Знаковый ноль

Дифференцирование положительного и отрицательного нуля

Знаковый ноль — это ноль с соответствующим знаком . В обычной арифметике число 0 не имеет знака, поэтому −0, +0 и 0 эквивалентны. Однако при вычислениях некоторые числовые представления допускают существование двух нулей, часто обозначаемых -0 ( отрицательный ноль ) и +0 ( положительный ноль ), которые считаются равными в операциях числового сравнения, но с возможным различным поведением в конкретных операциях. Это происходит в представлениях чисел со знаком и дополнением до единиц для целых чисел, а также в большинстве представлений чисел с плавающей запятой . Число 0 обычно кодируется как +0, но может быть представлено как +0, -0 или 0.

Стандарт IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой (в настоящее время используемый большинством компьютеров и языков программирования, поддерживающих числа с плавающей запятой) требует как +0, так и -0. Действительная арифметика со знаковыми нулями может рассматриваться как вариант расширенной линии действительных чисел, такой что 1/-0 = - ∞ и 1/+0 = +∞; деление неопределенно только для ± 0/±0 и ±∞/±∞.

Ноль с отрицательным знаком перекликается с концепцией математического анализа приближения к 0 снизу как одностороннего предела , который может быть обозначен x  → 0 ⁻ , x  → 0− или x  → ↑0. Обозначение «-0» может использоваться неофициально для обозначения отрицательного числа, округленного до нуля. Концепция отрицательного нуля также имеет некоторые теоретические применения в статистической механике и других дисциплинах.

Утверждается, что включение знакового нуля в IEEE 754 значительно облегчает достижение числовой точности в некоторых критических задачах, ^[1] , в частности, при вычислениях со сложными элементарными функциями. ^[2] С другой стороны, концепция знакового нуля противоречит обычному предположению, принятому в математике, что отрицательный ноль — это то же самое значение, что и ноль. Представления, допускающие отрицательный нуль, могут быть источником ошибок в программах, если разработчики программного обеспечения не учитывают, что, хотя два представления нуля ведут себя как равные при числовом сравнении, в некоторых операциях они дают разные результаты.

Представительства

Двоичные целочисленные форматы могут использовать различные кодировки . В широко используемой кодировке с двоичным дополнением ноль является беззнаковым. В 1+7-битном представлении знака и величины целых чисел отрицательный ноль представлен битовой строкой 1000 0000 . В 8-битном представлении с дополнением единиц отрицательный ноль представлен битовой строкой 1111 1111 . Во всех этих трех кодировках положительный или беззнаковый ноль представлен 0000 0000 . Однако последние две кодировки (с нулем со знаком) необычны для целочисленных форматов. Наиболее распространенными форматами со знаком нуля являются форматы с плавающей запятой ( форматы IEEE 754 или аналогичные), описанные ниже.

Отрицательный ноль по представлению IEEE 754 в двоичном формате32

В двоичных форматах с плавающей запятой IEEE 754 нулевые значения представлены смещенной экспонентой, а мантисса равна нулю. Отрицательный ноль имеет знаковый бит, равный единице. Отрицательный ноль можно получить в результате определенных вычислений, например, в результате арифметического опустошения отрицательного числа (возможны и другие результаты), или −1.0×0.0, или просто как −0.0.

В десятичных форматах с плавающей запятой IEEE 754 отрицательный ноль представлен показателем степени, являющимся любым допустимым показателем степени в диапазоне для формата, причем истинная мантисса равна нулю, а знаковый бит равен единице.

Свойства и обработка

Стандарт IEEE 754 для чисел с плавающей запятой определяет поведение положительного и отрицательного нуля при различных операциях. Результат может зависеть от текущих настроек режима округления IEEE .

Обозначения

В системах, которые включают как знаковые, так и беззнаковые нули, для знаковых нулей иногда используется обозначение и . ${\displaystyle 0^{+}}$ ${\displaystyle 0^{-}}$

Арифметика

Сложение и умножение коммутативны, но необходимо соблюдать некоторые специальные правила, а это значит, что обычные математические правила алгебраического упрощения могут не применяться. Знак ниже показывает полученные результаты с плавающей запятой (это не обычный оператор равенства). ${\displaystyle =}$

При умножении или делении всегда соблюдается обычное правило знаков:

• ${\displaystyle (-0)\cdot \left|x\right|=-0\,\!}$(для отличий от ±∞) ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\frac {-0}{\left|x\right|}}=-0\,\!}$( отлично от 0) ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle (-0)\cdot (-0)=+0\,\!}$

Существуют специальные правила сложения или вычитания знакового нуля:

• ${\displaystyle x+(\pm 0)=x\,\!}$( отлично от 0) ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle (-0)+(-0)=(-0)-(+0)=-0\,\!}$
• ${\displaystyle (+0)+(+0)=(+0)-(-0)=+0\,\!}$
• ${\displaystyle x-x=x+(-x)=+0\,\!}$(для любого конечного , −0 при округлении в отрицательную сторону) ${\displaystyle x}$

Из-за отрицательного нуля (а также при режиме округления вверх или вниз) выражения −( x − y ) и (− x ) − (− y ) для переменных с плавающей запятой x и y не могут быть заменены на y. - х . Однако (-0) + x можно заменить на x с округлением до ближайшего значения (кроме случаев, когда x может быть сигнальным NaN ).

