График потока сигналов

Потоковый граф, изобретенный Клодом Шенноном

Граф потока сигналов или сигнальный поток ( SFG ), изобретенный Клодом Шенноном [ ^1], но часто называемый графом Мейсона в честь Сэмюэля Джефферсона Мейсона , который придумал этот термин, ^[2] является специализированным графом потока , ориентированным графом, в котором узлы представляют системные переменные, а ветви (ребра, дуги или стрелки) представляют функциональные связи между парами узлов. Таким образом, теория графа потока сигналов основывается на теории направленных графов (также называемых орграфами ), которая включает также теорию ориентированных графов . Эта математическая теория орграфов существует, конечно, совершенно отдельно от ее приложений. ^{[3] [4]}

SFG чаще всего используются для представления потока сигналов в физической системе и ее контроллере(ах), образуя киберфизическую систему . Среди других их применений — представление потока сигналов в различных электронных сетях и усилителях, цифровых фильтрах , фильтрах с переменным состоянием и некоторых других типах аналоговых фильтров. Почти во всей литературе граф потока сигналов ассоциируется с набором линейных уравнений .

История

Вай-Кай Чен писал: «Концепция графа потока сигналов была первоначально разработана Шенноном [1942] ^[1] при работе с аналоговыми компьютерами. Наибольшая заслуга в формулировании графов потока сигналов обычно приписывается Мейсону [1953], ^[2] [1956]. ^[5] Он показал, как использовать технику графа потока сигналов для решения некоторых сложных электронных проблем относительно простым способом. Термин « граф потока сигналов» использовался из-за его первоначального применения к электронным проблемам и связи с электронными сигналами и блок-схемами изучаемых систем». ^[6]

Лоренс писал: «До работы Мейсона К. Э. Шеннон ^[1] разработал ряд свойств того, что сейчас известно как потоковые графы. К сожалению, изначально статья имела ограниченную классификацию, и очень немногие имели доступ к материалу». ^[7]

«Правила оценки определителя графа Мейсона были впервые даны и доказаны Шенноном [1942] с использованием математической индукции. Его работа оставалась по сути неизвестной даже после того, как Мейсон опубликовал свою классическую работу в 1953 году. Три года спустя Мейсон [1956] заново открыл правила и доказал их, рассмотрев значение определителя и то, как оно изменяется при добавлении переменных к графу. [...]» ^[8]

Область применения

Робишо и др. определяют область применения SFG следующим образом: ^[9]

«Все физические системы, аналогичные этим сетям [созданные из идеальных трансформаторов, активных элементов и гираторов], составляют область применения разработанных [здесь] методов». Трент ^[10] показал, что все физические системы, удовлетворяющие следующим условиям, попадают в эту категорию.

1. Конечная сосредоточенная система состоит из ряда простых частей, каждая из которых имеет известные динамические свойства, которые могут быть определены уравнениями с использованием двух типов скалярных переменных и параметров системы. Переменные первого типа представляют величины, которые могут быть измерены, по крайней мере концептуально, путем присоединения показывающего прибора к двум точкам соединения элемента. Переменные второго типа характеризуют величины, которые могут быть измерены путем последовательного подключения счетчика к элементу. Относительные скорости и положения, перепады давления и напряжения являются типичными величинами первого класса, тогда как электрические токи, силы, скорости теплового потока являются переменными второго типа. Файрстоун был первым, кто различал эти два типа переменных с названиями через переменные и через переменные .
2. Переменные первого типа должны подчиняться закону сетки, аналогичному закону напряжений Кирхгофа, тогда как переменные второго типа должны удовлетворять закону инцидентности, аналогичному закону токов Кирхгофа.
3. Физические размеры соответствующих произведений переменных двух типов должны быть согласованы. Для систем, в которых эти условия выполняются, можно нарисовать линейный граф, изоморфный динамическим свойствам системы, описываемым выбранными переменными. Методы [...] могут быть применены непосредственно к этим линейным графам, а также к электрическим сетям, чтобы получить граф потока сигналов системы.

Основные концепции потоковых графов

Следующая иллюстрация и ее значение были представлены Мейсоном для иллюстрации основных понятий: ^[2]

(a) Простой потоковый граф, (b) Стрелки (a), инцидентные узлу 2, (c) Стрелки (a), инцидентные узлу 3.

В простых потоковых графах рисунка функциональная зависимость узла обозначена входящей стрелкой, узел, порождающий это влияние, является началом этой стрелки, и в своей наиболее общей форме сигнальный потоковой граф обозначает входящими стрелками только те узлы, которые влияют на обработку в принимающем узле, и в каждом узле i входящие переменные обрабатываются в соответствии с функцией, связанной с этим узлом, скажем F _i . Потоковый граф в (a) представляет собой набор явных отношений:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {1} }&={\text{an independent variable}}\\x_{\mathrm {2} }&=F_{2}(x_{\mathrm {1} },x_{\mathrm {3} })\\x_{\mathrm {3} }&=F_{3}(x_{\mathrm {1} },x_{\mathrm {2} },x_{\mathrm {3} })\\\end{aligned}}}$

Узел x ₁ является изолированным узлом, поскольку в него не входит ни одна стрелка; уравнения для x ₂ и x ₃ имеют графики, показанные в частях (b) и (c) рисунка.

Эти отношения определяют для каждого узла функцию, которая обрабатывает полученные им входные сигналы. Каждый узел, не являющийся источником, объединяет входные сигналы каким-то образом и транслирует результирующий сигнал по каждой исходящей ветви. «Потоковый граф, как изначально определено Мейсоном, подразумевает набор функциональных отношений, линейных или нет». ^[9]

Однако обычно используемый граф Мейсона более ограничен, предполагая, что каждый узел просто суммирует свои входящие стрелки, и что каждая ветвь включает только инициирующий узел. Таким образом, в этом более ограниченном подходе узел x ₁ не затрагивается, в то время как:

${\displaystyle x_{2}=f_{21}(x_{1})+f_{23}(x_{3})}$

${\displaystyle x_{3}=f_{31}(x_{1})+f_{32}(x_{2})+f_{33}(x_{3})\ ,}$

и теперь функции f _ij могут быть связаны с ветвями потока сигналов ij, соединяющими пару узлов x _i , x _j , вместо того, чтобы иметь общие отношения, связанные с каждым узлом. Вклад узла в себя, такой как f ₃₃ для x _3, называется самопетлей . Часто эти функции являются просто мультипликативными множителями (часто называемыми коэффициентами пропускания или усилениями ), например, f _ij (x _j )=c _ij x _j , где c — скаляр, но, возможно, функция некоторого параметра, такого как переменная преобразования Лапласа s . Графики потока сигналов очень часто используются с сигналами, преобразованными по Лапласу, потому что тогда они представляют системы линейных дифференциальных уравнений . В этом случае коэффициент пропускания, c(s) , часто называется передаточной функцией .

Выбор переменных

В общем, существует несколько способов выбора переменных в сложной системе. В соответствии с каждым выбором может быть написана система уравнений , а каждая система уравнений может быть представлена ​​в виде графика. Эта формулировка уравнений становится прямой и автоматической, если в распоряжении имеются методы, позволяющие рисовать график непосредственно из принципиальной схемы изучаемой системы. Структура полученных таким образом графиков простым образом связана с топологией принципиальной схемы , и становится ненужным рассматривать уравнения , даже неявно, для получения графика. В некоторых случаях достаточно просто представить себе потоковый график на принципиальной схеме, и желаемые ответы можно получить даже без рисования потокового графика.

—  Робишо ^[11]

Неуникальность

Робишо и др. писали: «Граф потока сигналов содержит ту же информацию, что и уравнения, из которых он выведен; но не существует однозначного соответствия между графиком и системой уравнений. Одна система даст разные графики в соответствии с порядком, в котором уравнения используются для определения переменной, записанной в левой части». ^[9] Если все уравнения связывают все зависимые переменные, то существует n! возможных SFG для выбора. ^[12]

Линейные графики потока сигналов

Методы линейных сигнальных потоков (SFG) применяются только к линейным системам, инвариантным во времени , как изучает их связанная с ними теория . При моделировании интересующей системы первым шагом часто является определение уравнений, представляющих работу системы, без назначения причин и следствий (это называется акаузальным моделированием). ^[13] Затем из этой системы уравнений выводится SFG.

