и

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|\\&=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.\end{aligned}}}$

Три разделителя совпадают в точке Нагеля треугольника.

Кливер треугольника — это отрезок, который делит периметр треугольника пополам и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Таким образом, любой скалыватель, как и любой расщепитель, делит треугольник на две дорожки, длина каждой из которых равна полупериметру. Три скалывателя совпадают в центре круга Шпикера , который является вписанной окружностью медиального треугольника ; Центр Шпикера — это центр масс всех точек на краях треугольника.

Линия, проходящая через центр треугольника, делит периметр пополам тогда и только тогда, когда она также делит пополам площадь.

Полупериметр треугольника равен периметру его среднего треугольника .

По неравенству треугольника длина наибольшей стороны треугольника меньше полупериметра.

Формулы, включающие полупериметр

Для треугольников

Площадь A любого треугольника равна произведению его вписанного радиуса (радиуса вписанной в него окружности) и его полупериметра:

${\displaystyle A=rs.}$

Площадь треугольника также можно вычислить по его полупериметру и длинам сторон a, b, c по формуле Герона :

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.}$

Радиус описанной окружности треугольника R также можно рассчитать по полупериметру и длинам сторон:

${\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}.}$

Эту формулу можно вывести из закона синусов .

Внутренний радиус

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}$

Закон котангенсов определяет котангенсы половинных углов при вершинах треугольника через полупериметр, стороны и внутренний радиус.

Длина внутренней биссектрисы угла, противолежащего стороне длины a, равна ^[1]

${\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}.}$

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной гипотенузы равен полупериметру . Полупериметр — это сумма внутреннего радиуса и удвоенного радиуса описанной окружности. Площадь прямоугольного треугольника - это где a, b - катеты. ${\displaystyle (s-a)(s-b)}$

Для четырехугольников

Формула полупериметра четырехугольника с длинами сторон a, b, c, d имеет вид

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Одна из формул площади треугольника, включающая полупериметр, также применима к касательным четырехугольникам , которые имеют вписанную окружность и в которых (согласно теореме Пито ) пары противоположных сторон имеют длины, суммируемые с полупериметром, а именно, площадь является произведением внутреннего радиуса и полупериметр:

${\displaystyle K=rs.}$

Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника имеет вид, аналогичный форме формулы Герона для площади треугольника:

${\displaystyle K={\sqrt {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}}.}$

Формула Бретшнайдера обобщает это на все выпуклые четырехугольники:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},}$

в котором α и γ — два противоположных угла.

Четыре стороны вписанного четырехугольника представляют собой четыре решения уравнения четвертой степени, параметризованного полупериметром, внутренним радиусом и описанным радиусом .

Правильные многоугольники

Площадь выпуклого правильного многоугольника равна произведению его полупериметра и апофемы .

Круги

Полупериметр круга , также называемый полуокружностью , прямо пропорционален его радиусу r :

${\displaystyle s=\pi \cdot r.\!}$

Константой пропорциональности является число пи , π .

Смотрите также

• Полудиаметр

Рекомендации

1. Джонсон, Роджер А. (2007). Расширенная евклидова геометрия . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. п. 70. ИСБН 9780486462370.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полупериметр». Математический мир .