Картирование сдвига

Тип геометрического преобразования

Горизонтальный сдвиг плоскости, превращающий синюю форму в красную. Черная точка — это начало координат.

В гидродинамике карта сдвига изображает поток жидкости между параллельными пластинами в относительном движении.

В плоской геометрии сдвиговое отображение — это аффинное преобразование , которое смещает каждую точку в фиксированном направлении на величину, пропорциональную ее расстоянию со знаком от заданной линии , параллельной этому направлению. ^[1] Этот тип отображения также называют сдвиговым преобразованием , трансвекцией или просто сдвигом . Преобразования можно применять с помощью матрицы сдвига или трансвекции , элементарной матрицы , которая представляет собой добавление кратного числа одной строки или столбца к другой. Такая матрица может быть получена путем взятия единичной матрицы и замены одного из нулевых элементов ненулевым значением.

Примером может служить линейная карта , которая переносит любую точку с координатами в точку . В этом случае смещение горизонтальное с коэффициентом 2, где фиксированная линия — это ось x , а расстояние со знаком — это координата y . Обратите внимание, что точки на противоположных сторонах опорной линии смещаются в противоположных направлениях. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x+2y,y)}$

Отображения сдвига не следует путать с вращениями . Применение карты сдвига к набору точек плоскости изменит все углы между ними (кроме прямых углов ), а также длину любого отрезка линии , который не параллелен направлению смещения. Поэтому он обычно искажает форму геометрической фигуры, например превращая квадраты в параллелограммы , а круги в эллипсы . Однако сдвиг сохраняет площадь геометрических фигур, а также выравнивание и относительные расстояния коллинеарных точек. Отображение сдвига — основное различие между вертикальным и наклонным (или курсивом) стилями букв .

То же определение используется в трехмерной геометрии , за исключением того, что расстояние измеряется от фиксированной плоскости. Трехмерное сдвиговое преобразование сохраняет объем сплошных фигур, но изменяет области плоских фигур (кроме тех, которые параллельны смещению). Это преобразование используется для описания ламинарного течения жидкости между пластинами, одна из которых движется в плоскости выше и параллельно первой.

В общем n -мерном декартовом пространстве расстояние измеряется от фиксированной гиперплоскости , параллельной направлению смещения. Это геометрическое преобразование представляет собой линейное преобразование , сохраняющее n -мерную меру (гиперобъем) любого множества. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Определение

Горизонтальный и вертикальный сдвиг плоскости

Горизонтальный разрез квадрата на параллелограммы с факторами и ${\displaystyle \cot(60^{\circ })\approx 0.58}$ ${\displaystyle \cot(45^{\circ })=1}$

В плоскости горизонтальный сдвиг (или сдвиг, параллельный оси x ) — это функция, которая переводит общую точку с координатами в точку ; где m — фиксированный параметр, называемый коэффициентом сдвига . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x+my,y)}$

Результатом этого отображения является смещение каждой точки по горизонтали на величину, пропорциональную ее координате y . Любая точка над осью x смещается вправо (увеличивая x ), если m > 0 , и влево, если m < 0 . Точки ниже оси X перемещаются в противоположном направлении, а точки на оси остаются неподвижными.

Прямые линии, параллельные оси x , остаются там, где они есть, в то время как все остальные линии поворачиваются (на разные углы) вокруг точки, где они пересекают ось x . Вертикальные линии, в частности, становятся наклонными линиями с наклоном. Таким образом, коэффициент сдвига m представляет собой котангенс угла сдвига между бывшими вертикалями и осью x . (В примере справа квадрат наклонен на 30°, поэтому угол сдвига равен 60°.) ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}.}$ ${\displaystyle \varphi }$

Если координаты точки записаны в виде вектор-столбца ( матрица 2×1 ), отображение сдвига можно записать как умножение на матрицу 2×2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Вертикальный сдвиг (или сдвиг параллельно оси y ) линий аналогичен, за исключением того, что роли x и y меняются местами. Это соответствует умножению координатного вектора на транспонированную матрицу :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Вертикальный сдвиг смещает точки справа от оси Y вверх или вниз, в зависимости от знака m . Он оставляет вертикальные линии неизменными, но наклоняет все остальные линии относительно точки их пересечения с осью Y. Горизонтальные линии, в частности, наклоняются под углом сдвига и становятся линиями с наклоном m . ${\displaystyle \varphi }$

Состав

Два или более сдвиговых превращения могут быть объединены.

Если две матрицы сдвига и ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}}$

то их матрица композиции равна

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+\lambda \mu &\lambda \\\mu &1\end{pmatrix}},}$$

В частности, если имеем ${\displaystyle \lambda =\mu }$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+\lambda ^{2}&\lambda \\\lambda &1\end{pmatrix}},}$$

что является положительно определенной матрицей .

Высшие измерения

Типичная матрица сдвига имеет вид

$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Эта матрица сдвигается параллельно оси x в направлении четвертого измерения основного векторного пространства.