Линейный SFG состоит из узлов, обозначенных точками, и взвешенных направленных ветвей, обозначенных стрелками. Узлы являются переменными уравнений , а веса ветвей являются коэффициентами. Сигналы могут проходить по ветви только в направлении, обозначенном стрелкой. Элементы SFG могут представлять только операции умножения на коэффициент и сложения, достаточные для представления ограниченных уравнений. Когда сигнал проходит по ветви в обозначенном направлении, сигнал умножается на вес ветви. Когда две или более ветвей направляются в один и тот же узел, их выходы складываются.

Для систем, описываемых линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями, граф потока сигналов математически эквивалентен системе уравнений, описывающих систему, а уравнения, управляющие узлами, обнаруживаются для каждого узла путем суммирования входящих ветвей к этому узлу. Эти входящие ветви передают вклады других узлов, выраженные как значение связанного узла, умноженное на вес связующей ветви, обычно действительное число или функция некоторого параметра (например, переменная преобразования Лапласа s ).

Для линейных активных сетей Чома пишет: ^[14] «Под «представлением потока сигналов» [или «графиком», как его обычно называют] мы подразумеваем диаграмму, которая, отображая алгебраические соотношения между соответствующими переменными ветвей сети, рисует однозначную картину того, как приложенный входной сигнал «течет» от входных к выходным ... портам».

Мотивацию для анализа SFG описывает Чен: ^[15]

"Анализ линейной системы в конечном итоге сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. В качестве альтернативы обычным алгебраическим методам решения системы можно получить решение, рассматривая свойства определенных ориентированных графов, связанных с системой". [См. подраздел: Решение линейных уравнений.] "Неизвестные уравнения соответствуют узлам графа, в то время как линейные отношения между ними появляются в виде направленных ребер, соединяющих узлы. ...Связанные ориентированные графы во многих случаях могут быть установлены непосредственно путем осмотра физической системы без необходимости предварительной формулировки →связанных уравнений..."

Основные компоненты

Элементы и конструкции графа потока сигналов.

Линейный граф потока сигналов связан с системой линейных уравнений ^[16] следующего вида:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }t_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }\end{aligned}}}$

где = коэффициент пропускания (или усиления) от до . ${\displaystyle t_{jk}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

На рисунке справа изображены различные элементы и конструкции графа потока сигналов (SFG). ^[17]

Экспонат (a) — это узел. В этом случае узел обозначен . Узел — это вершина, представляющая переменную или сигнал. ${\displaystyle x}$

Узел источника имеет только исходящие ветви (представляет независимую переменную). Как особый случай, узел входа характеризуется наличием одной или нескольких прикрепленных стрелок, указывающих от узла, и отсутствием стрелок, указывающих в узел. Любой открытый, полный SFG будет иметь по крайней мере один узел входа.

Выходной или сток - узел имеет только входящие ветви (представляет зависимую переменную). Хотя любой узел может быть выходом, явные выходные узлы часто используются для обеспечения ясности. Явные выходные узлы характеризуются наличием одной или нескольких прикрепленных стрелок, указывающих в узел, и отсутствием стрелок, указывающих от узла. Явные выходные узлы не требуются.

Смешанный узел имеет как входящие, так и исходящие ветви.

Экспонат (b) — это ветвь с мультипликативным усилением . Смысл в том, что выход на кончике стрелки умножается на вход на хвосте стрелки. Усиление может быть простой константой или функцией (например: функцией некоторой переменной преобразования, такой как , , или , для отношений Лапласа, Фурье или Z-преобразования). ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z}$

Пример (c) — это ветвь с мультипликативным приростом, равным единице. Если прирост опущен, предполагается, что он равен единице.

Экспонат (d) — входной узел. В этом случае умножается на коэффициент усиления . ${\displaystyle V_{in}}$ ${\displaystyle V_{in}}$ ${\displaystyle m}$

На рисунке (e) представлен явный выходной узел; входящее ребро имеет коэффициент усиления . ${\displaystyle I_{out}}$ ${\displaystyle m}$

На рисунке (f) показано сложение. Когда две или более стрелок указывают на узел, сигналы, передаваемые ребрами, складываются.

На рисунке (g) изображена простая петля. Коэффициент усиления петли равен . ${\displaystyle A\times m}$

На рисунке (h) изображено выражение . ${\displaystyle Z=aX+bY}$

Термины, используемые в линейной теории SFG, также включают: ^[17]

• Путь. Путь — это непрерывный набор ветвей, пройденных в направлении, указанном стрелками ветвей.
  • Открытый путь. Если ни один узел не посещается повторно, путь открыт.
  • Прямой путь. Путь от входного узла (источника) к выходному узлу (приемнику), который не посещает повторно ни один узел.
• Прирост пути : произведение приростов всех ветвей на пути.
• Петля. Замкнутый путь. (он начинается и заканчивается в одном и том же узле, и ни один узел не затрагивается более одного раза).
• Коэффициент усиления контура : произведение коэффициентов усиления всех ветвей контура.
• Некасающиеся петли. Некасающиеся петли не имеют общих узлов.
• Редукция графа. Удаление одного или нескольких узлов из графа с использованием преобразований графа.
  • Остаточный узел. В любом предполагаемом процессе сокращения графа узлы, которые должны быть сохранены в новом графе, называются остаточными узлами. ^[2]
• Разделение узла. Разделение узла соответствует разделению узла на два полуузла, один из которых является стоком, а другой — источником. ^[18]
• Индекс : Индекс графа — это минимальное количество узлов, которые необходимо разделить, чтобы удалить все петли в графе.
  • Индексный узел. Узлы, которые разделяются для определения индекса графа, называются индексными узлами, и в общем случае они не являются уникальными.

Систематическое сокращение источников и стоков

Граф потока сигналов может быть упрощен с помощью правил преобразования графа. ^{[19] [20] [21]} Эти правила упрощения также называются алгеброй графа потока сигналов . ^[22] Целью этого упрощения является соотнесение интересующих нас зависимых переменных (остаточных узлов, стоков) с их независимыми переменными (источниками).

Систематическая редукция линейного графа потока сигналов представляет собой графический метод, эквивалентный методу исключения Гаусса-Жордана для решения линейных уравнений. ^[23]

Правила, представленные ниже, могут применяться снова и снова, пока граф потока сигналов не будет сведен к своей «минимальной остаточной форме». Дальнейшее сокращение может потребовать устранения циклов или использования «формулы сокращения» с целью непосредственного соединения узлов стока, представляющих зависимые переменные, с узлами источника, представляющими независимые переменные. С помощью этих средств любой граф потока сигналов может быть упрощен путем последовательного удаления внутренних узлов, пока не останутся только входные, выходные и индексные узлы. ^{[24] [25]} Робишо описал этот процесс систематического сокращения графа потока:

Редукция графа происходит путем исключения определенных узлов для получения остаточного графа, показывающего только интересующие переменные. Это исключение узлов называется « поглощением узлов ». Этот метод близок к знакомому процессу последовательного исключения нежелательных переменных в системе уравнений. Можно исключить переменную, удалив соответствующий узел в графе. Если достаточно уменьшить граф, можно получить решение для любой переменной, и это цель, которая будет иметься в виду в этом описании различных методов редукции графа. На практике, однако, методы редукции будут использоваться исключительно для преобразования графа в остаточный граф, выражающий некоторые фундаментальные соотношения. Полные решения будут легче получаться путем применения правила Мейсона . ^[26] Сам граф программирует процесс редукции. Действительно, простой осмотр графа легко подсказывает различные шаги редукции, которые выполняются элементарными преобразованиями, путем исключения циклов или с помощью формулы редукции. ^[26]

—  Робишо, Графики потоков сигналов и их применение, 1962

Для цифрового сокращения потокового графа с использованием алгоритма Робишо расширяет понятие простого потокового графа до обобщенного потокового графа:

Перед описанием процесса редукции... соответствие между графом и системой линейных уравнений... должно быть обобщено... Обобщенные графы будут представлять некоторые рабочие отношения между группами переменных ... Каждой ветви обобщенного графа сопоставлена ​​матрица, задающая отношения между переменными, представленными узлами на концах этой ветви... ^[27] Элементарные преобразования [определенные Робишо на его рисунке 7.2, стр. 184] и редукция цикла позволяют исключить любой узел j графа с помощью формулы редукции : [описанной в уравнении Робишо 7-1]. С помощью формулы редукции всегда можно редуктировать граф любого порядка... [После редукции] конечный граф будет каскадным графом, в котором переменные стоковых узлов явно выражены как функции источников. Это единственный метод редукции обобщенного графа, поскольку правило Мейсона, очевидно, неприменимо. ^[28]

—  Робишо, Графики потоков сигналов и их применение, 1962

Определение элементарного преобразования варьируется от автора к автору:

• Некоторые авторы рассматривают в качестве элементарных преобразований только суммирование приростов параллельных краев и умножение приростов последовательных краев, но не устранение замкнутых контуров ^{[23] [29]}
• Другие авторы рассматривают устранение замкнутой петли как элементарное преобразование ^[30]

Параллельные ребра. Заменить параллельные ребра одним ребром, имеющим прирост, равный сумме исходных приростов.

Граф слева имеет параллельные ребра между узлами. Справа эти параллельные ребра были заменены одним ребром, имеющим прирост, равный сумме приростов на каждом исходном ребре.

Уравнения, соответствующие сокращению между N и узлом I _1, следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {3} }+...\\N&=I_{\mathrm {1} }(f_{\mathrm {1} }+f_{\mathrm {2} }+f_{\mathrm {3} })+...\\\end{aligned}}}$

Исходящие ребра. Заменить исходящие ребра ребрами, напрямую выходящими из источников узла.

Граф слева имеет промежуточный узел N между узлами, из которых он имеет притоки, и узлами, в которые он вытекает. Граф справа показывает прямые потоки между этими наборами узлов, без транзита через N.

Для простоты N и его притоки не представлены. Оттоки из N исключены.

Уравнения, соответствующие редукции, напрямую связывающей входные сигналы N с его выходными сигналами, следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\\O_{\mathrm {1} }&=g_{\mathrm {1} }N\\O_{\mathrm {2} }&=g_{\mathrm {2} }N\\O_{\mathrm {3} }&=g_{\mathrm {3} }N\\O_{\mathrm {1} }&=g_{\mathrm {1} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {2} }&=g_{\mathrm {2} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {3} }&=g_{\mathrm {3} }(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\\O_{\mathrm {1} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {1} }\\O_{\mathrm {2} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {2} }\\O_{\mathrm {3} }&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }g_{\mathrm {3} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }g_{\mathrm {3} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }g_{\mathrm {3} }\\\end{aligned}}}$

Узлы с нулевым сигналом.

Удалить исходящие ребра из узла, значение которого равно нулю.

Если значение узла равно нулю, его исходящие ребра можно исключить.

Узлы без оттоков.

Устранить узел без оттоков.

В этом случае N не является интересующей переменной и не имеет исходящих ребер; следовательно, N и его входящие ребра можно исключить.

Самозацикливающийся край. Замените зацикливающиеся края, отрегулировав усиления на входящих краях.

Граф слева имеет петлевое ребро в узле N с усилением g . Справа петлевое ребро было устранено, и все входящие ребра имеют усиление, деленное на (1-g) .

Уравнения, соответствующие сокращению между N и всеми его входными сигналами, следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }+Ng\\N-Ng&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\\N(1-g)&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\\N&=(I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} })\div (1-g)\\N&=I_{\mathrm {1} }f_{\mathrm {1} }\div (1-g)+I_{\mathrm {2} }f_{\mathrm {2} }\div (1-g)+I_{\mathrm {3} }f_{\mathrm {3} }\div (1-g)\\\end{aligned}}}$

Реализации

Вышеуказанная процедура построения SFG из акаузальной системы уравнений и решения задач усиления SFG была реализована ^[31] как дополнение к MATHLAB 68 [ ^{32] —} онлайновой системе, предоставляющей машинную помощь для механических символических процессов, встречающихся в анализе .

Решение линейных уравнений

Графы потока сигналов можно использовать для решения систем одновременных линейных уравнений. ^[33] Система уравнений должна быть согласованной, а все уравнения должны быть линейно независимыми.

Приводим уравнения в «стандартную форму»

Граф потока для трех одновременных уравнений. Ребра, инцидентные каждому узлу, окрашены по-разному просто для акцента. Поворот рисунка на 120° просто переставляет индексы. ${\displaystyle x_{1}=\left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}\ ,}$ ${\displaystyle x_{2}=c_{21}x_{1}+\left(c_{22}+1\right)x_{2}+c_{23}x_{3}-y_{2}\ ,}$ ${\displaystyle x_{3}=c_{31}x_{1}+c_{32}x_{2}+\left(c_{33}+1\right)x_{3}-y_{3}\ .}$

Для M уравнений с N неизвестными, где каждое y _j является известным значением, а каждое x _j является неизвестным значением, существует уравнение для каждого известного значения следующего вида.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }&=y_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$ ; обычная форма для одновременных линейных уравнений с 1 ≤ j ≤ M

Хотя это осуществимо, особенно для простых случаев, чтобы установить сигнальный поток графа с использованием уравнений в этой форме, некоторая перестановка позволяет общую процедуру, которая работает легко для любого набора уравнений, как сейчас представлено. Для продолжения, сначала уравнения переписываются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }-y_{\mathrm {j} }&=0\end{aligned}}}$

и далее переписано как

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k=1} }^{\mathrm {N} }c_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }+x_{\mathrm {j} }-y_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$

и наконец переписано как

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\mathrm {k=1} }^{\mathrm {N} }(c_{\mathrm {jk} }+\delta _{\mathrm {jk} })x_{\mathrm {k} }-y_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$  ; форма, подходящая для выражения в виде графа потока сигналов.

где δ _kj = дельта Кронекера

Граф потока сигналов теперь организован путем выбора одного из этих уравнений и обращения к узлу с правой стороны. Это узел, для которого узел соединяется с самим собой с ветвью веса, включающей «+1», создавая замкнутую петлю в графе потока. Другие члены в этом уравнении соединяют этот узел сначала с источником в этом уравнении, а затем со всеми другими ветвями, инцидентными этому узлу. Каждое уравнение обрабатывается таким образом, а затем каждая инцидентная ветвь соединяется с соответствующим исходным узлом. Например, случай трех переменных показан на рисунке, а первое уравнение имеет вид:

${\displaystyle x_{1}=\left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}\ ,}$

где правая часть этого уравнения представляет собой сумму взвешенных стрелок, падающих на узел x ₁ .

Поскольку существует базовая симметрия в обработке каждого узла, простой отправной точкой является расположение узлов с каждым узлом в одной вершине правильного многоугольника. При выражении с использованием общих коэффициентов { c _in }, окружение каждого узла тогда такое же, как и все остальные, за исключением перестановки индексов. Такая реализация для набора из трех одновременных уравнений показана на рисунке. ^[34]

Часто известные значения y _j принимаются за первичные причины, а неизвестные значения x _j — за следствия, но независимо от этой интерпретации последняя форма для набора уравнений может быть представлена ​​в виде графа потока сигналов. Этот момент обсуждается далее в подразделе Интерпретация «причинности».

Применение формулы усиления Мейсона

В самом общем случае значения всех переменных x _k можно вычислить, вычислив формулу усиления Мейсона для пути от каждого y _j до каждого x _k и используя суперпозицию.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {k} }&=\sum _{\mathrm {j} =1}^{\mathrm {M} }(G_{\mathrm {kj} })y_{\mathrm {j} }\end{aligned}}}$

где G _kj = сумма формулы усиления Мейсона, вычисленная для всех путей от входа y _j до переменной x _k .

В общем случае существует N-1 путей от y _j до переменной x _k , поэтому вычислительные усилия для вычисления G _kj пропорциональны N-1. Поскольку существует M значений y _j , G _kj необходимо вычислить M раз для одного значения x _k . Вычислительные усилия для вычисления одной переменной x _k пропорциональны (N-1)(M). Усилия для вычисления всех переменных x _k пропорциональны (N)(N-1)(M). Если имеется N уравнений и N неизвестных, то вычислительные усилия составляют порядка N ³ .

Отношение к блок-схемам

Пример: структурная схема и два эквивалентных представления графа потока сигналов.

Для некоторых авторов линейный граф потока сигналов более ограничен , чем блок-схема ^[35] , поскольку SFG строго описывает линейные алгебраические уравнения, представленные направленным графом.