Сдвиг, параллельный оси x , приводит к и . В матричной форме: ${\displaystyle x'=x+\lambda y}$ ${\displaystyle y'=y}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

Точно так же сдвиг, параллельный оси y , имеет и . В матричной форме: ${\displaystyle x'=x}$ ${\displaystyle y'=y+\lambda x}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

В трехмерном пространстве эта матрица разрезает плоскость YZ на диагональную плоскость, проходящую через эти три точки: ${\displaystyle (0,0,0)}$ ${\displaystyle (\lambda ,1,0)}$ ${\displaystyle (\mu ,0,1)}$

$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &\mu \\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Определитель всегда будет равен 1, поскольку независимо от того, где расположен элемент сдвига, он будет членом косой диагонали, которая также содержит нулевые элементы (поскольку все косые диагонали имеют длину не менее двух), следовательно, его произведение останется нулевым. и не будет вносить вклад в определитель. Таким образом, каждая матрица сдвига имеет обратную , а обратная — это просто матрица сдвига с отрицательным элементом сдвига, представляющая преобразование сдвига в противоположном направлении. Фактически, это часть более общего результата, который легко получить: если S — матрица сдвига с элементом сдвига λ , то S ⁿ — матрица сдвига, элемент сдвига которой равен просто n λ . Следовательно, возведение матрицы сдвига в степень n умножает ее коэффициент сдвига на n .

Характеристики

Если S — матрица сдвига размера n × n , то:

• S имеет ранг n и поэтому обратим.
• 1 — единственное собственное значение S , поэтому det S = 1 и tr S = n
• собственное пространство S (связанное с собственным значением 1) имеет n - 1 измерений.
• S неисправен _
• S асимметричен
• S может быть преобразован в блочную матрицу с помощью не более 1 операции обмена столбцов и 1 операции обмена строк.
• площадь , объем или любая внутренняя емкость многогранника более высокого порядка инвариантна относительно сдвигового преобразования вершин многогранника.

Общие отображения сдвига

Для векторного пространства V и подпространства W сдвиговая фиксация W перемещает все векторы в направлении , параллельном W.

Точнее, если V — прямая сумма W и W′ , и мы пишем векторы как

${\displaystyle v=w+w'}$

соответственно, типичный сдвиг L, фиксирующий W, равен

${\displaystyle L(v)=(Lw+Lw')=(w+Mw')+w',}$

где M — линейное отображение W′ в W . Следовательно, в терминах блочной матрицы L можно представить как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}.}$

Приложения

Следующие применения картографирования сдвига были отмечены Уильямом Кингдоном Клиффордом :

«Последовательность ножниц позволит нам свести любую фигуру, ограниченную прямыми линиями, к треугольнику равной площади».

«...мы можем разрезать любой треугольник на прямоугольный, и это не изменит его площади. Таким образом, площадь любого треугольника равна половине площади прямоугольника, стоящего на том же основании и с высотой, равной перпендикуляру на основание под противоположным углом». ^[2]

Свойство сохранения площади сдвигового отображения можно использовать для результатов, связанных с площадью. Например, теорема Пифагора была проиллюстрирована сдвиговым отображением ^[3] , а также связанной с ней теоремой о среднем геометрическом .

Матрицы сдвига часто используются в компьютерной графике . ^{[4] [5] [6]}

Алгоритм Алана В. Паэта использует последовательность из трех сдвиговых отображений (горизонтальное, вертикальное и снова горизонтальное) для поворота цифрового изображения на произвольный угол. Алгоритм очень прост в реализации и очень эффективен, поскольку на каждом шаге одновременно обрабатывается только один столбец или одна строка пикселей . ^[7]

В типографике обычный текст, преобразованный сдвиговым преобразованием, приводит к наклонному шрифту .

В доэйнштейновской теории относительности Галилея преобразования между системами отсчета представляют собой сдвиговые отображения, называемые преобразованиями Галилея . Их также иногда можно увидеть при описании перемещения систем отсчета относительно «предпочтительного» кадра, иногда называемого абсолютным временем и пространством .

Смотрите также

• Матрица трансформации

Рекомендации

1. Определение согласно Вайсштейну, Эрику В. Ширу из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
2. Уильям Кингдон Клиффорд (1885) Здравый смысл и точные науки , страница 113
3. Хоэнвартер, М. Теорема Пифагора по сдвиговому отображению; сделано с помощью GeoGebra . Перетащите ползунки, чтобы наблюдать за ножницами.
4. Фоли и др. (1991, стр. 207–208, 216–217)
5. Геометрические инструменты для компьютерной графики, Филип Дж. Шнайдер и Дэвид Х. Эберли, стр. 154-157.
6. Компьютерная графика, Апуева А. Десаи, стр. 162-164.
7. Алан Пэт (1986), Быстрый алгоритм общего вращения растра. Труды графического интерфейса '86, страницы 77–81.

Библиография

• Фоли, Джеймс Д.; ван Дам, Андриес; Файнер, Стивен К.; Хьюз, Джон Ф. (1991), Компьютерная графика: принципы и практика (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-12110-7