Для других авторов линейные блок-схемы и линейные графики потоков сигналов являются эквивалентными способами изображения системы, и любой из них может быть использован для решения задачи усиления. ^[36]

Таблицу сравнения блок-схем и графов потоков сигналов предоставили Бакши и Бакши ^[37] , а другую таблицу — Кумар. ^[38] Согласно Баркеру и др.: [ ^39]

«Граф потока сигналов является наиболее удобным методом представления динамической системы. Топология графа компактна, а правила манипулирования им проще программировать, чем соответствующие правила, применяемые к блок-схемам».

На рисунке показана простая блок-схема для системы обратной связи с двумя возможными интерпретациями в виде графа потока сигналов. Входной сигнал R(s) — это преобразованный Лапласом входной сигнал; он показан как исходный узел в графе потока сигналов (узел источника не имеет входных ребер). Выходной сигнал C(s) — это преобразованная Лапласом выходная переменная. Он представлен как узел стока в диаграмме потока (у стока нет выходных ребер). G(s) и H(s) — это передаточные функции, причем H(s) служит для обратной связи измененной версии выхода на вход, B(s) . Два представления потокового графа эквивалентны.

Интерпретация «причинности»

Термин «причина и следствие» был применен Мейсоном к SFG: ^[2]

«Процесс построения графика представляет собой отслеживание последовательности причин и следствий в физической системе. Одна переменная выражается как явное следствие, вызванное определенными причинами; они, в свою очередь, распознаются как следствия, вызванные еще другими причинами».

— SJ Mason: Раздел IV: Иллюстративные применения техники потокового графа

и было повторено многими более поздними авторами: ^[40]

« Граф потока сигналов — это еще один визуальный инструмент для представления причинно-следственных связей между компонентами системы. Это упрощенная версия блок-схемы, введенной С. Дж. Мейсоном в качестве причинно-следственного представления линейных систем».

— Артур ГО Мутамбара: Проектирование и анализ систем управления , стр. 238

Однако статья Мейсона посвящена тому, чтобы подробно показать, как набор уравнений связан с SFG, акцент, не связанный с интуитивными понятиями «причины и следствия». Интуиция может быть полезна для достижения SFG или для получения понимания из SFG, но не является существенной для SFG. Существенная связь SFG заключается в его собственном наборе уравнений, как описано, например, Огатой: ^[41]

«Граф потока сигналов — это диаграмма, которая представляет собой набор одновременных алгебраических уравнений. При применении метода графа потока сигналов к анализу систем управления мы должны сначала преобразовать линейные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения относительно [ переменной преобразования Лапласа ] s ..»

- Кацухико Огата: Современная техника управления , с. 104

Здесь нет ссылки на «причину и следствие», и как сказал Баруцкий: ^[42]

«Как и блок-схемы, графы потоков сигналов отображают вычислительную, а не физическую структуру системы».

— Вольфганг Боруцки, Методология графа облигаций , стр. 10

Термин «причина и следствие» может быть неверно истолкован, поскольку он применяется к SFG, и неправильно принят, чтобы предложить системный взгляд на причинность, ^[43] а не вычислительно- обоснованное значение. Чтобы сохранить ясность обсуждения, может быть целесообразно использовать термин «вычислительная причинность», как это предлагается для графов облигаций : ^[44]

«В литературе по графу Бонда используется термин «вычислительная причинность», указывающий на порядок вычислений в моделировании, чтобы избежать любой интерпретации в смысле интуитивной причинности».

Термин «вычислительная причинность» поясняется на примере тока и напряжения в резисторе: ^[45]

« Вычислительная причинность физических законов, следовательно, не может быть предопределена, а зависит от конкретного использования этого закона. Мы не можем сделать вывод, является ли ток, текущий через резистор, причиной падения напряжения, или же разность потенциалов на двух концах резистора причиной протекания тока. Физически это просто два параллельных аспекта одного и того же физического явления. С вычислительной точки зрения нам, возможно, придется иногда принимать одну позицию, а иногда — другую».

— Франсуа Селье и Эрнесто Кофман: §1.5 Программное обеспечение для моделирования сегодня и завтра , стр. 15

Компьютерная программа или алгоритм могут быть организованы для решения набора уравнений с использованием различных стратегий. Они различаются тем, как они расставляют приоритеты при поиске некоторых переменных в терминах других, и эти алгоритмические решения, которые просто касаются стратегии решения, затем устанавливают переменные, выраженные как зависимые переменные ранее в решении, как «следствия», определяемые оставшимися переменными, которые теперь являются «причинами», в смысле «вычислительной причинности».

Используя эту терминологию, именно вычислительная причинность, а не системная причинность, имеет отношение к SFG. Существует широкий философский спор, не касающийся конкретно SFG, о связях между вычислительной причинностью и системной причинностью. ^[46]

Графики потоков сигналов для анализа и проектирования

Графы потоков сигналов можно использовать для анализа, то есть для понимания модели существующей системы, или для синтеза, то есть для определения свойств альтернативного проекта.

Графики потоков сигналов для анализа динамических систем

При построении модели динамической системы Дорф и Бишоп приводят следующий список шагов: ^[47]

• Дайте определение системе и ее компонентам.
• Сформулируйте математическую модель и перечислите необходимые предположения.
• Напишите дифференциальные уравнения, описывающие модель.
• Решите уравнения для требуемых выходных переменных.
• Изучите решения и предположения.
• При необходимости проведите повторный анализ или перепроектируйте систему.

—RC Dorf и RH Bishop, Современные системы управления , Глава 2, стр. 2

В этом рабочем процессе уравнения математической модели физической системы используются для вывода уравнений графа потока сигналов.

Графики потоков сигналов для синтеза проекта

Графы потока сигналов использовались в Design Space Exploration (DSE) в качестве промежуточного представления к физической реализации. Процесс DSE ищет подходящее решение среди различных альтернатив. В отличие от типичного рабочего процесса анализа, где интересующая система сначала моделируется с помощью физических уравнений ее компонентов, спецификация для синтеза дизайна может быть желаемой передаточной функцией. Например, различные стратегии будут создавать различные графы потока сигналов, из которых выводятся реализации. ^[48] Другой пример использует аннотированную SFG как выражение поведения в непрерывном времени, в качестве входных данных для генератора архитектуры ^[49]

Формулы Шеннона и Шеннона-Хэппа

Формула Шеннона — это аналитическое выражение для расчета коэффициента усиления взаимосвязанного набора усилителей в аналоговом компьютере. Во время Второй мировой войны, исследуя функциональную работу аналогового компьютера, Клод Шеннон разработал свою формулу. Из-за ограничений военного времени работа Шеннона в то время не была опубликована, и в 1952 году Мейсон заново открыл ту же формулу.

Уильям В. Хапп обобщил формулу Шеннона для топологически замкнутых систем. ^[50] Формула Шеннона-Хаппа может быть использована для вывода передаточных функций, чувствительности и функций ошибок. ^[51]

Для согласованного набора линейных односторонних отношений формула Шеннона-Хэппа выражает решение с использованием прямой подстановки (неитеративно). ^{[51] [52]}

Программное обеспечение NASAP для электрических цепей основано на формуле Шеннона-Хэппа. ^{[51] [52]}

Примеры линейных графиков потока сигналов

Простой усилитель напряжения

Рисунок 1: SFG простого усилителя

Усиление сигнала V ₁ усилителем с коэффициентом усиления a ₁₂ математически описывается формулой

${\displaystyle V_{2}=a_{12}V_{1}\,.}$

Эта связь, представленная графом потока сигналов на рисунке 1, заключается в том, что V ₂ зависит от V ₁ , но это не подразумевает зависимости V ₁ от V ₂ . См. Kou, стр. 57. ^[53]

Идеальный усилитель с отрицательной обратной связью

Рисунок 3: Возможный график потока сигналов для модели асимптотического усиления

Рисунок 4: Другой график потока сигналов для модели асимптотического усиления

График потока сигнала для неидеального усилителя с отрицательной обратной связью, основанный на управляющей переменной P , связывающей две внутренние переменные: x _j =Px _i . По образцу D.Amico et al. ^[54]

Возможная SFG для асимптотической модели усиления для усилителя с отрицательной обратной связью показана на рисунке 3 и приводит к уравнению для усиления этого усилителя в виде

${\displaystyle G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}}$ ${\displaystyle =G_{\infty }\left({\frac {T}{T+1}}\right)+G_{0}\left({\frac {1}{T+1}}\right)\ .}$

Интерпретация параметров следующая: T = коэффициент возврата , G _∞ = коэффициент усиления прямого усилителя, G ₀ = прямая связь (указывающая на возможную двустороннюю природу обратной связи, возможно преднамеренную, как в случае компенсации прямой связи ). Рисунок 3 имеет интересный аспект, так как он напоминает рисунок 2 для двухпортовой сети с добавлением дополнительного отношения обратной связи x ₂ = T y ₁ .

Из этого выражения усиления очевидна интерпретация параметров G ₀ и G _{∞ , а именно:}

${\displaystyle G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G\ ;\ G_{0}=\lim _{T\to 0}G\ .}$

Существует множество возможных SFG, связанных с любым конкретным соотношением усиления. На рисунке 4 показан другой SFG для асимптотической модели усиления, который может быть проще интерпретировать в терминах схемы. На этом графике параметр β интерпретируется как фактор обратной связи, а A — как «параметр управления», возможно, связанный с зависимым источником в схеме. Используя этот график, усиление

${\displaystyle G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}}$ ${\displaystyle =G_{0}+{\frac {A}{1-\beta A}}\ .}$

Для подключения к асимптотической модели усиления параметры A и β не могут быть произвольными параметрами схемы, а должны быть связаны с коэффициентом возврата T следующим образом:

${\displaystyle T=-\beta A\ ,}$

и к асимптотическому приросту как:

${\displaystyle G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G=G_{0}-{\frac {1}{\beta }}\ .}$

Подставляя эти результаты в выражение усиления,

${\displaystyle G=G_{0}+{\frac {1}{\beta }}{\frac {-T}{1+T}}}$

${\displaystyle =G_{0}+(G_{0}-G_{\infty }){\frac {-T}{1+T}}}$

${\displaystyle =G_{\infty }{\frac {T}{1+T}}+G_{0}{\frac {1}{1+T}}\ ,}$

что является формулой асимптотической модели усиления.

Электрическая цепь, содержащая двухполюсник

График потока сигнала схемы, содержащей два порта. Прямой путь от входа к выходу показан другим цветом. Прямоугольник из пунктирной линии охватывает часть SFG, которая составляет два порта.

На рисунке справа изображена схема, которая содержит y -параметрическую двухпортовую сеть . V _in является входом схемы, а V ₂ является выходом. Уравнения двухпортов накладывают набор линейных ограничений между напряжениями и токами ее портов. Уравнения терминалов накладывают другие ограничения. Все эти ограничения представлены в SFG (графике потока сигналов) под схемой. Существует только один путь от входа к выходу, который показан другим цветом и имеет коэффициент усиления (напряжения) -R _L y ₂₁ . Также есть три петли: -R _in y ₁₁ , -R _L y ₂₂ , R _in y ₂₁ R _L y ₁₂ . Иногда петля указывает на преднамеренную обратную связь, но она также может указывать на ограничение на связь двух переменных. Например, уравнение, описывающее резистор, гласит, что отношение напряжения на резисторе к току через резистор является константой, которая называется сопротивлением. Это можно интерпретировать как напряжение — это вход, а ток — это выход, или ток — это вход, а напряжение — это выход, или просто то, что напряжение и ток имеют линейную зависимость. Практически все пассивные двухтерминальные устройства в цепи будут отображаться в SFG как контур.

SFG и схема изображают одну и ту же цепь, но схема также указывает на цель цепи. По сравнению со схемой SFG неуклюж, но у него есть преимущество в том, что коэффициент усиления входа-выхода может быть записан путем проверки с использованием правила Мейсона .

Мехатроника: сервопривод положения с многоконтурной обратной связью

Сервопривод углового положения и график потока сигналов. θ _C = желаемая команда угла, θ _L = фактический угол нагрузки, K _P = усиление контура положения, V _ωC = команда скорости, V _ωM = напряжение датчика скорости двигателя, K _V = усиление контура скорости, V _IC = команда тока, V _IM = напряжение датчика тока, K _C = усиление контура тока, V _A = выходное напряжение усилителя мощности, L _M = индуктивность двигателя, V _M = напряжение на индуктивности двигателя, I _M = ток двигателя, R _M = сопротивление двигателя, R _S = сопротивление датчика тока, K _M = постоянная крутящего момента двигателя (Нм/ампер), T = крутящий момент, M = момент инерции всех вращающихся компонентов, α = угловое ускорение, ω = угловая скорость, β = механическое демпфирование, G _M = постоянная противоЭДС двигателя, G _T = постоянная усиления преобразования тахометра. Существует один прямой путь (показан другим цветом) и шесть контуров обратной связи. Предполагается, что приводной вал достаточно жесткий, чтобы не рассматриваться как пружина. Константы показаны черным цветом, а переменные — фиолетовым.

Этот пример является репрезентативным для SFG (графа потока сигналов), используемого для представления системы сервоуправления, и иллюстрирует несколько особенностей SFG. Некоторые из контуров (контур 3, контур 4 и контур 5) являются внешними намеренно разработанными контурами обратной связи. Они показаны пунктирными линиями. Существуют также внутренние контуры (контур 0, контур 1, контур 2), которые не являются намеренными контурами обратной связи, хотя их можно анализировать так, как если бы они были таковыми. Эти контуры показаны сплошными линиями. Контур 3 и контур 4 также известны как второстепенные контуры, поскольку они находятся внутри большего контура.

• Прямой путь начинается с θ _C , желаемой команды положения. Она умножается на K _P , которая может быть константой или функцией частоты. K _P включает коэффициент преобразования ЦАП и любую фильтрацию на выходе ЦАП. Выход K _P представляет собой команду скорости V _ωC , которая умножается на K _{V ,} которая может быть константой или функцией частоты. Выход K _V представляет собой команду тока V _IC , которая умножается на K _C , которая может быть константой или функцией частоты. Выход K _C представляет собой выходное напряжение усилителя V _A . Ток I _M , хотя обмотка двигателя является интегралом напряжения, приложенного к индуктивности. Двигатель создает крутящий момент T , пропорциональный I _M . Двигатели с постоянными магнитами, как правило, имеют линейную функцию тока в крутящий момент. Константа преобразования тока в крутящий момент равна K _M . Крутящий момент T , деленный на момент инерции нагрузки M, представляет собой ускорение α , которое интегрируется для получения скорости нагрузки ω , которая интегрируется для определения положения нагрузки θ _LC .
• Прямой путь цикла 0 утверждает, что ускорение пропорционально крутящему моменту, а скорость является временным интегралом ускорения. Обратный путь утверждает, что по мере увеличения скорости возникает трение или сопротивление, которое противодействует крутящему моменту. Крутящий момент на нагрузке уменьшается пропорционально скорости нагрузки до тех пор, пока не будет достигнута точка, в которой весь крутящий момент используется для преодоления трения, а ускорение падает до нуля. Цикл 0 является внутренним.
• Loop1 представляет взаимодействие тока индуктора с его внутренним и внешним последовательным сопротивлением. Ток через индуктивность является временным интегралом напряжения на индуктивности. Когда напряжение подается впервые, все оно появляется на индукторе. Это показано прямым путем через . По мере увеличения тока напряжение падает на внутреннем сопротивлении индуктора R _M и внешнем сопротивлении R _S . Это уменьшает напряжение на индукторе и представлено путем обратной связи -(R _M + R _S ). Ток продолжает увеличиваться, но с постоянно уменьшающейся скоростью, пока ток не достигнет точки, в которой все напряжение падает на (R _M + R _S ). Loop 1 является внутренним. ${\displaystyle {\frac {1}{s\mathrm {L} _{\mathrm {M} }}}\,}$
• Loop2 выражает эффект обратной ЭДС двигателя. Всякий раз, когда двигатель с постоянными магнитами вращается, он действует как генератор и вырабатывает напряжение в своих обмотках. Неважно, вызвано ли вращение крутящим моментом, приложенным к приводному валу, или током, приложенным к обмоткам. Это напряжение называется обратной ЭДС. Коэффициент преобразования скорости вращения в обратную ЭДС равен G _M . Полярность обратной ЭДС такова, что она уменьшает напряжение на индуктивности обмотки. Loop 2 является собственным.
• Контур 3 является внешним. Ток в обмотке двигателя проходит через резистор датчика. Напряжение V _IM , возникающее на резисторе датчика, подается обратно на отрицательный вывод усилителя мощности K _C . Эта обратная связь заставляет усилитель напряжения действовать как источник тока, управляемый напряжением. Поскольку крутящий момент двигателя пропорционален току двигателя, подсистема V _IC выходного крутящего момента действует как источник крутящего момента, управляемый напряжением. Эту подсистему можно назвать «токовой петлей» или «крутящей петлей». Контур 3 эффективно уменьшает влияние контура 1 и контура 2.
• Контур 4 является внешним. Тахометр (фактически маломощный генератор постоянного тока) вырабатывает выходное напряжение V _ωM , пропорциональное его угловой скорости. Это напряжение подается на отрицательный вход K _V . Эта обратная связь заставляет подсистему от V _ωC до угловой скорости нагрузки действовать как источник напряжения для скорости. Эту подсистему можно назвать «контуром скорости». Контур 4 эффективно уменьшает влияние контура 0 и контура 3.
• Контур 5 является внешним. Это общий контур обратной связи по положению. Обратная связь поступает от углового энкодера, который выдает цифровой выходной сигнал. Выходное положение вычитается из желаемого положения цифровым оборудованием, которое управляет ЦАП, который управляет K _P . В SFG коэффициент преобразования ЦАП включен в K _P .

См. правило Мейсона для разработки формулы выигрыша Мейсона для этого примера.

Терминология и классификация графов сигналов-потоков

В литературе существует некоторая путаница относительно того, что такое граф потока сигналов; Генри Пейнтер , изобретатель графов связей , пишет: «Но большая часть упадка графов потока сигналов [...] частично обусловлена ​​ошибочным представлением о том, что ветви должны быть линейными, а узлы — суммирующими. Сам Мейсон не придерживался ни одного из этих предположений!» ^[55]

Стандарты, охватывающие графы потоков сигналов

• IEEE Std 155-1960, Стандарты IEEE по схемам: Определения терминов для линейных графиков потоков сигналов, 1960.

Этот стандарт IEEE определяет граф потока сигналов как сеть направленных ветвей, представляющих зависимые и независимые сигналы как узлы . Входящие ветви переносят сигналы ветвей к сигналам зависимого узла. Сигнал зависимого узла является алгебраической суммой входящих сигналов ветвей в этом узле, т.е. узлы суммируются.

Граф сигнала-потока перехода состояний

Граф сигналов-потоков переходов состояний. Каждое начальное условие рассматривается как источник (показано синим цветом).

Диаграмма переходов состояний или SFG — это диаграмма моделирования для системы уравнений, включающая начальные условия состояний. ^[56]

Закрытый потокообразующий граф

Простая система RC и ее замкнутый потокопровод. Для замыкания системы вводится «фиктивная» пропускаемость Z(s). ^[50]

Закрытые потоковые графы описывают закрытые системы и используются для обеспечения строгой теоретической основы для топологических методов анализа цепей. ^[50]

• Терминология теории замкнутых потоковых графов включает в себя:
  • Контрибьютивный узел. Точка суммирования двух или более входящих сигналов, дающая только один исходящий сигнал.
  • Распределительный узел. Точка отбора проб для двух или более исходящих сигналов, полученных из только одного входящего сигнала.
  • Составной узел. Сокращение вкладывающего узла и распределительного узла.
  • Строго зависимый и строго независимый узел. Строго независимый узел представляет собой независимый источник; строго зависимый узел представляет собой счетчик.
  • Открытые и закрытые потоковые графы. Открытый потоковый граф содержит строго зависимые или строго независимые узлы; в противном случае это закрытый потоковый граф.

Нелинейные потоковые графы

Мейсон ввел как нелинейные, так и линейные потоковые графы. Чтобы прояснить этот момент, Мейсон написал: «Линейный потоковой граф — это граф, чьи ассоциированные уравнения линейны». ^[2]

Примеры нелинейных функций ветвления

Если мы обозначим через x _j сигнал в узле j , то ниже приведены примеры узловых функций, которые не относятся к линейной стационарной системе :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {k} }\times x_{\mathrm {l} }\\x_{\mathrm {k} }&=abs(x_{\mathrm {j} })\\x_{\mathrm {l} }&=\log(x_{\mathrm {k} })\\x_{\mathrm {m} }&=t\times x_{\mathrm {j} }{\text{ ,where }}t{\text{ represents time}}\\\end{aligned}}}$

Примеры нелинейных моделей графов потока сигналов

• Хотя их, как правило, нельзя преобразовать между представлениями во временной области и в частотной области для анализа классической теории управления, нелинейные графики потоков сигналов можно найти в литературе по электротехнике. ^{[57] [58]}
• Нелинейные графики потока сигналов можно также найти в биологических науках, например, в модели сердечно-сосудистой системы доктора Артура Гайтона . ^[59]

Применение методов SFG в различных областях науки

• Электронные схемы
  • Характеристика последовательных цепей типа Мура и Мили , получение регулярных выражений из диаграмм состояний . ^[60]
  • Синтез нелинейных преобразователей данных ^[58]
  • Теория управления и сетей
  • Стохастическая обработка сигналов. ^[61]
  • Надежность электронных систем ^[62]
• Физиология и биофизика
  • Регуляция сердечного выброса ^[63]
• Моделирование
  • Моделирование на аналоговых компьютерах ^[64]
• Нейронаука и комбинаторика
  • Изучение полихронии ^{[65] [66]}

Смотрите также

• Асимптотическая модель усиления
• Графики облигаций
• График Коутса
• Системы управления/Схемы потоков сигналов в Wikibook Системы управления
• Потоковый график (математика)
• Фильтр Leapfrog для примера проектирования фильтра с использованием графа потока сигнала
• Формула усиления Мейсона
• Обратная связь по второстепенному циклу
• Некоммутативный граф потока сигналов

Примечания

1. CE Shannon (январь 1942 г.). «Теория и проектирование машин с линейными дифференциальными уравнениями». Управление огнем Исследовательского комитета национальной обороны США: Отчет 411, Раздел D-2. {{cite journal}}: Cite journal needs |journal=( help ) Перепечатано в NJA Sloane; Aaron D. Wyner, eds. (1993). Claude E. Shannon: Collected Papers. Wiley IEEE Press. стр. 514. ISBN 978-0-7803-0434-5.
2. Мейсон, Сэмюэл Дж. (сентябрь 1953 г.). "Теория обратной связи - некоторые свойства графов потока сигналов" (PDF) . Труды IRE . 41 (9): 1144–1156. doi :10.1109/jrproc.1953.274449. S2CID  17565263. Граф потока можно интерпретировать как систему передачи сигналов, в которой каждый узел является крошечной станцией-ретранслятором. Станция получает сигналы через входящие ветви, объединяет информацию каким-либо образом, а затем передает результаты по каждой исходящей ветви.
3. Йорген Банг-Йенсен; Григорий З. Гутин (2008). Диграфы. Спрингер. ISBN 9781848009981.
4. Бела Боллобас (1998). Современная теория графов. Springer Science & Business Media. стр. 8. ISBN 9781461206194.я
5. SJ Mason (июль 1956 г.). «Теория обратной связи — дополнительные свойства графов потока сигналов». Труды IRE . 44 (7): 920–926. doi :10.1109/JRPROC.1956.275147. hdl : 1721.1/4778 . S2CID  18184015.Электронная версия доступна в Исследовательской лаборатории электроники Массачусетского технологического института.
6. Чен, Вай-Кай (1976). Прикладная теория графов: графы и электрические сети. Elsevier . ISBN 9781483164151.(WKC 1976, стр. 167) harv error: no target: CITEREFWKC1976 (help)
7. Лоренс, Чарльз Стэнтон (15 июля 1956 г.), Фогель, Дэн (ред.), Технический отчет 317 - Теория и применение потоковых графов (PDF) , Исследовательская лаборатория электроники, Массачусетский технологический институт
8. (WKC 1976, стр. 169) harv error: no target: CITEREFWKC1976 (help)
9. Луи П. А. Робишо; Морис Буавер; Жан Робер (1962). "Предисловие". Графики потоков сигналов и их применение . Серия по электротехнике Prentice-Hall. Prentice Hall. стр. x. ASIN  B0000CLM1G.
10. Хорас М Трент (1955). «Изоморфизмы между ориентированными линейными графами и сосредоточенными физическими системами». Журнал акустического общества Америки . 27 (3): 500–527. Bibcode : 1955ASAJ...27..500T. doi : 10.1121/1.1907949.
11. (Робишо 1962, стр. ix) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
12. Нарсингх Део (2004). Теория графов с приложениями к инженерии и информатике. PHI Learning Pvt. Ltd. стр. 418. ISBN 9788120301450.
13. Кофранек, Дж.; Матеяк, М.; Привитцер, П.; Трибула, М. (2008), Причинное или акаузальное моделирование: труд для людей или труд для машин (PDF) , Technical Computing Prague 2008. Труды конференции., Прага, стр. 16, архивировано из оригинала (PDF) 29.12.2009{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. J Choma, Jr (апрель 1990 г.). «Анализ потока сигналов сетей обратной связи». Труды IEEE по схемам и системам . 37 (4): 455–463. Bibcode : 1990ITCS...37..455C. doi : 10.1109/31.52748.
15. Вай-Кай Чен (1971). "Глава 3: Решения линейных алгебраических уравнений с помощью направленных графов". Прикладная теория графов . North-Holland Pub. Co. стр. 140. ISBN 978-0444101051.Частично доступно с помощью функции внутреннего просмотра Amazon.
16. См., например, Кацухико Огата (2004). "Глава 3-9: Представление линейных систем в виде графа потока сигналов". Modern Control Engineering (4-е изд.). Prentice Hall. стр. 106 и далее . ISBN 978-0130609076.Однако однозначного соответствия нет: Narsingh Deo (2004). Теория графов с приложениями к инженерии и информатике. PHI Learning Pvt. Ltd. стр. 418. ISBN 9788120301450.
17. Kuo, Benjamin C. (1967). Автоматические системы управления (2-е изд.). Prentice-Hall. С. 59–60.
18. Луи П. А. Робишо; Морис Буавер; Жан Робер (1962). "§1-4: Определения и терминология". Графы потоков сигналов и их применение . Серия электротехники Prentice-Hall. Prentice Hall. стр. 8. ASIN  B0000CLM1G.
19. JR Abrahams; GP Coverley (2014). "Глава 2: Операции с потоковым графом". Анализ потока сигналов: Библиотека Содружества и Международной библиотеки . Elsevier. стр. 21 и далее . ISBN 9781483180700.
20. Айзек М. Горовиц (2013). «Редукция графов сигнальных потоков». Синтез систем обратной связи . Elsevier. стр. 18 и далее . ISBN 9781483267708.
21. (Огата 2002, стр. 68, 106)
22. (Огата 2002, стр. 105, 106)
23. (Хенли 1973, стр. 12) harv error: no target: CITEREFHenley1973 (help)
24. (Пханг 2001, стр. 37) harv error: no target: CITEREFPhang2001 (help)
25. Примеры редукции графа потока сигналов можно найти в (Robichaud 1962, стр. 186, раздел 7-3 Алгебраическая редукция графов потока сигналов) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
26. (Robichaud 1962, стр. 9–10, раздел 1–5: Редукция потокового графа) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
27. (Робишо 1962, стр. 182, 183 Раздел 7-1, 7-2 Главы 7: Алгебраическая редукция графов потока сигналов с использованием цифрового компьютера) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
28. (Робишо 1962, стр. 185, раздел 7-2: Обобщение потоковых графов) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
29. (Робишо 1962, стр. 9, раздел 1–5 СОКРАЩЕНИЕ ГРАФИКА ПОТОКА) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
30. Фахфах, Мурад; Тлело-Куаутле, Эстебан; В. Фернандес, Франциско (2012). «Раздел 4.1.2 Алгебра графов потоков сигналов». В Фахфахе (ред.). Проектирование аналоговых схем посредством символьного анализа . Издательство Bentham Science. п. 418. ИСБН 978-1-60805-425-1.
31. Лабреш П., презентация: Линейные электрические цепи: символический сетевой анализ, 1977.
32. Карл Энгельман , Наследие MATHLAB 68 , опубликовано в Трудах SYMSAC '71 Труды второго симпозиума ACM по символическим и алгебраическим манипуляциям, страницы 29-41 [1]
33. "... решение набора одновременных линейных алгебраических уравнений. Эта задача, обычно решаемая матричными методами, может быть решена и с помощью теории графов". Део, Нарсингх (1974). Теория графов с приложениями к инженерии и информатике . Prentice-Hall of India. стр. 416. ISBN 978-81-203-0145-0.также в сети [2]
34. Део, Нарсингх (1974). Теория графов с приложениями к инженерии и информатике . Prentice-Hall of India. стр. 417. ISBN 978-81-203-0145-0.также в сети [3]
35. "Граф потока сигналов можно рассматривать как упрощенную версию блок-схемы. ... для причин и следствий ... линейных систем ... мы можем считать, что графы потока сигналов ограничены более жесткими математическими правилами, тогда как использование нотации блок-схемы менее строго". Куо, Бенджамин С. (1991). Системы автоматического управления (6-е изд.). Prentice-Hall. стр. 77. ISBN 978-0-13-051046-4.
36. Джин Ф. Франклин и др. (29 апреля 2014 г.). "Приложение W.3 Сокращение блок-схем". Управление динамическими системами с обратной связью . Prentice Hall.
37. VUBakshi UABakshi (2007). "Таблица 5.6: Сравнение методов блок-схемы и графа потока сигналов". Control Engineering . Технические публикации. стр. 120. ISBN 9788184312935.
38. A Anand Kumar (2014). "Таблица: Сравнение методов блок-схемы и потока сигналов". Системы управления (2-е изд.). PHI Learning Pvt. Ltd. стр. 165. ISBN 9788120349391.
39. HA Barker; M Chen; P. Townsend (2014). "Алгоритмы для преобразований между блок-схемами и цифровыми потоковыми графами". Computer Aided Design in Control Systems 1988: Selected Papers from the 4th IFAC Symposium, Beijing, PRC, 23-25 ​​августа 1988 г. Elsevier. стр. 281 и далее . ISBN 9781483298795.
40. Например, см. Артур GO Мутамбара (1999). Проектирование и анализ систем управления. CRC Press. стр. 238. ISBN 9780849318986.
41. Кацухико Огата (1997). "Графы потока сигналов". Modern Control Engineering (4-е изд.). Prentice Hall. стр. 104. ISBN 978-0130432452.
42. Вольфганг Боруцки (2009). Методология графа облигаций: разработка и анализ многопрофильных динамических системных моделей. Springer Science & Business Media. стр. 10. ISBN 9781848828827.
43. Джеймс Дж. Каллахан (2000). "Причинность: Определение 2.10". Геометрия пространства-времени: Введение в специальную и общую теорию относительности . Springer Science & Business Media. стр. 76. ISBN 9780387986418.
44. Джон Дж. Х. Миллер; Роберт Вишневецкий (22–26 июля 1991 г.). Джон Дж. Х. Миллер; Роберт Вишневецкий (ред.). IMACS '91, Труды 13-го Всемирного конгресса IMACS по вычислениям и прикладной математике: 22–26 июля 1991 г., Тринити-колледж, Дублин, Ирландия. Международная ассоциация по математике и компьютерам в моделировании.
45. Франсуа Э. Селье; Эрнесто Кофман (2006). Непрерывное системное моделирование. Springer Science & Business Media. п. 15. ISBN 9780387261027.
46. См., например, Стефан Левандовски; Саймон Фаррелл (2010). Вычислительное моделирование в познании: принципы и практика. SAGE Publications. ISBN 9781452236193.
47. Дорф, Ричард К.; Бишоп, Роберт Х. (2001). "Глава 2.-1: Введение" (PDF) . Современные системы управления . Prentice Hall. стр. 2. ISBN 978-0-13-030660-9.
48. Antao, BAA; Brodersen, AJ (июнь 1995 г.). «ARCHGEN: Автоматизированный синтез аналоговых систем». Труды IEEE по системам сверхбольшой интеграции (VLSI) . 3 (2): 231–244. doi :10.1109/92.386223.
49. Doboli, A.; Dhanwada, N.; Vemuri, R. (май 2000 г.). "Эвристическая методика генерации архитектуры системного уровня из представлений графов потоков сигналов аналоговых систем". 2000 IEEE Международный симпозиум по схемам и системам. Новые технологии для 21-го века. Труды (IEEE Cat No.00CH36353) . Схемы и системы, 2000. Труды. ISCAS 2000 Женева. Международный симпозиум IEEE 2000. Том 3. стр. 181–184. CiteSeerX 10.1.1.59.304 . doi :10.1109/ISCAS.2000.856026. ISBN  978-0-7803-5482-1. S2CID  13948702.
50. Happ, William W. (1966). «Flowgraph Techniques for Closed Systems». IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems . AES-2 (3): 252–264. Bibcode : 1966ITAES...2..252H. doi : 10.1109/TAES.1966.4501761. S2CID  51651723.
51. Potash, Hanan; McNamee, Lawrence P. (1968). «Применение односторонних и графовых методов к анализу линейных цепей: решение неитеративными методами». Труды Национальной конференции ACM : 367–378. doi : 10.1145/800186.810601 . S2CID  16623657.
52. Okrent, Howard; McNamee, Lawrence P. (1970). "3. 3 Теория потокографов" (PDF) . NASAP-70 Руководство пользователя и программиста . Лос-Анджелес, Калифорния: Школа инженерии и прикладных наук, Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе. С. 3–9.
53. Коу (1967, стр. 57)
54. Арнальдо Д'Амико, Кристиан Фалькони, Джанлука Джустолизи, Гаэтано Палумбо (апрель 2007 г.). «Сопротивление усилителей обратной связи: новое представление» (PDF) . Транзакции IEEE в схемах и системах – II Express Briefs . 54 (4): 298–302. CiteSeerX 10.1.1.694.8450 . doi : 10.1109/tcsii.2006.889713. S2CID  10154732. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
55. Пейнтер, Генри (1992). «Эпистемическая предыстория графов облигаций» (PDF) : 10, 15 страниц. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
56. Houpis, Constantine H.; Sheldon, Stuart N. (2013). "раздел 8.8". Анализ и проектирование линейных систем управления с помощью MATLAB®, шестое издание . Boca Raton, FL: CRC press. стр. 171–172. ISBN 9781466504264.
57. Например: Баран, Томас А.; Оппенхайм, Алан В. (2011), «Инверсия нелинейных и изменяющихся во времени систем», 2011 Digital Signal Processing and Signal Processing Education Meeting (DSP/SPE) , Digital Signal Processing Workshop и IEEE Signal Processing Education Workshop (DSP/SPE), IEEE, стр. 283–288, CiteSeerX 10.1.1.695.7460 , doi :10.1109/DSP-SPE.2011.5739226, ISBN  978-1-61284-226-4, S2CID  5758954
58. Гильерме, Дж.; Хорта, NC; Франка, Дж. Э. (1999). СИМВОЛИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ДАННЫХ (PDF) .
59. Холл, Джон Э. (2004-11-01). "Пионерское использование системного анализа для изучения регуляции сердечного выброса". Американский журнал физиологии. Регуляторная, интегративная и сравнительная физиология . 287 (5): R1009–R1011. doi :10.1152/classicessays.00007.2004. ISSN  0363-6119. PMID  15475497. Рисунок 2, компьютерная модель сердечно-сосудистой системы Артура Гайтона, скачать jpeg {{cite journal}}: Внешняя ссылка в |quote=( помощь )
60. BRZOZOWSKI, JA; McCLUSKEY, EJ (1963). Методы построения графов сигналов для диаграмм состояний последовательных цепей . IEEE Transactions on Electronic Computers. IEEE. стр. 97.
61. Барри, Дж. Р., Ли, Э. А. и Мессершмитт, Д. Г. (2004). Цифровая связь (третье изд.). Нью-Йорк: Springer. стр. 86. ISBN 978-0-7923-7548-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
62. Happ, William W. (1964). Goldberg, MF (ред.). «Применение методов потоковых графов к решению проблем надежности». Physics of Failures in Electronics (AD434/329): 375–423. doi :10.1109/IRPS.1963.362257.
63. Холл, Джон Э. (23 августа 2004 г.). «Пионерское использование системного анализа для изучения регуляции сердечного выброса». Am J Physiol Regul Integr Comp Physiol . 287 (5): R1009–R1011. doi :10.1152/classicessays.00007.2004. PMID  15475497.
64. (Робишо 1962, глава 5 Прямое моделирование на аналоговых компьютерах с помощью графов потока сигналов) harv error: no target: CITEREFRobichaud1962 (help)
65. Ижикевич, Евгений М (февраль 2006). «Полихронизация: вычисления со спайками». Neural Computation . 18 (2): 245–282. doi :10.1162/089976606775093882. PMID  16378515. S2CID  14253998.
66. Долорес-Куэнка, Э. и Арсиньега-Неварес, Дж. А. и Нгуен, А. и Зоу, AY и Ван Поперинг, Л. и Крок, Н. и Эрлебахер, Г. и Мендоса-Кортес, Дж. Л. (апрель 2023 г.). «Полихрония как Чинампы». Алгоритмы . 16 (4): 193. arXiv : 2103.15265 . дои : 10.3390/a16040193 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Ссылки

• Эрнест Дж. Хенли и Р. А. Уильямс (1973). Теория графов в современной инженерии; автоматизированное проектирование, управление, оптимизация, анализ надежности . Academic Press. ISBN 978-0-08-095607-7.Книга почти полностью посвящена этой теме.
• Коу, Бенджамин С. (1967), Системы автоматического управления , Prentice Hall
• Робишо, Луи, Пенсильвания; Морис Буавер; Жан Роберт (1962). Графики потоков сигналов и их применение. Серия по электротехнике Prentice-Hall. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. стр. xiv, 214 с.
• Део, Нарсингх (1974), Теория графов с приложениями к инженерии и информатике, PHI Learning Pvt. Ltd., стр. 418, ISBN 978-81-203-0145-0
• K Thulasiramen; MNS Swarmy (2011). "§6.11 Графы Коутса и Мейсона". Графы: Теория и алгоритмы . John Wiley & Sons. стр. 163 и далее . ISBN 9781118030257.
• Огата, Кацухико (2002). "Секция 3-9. Графы потоков сигналов". Modern Control Engineering 4-е издание . Prentice-Hal. ISBN 978-0-13-043245-2.
• Фан, Хоман (14.12.2000). "2.5 Обзор графов потока сигналов" (PDF) . Проектирование оптического предусилителя КМОП с использованием графического анализа цепей (диссертация). Кафедра электротехники и вычислительной техники, Университет Торонто.© Авторские права принадлежат Хоману Пхангу 2001 г.

Дальнейшее чтение

• Вай-Кай Чен (1976). Прикладная теория графов . North Holland Publishing Company. ISBN 978-0720423624.Глава 3 посвящена основам, но практические примеры разбросаны по всей книге.
• Wai-Kai Chen (май 1964). "Некоторые приложения линейных графов". Контракт DA-28-043-AMC-00073 (E) . Лаборатория координированной науки, Университет Иллинойса, Урбана. Архивировано из оригинала 10 января 2015 г.
• K. Thulasiraman & MNS Swamy (1992). Графы: теория и алгоритмы . John Wiley & Sons. 6.10-6.11 для основной математической идеи. ISBN 978-0-471-51356-8.
• Шу-Пак Чан (2006). "Теория графов". В Ричарде К. Дорфе (ред.). Схемы, сигналы, речь и обработка изображений (3-е изд.). CRC Press. § 3.6. ISBN 978-1-4200-0308-6.Сравнивает подходы графов Мейсона и Коутса с подходом k-дерева Максвелла.
• RF Hoskins (2014). "Анализ потоковых графов и сигнальных потоковых графов линейных систем". В SR Dears (ред.). Последние разработки в теории сетей: Труды симпозиума, состоявшегося в Колледже аэронавтики, Крэнфилд, сентябрь 1961 г. Elsevier. ISBN 9781483223568.Сравнение полезности потокового графа Коутса и потокового графа Мейсона.

Внешние ссылки

• ML Edwards: S-параметры, графики потоков сигналов и другие матричные представления Все права защищены
• H Schmid: Графики потоков сигналов в 12 коротких уроках
• Системы управления/Схемы потоков сигналов в Wikibooks
• Медиафайлы по теме «Графы потоков сигналов» на Wikimedia Commons