Еще несколько особых правил:

• ${\displaystyle \left|-0\right|=+0\,\!}$
• ${\displaystyle {\sqrt {-0}}=-0\,\!}$^[3]
• ${\displaystyle {\frac {-0}{-\infty }}=+0\,\!}$ (следует правилу знаков деления)
• ${\displaystyle {\frac {\left|x\right|}{-0}}=-\infty \,\!}$ (для ненулевых значений используется правило знаков деления) ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\pm 0}\times {\pm \infty }={\mbox{NaN}}\,\!}$( Не число или прерывание для неопределенной формы )
• ${\displaystyle {\frac {\pm 0}{\pm 0}}={\mbox{NaN}}\,\!}$

Деление ненулевого числа на ноль устанавливает флаг деления на ноль , а операция, создающая NaN, устанавливает флаг недопустимой операции. Обработчик исключений вызывается, если включен соответствующий флаг.

Сравнения

Согласно стандарту IEEE 754, отрицательный ноль и положительный ноль должны сравниваться как равные с обычными (числовыми) операторами сравнения, такими как ==операторы C и Java . В этих языках могут потребоваться специальные приемы программирования, чтобы различать два значения:

• Введите каламбур числа в целочисленный тип, чтобы просмотреть знаковый бит в битовом шаблоне;
• использование функции ISO C copysign()(операция IEEE 754 copySign) для копирования знака нуля в некоторое ненулевое число;
• использование макроса ISO C signbit()(операция IEEE 754 isSignMinus), который возвращает, установлен ли знаковый бит числа;
• взяв обратную величину нулю, чтобы получить либо 1/(+0) = +∞, либо 1/(−0) = −∞ (если исключение деления на ноль не перехвачено).

Примечание. Приведение к целочисленному типу не всегда работает, особенно в системах с двойным дополнением.

Однако некоторые языки программирования могут предоставлять альтернативные операторы сравнения, которые различают два нуля. Так обстоит дело, например, с методом Equals в Double классе-оболочке Java . ^[4]

В округленных значениях, таких как температура

Неформально можно использовать обозначение «-0» для отрицательного значения, округленного до нуля. Это обозначение может быть полезно, когда отрицательный знак имеет значение; например, при составлении таблицы температур по Цельсию , где отрицательный знак означает температуру ниже нуля .

В статистической механике

В статистической механике иногда используются отрицательные температуры для описания систем с инверсной населенностью , которые, как можно считать, имеют температуру больше положительной бесконечности, поскольку коэффициент энергии в функции распределения населенностей равен -1/Температура. В этом контексте температура -0 представляет собой (теоретическую) температуру, большую, чем любая другая отрицательная температура, что соответствует (теоретической) максимально возможной степени инверсии населенности, противоположному экстремуму +0. ^[5]

Смотрите также

• Линия с двумя началами
• Расширенная строка действительных чисел

Рекомендации

1. Уильям Кахан , «Разрезы для сложных элементарных функций, или Много шума из-за ничтожного знакового бита», в «Современном состоянии численного анализа» (редакторы Изерлза и Пауэлла), Clarendon Press, Оксфорд, 1987.
2. Уильям Кахан , Производные в комплексной z-плоскости, с. 10.
3. Коулишоу, Майк (7 апреля 2009 г.). «Десятичная арифметика: арифметические операции – извлечение квадратного корня». speleotrove.com ( Корпорация IBM ) . Проверено 7 декабря 2010 г.
4. http://java.sun.com/javase/6/docs/api/java/lang/Double.html#equals(java.lang.Object)
5. Киттель, Чарльз и Герберт Кремер (1980). Теплофизика (2-е изд.) . WH Фриман и компания . п. 462. ИСБН 0-7167-1088-9.

• «Типы с плавающей запятой». Спецификация языка MSDN C# . Проверено 15 октября 2005 г.
• «Оператор отдела». Спецификация языка MSDN C# . Проверено 15 октября 2005 г.
• Томас Ван (март 2000 г.). «Трудности чисел с плавающей запятой в Java». Сентябрь 2000 г. Архивировано из оригинала 21 сентября 2005 г. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
• Майк Колишоу (28 июля 2008 г.). «Спецификация десятичной арифметики, версия 1.68» . Проверено 14 августа 2008 г. – десятичная спецификация с плавающей запятой, которая включает отрицательный ноль

дальнейшее чтение

• Майкл Инграссия. «Изменение ЗНАКА Фортрана 95». Сеть разработчиков Sun. Проверено 15 октября 2005 г. – изменения в функции Фортрана SIGN в Фортране 95 для размещения отрицательного нуля.
• «Типы данных JScript». MSDN JScript . Проверено 16 октября 2005 г. – Тип JScript с плавающей запятой с отрицательным нулем по определению.
• Веннерс, Билл (1 октября 1996 г.). «Арифметика с плавающей запятой». Изучите Java. JavaWorld . Под капотом . Проверено 14 июля 2020 г. – представление отрицательного нуля в виртуальной машине Java
• Брюс Доусон (25 февраля 2012 г.). «Сравнение чисел с плавающей запятой, издание 2012 г.». – как обрабатывать отрицательный ноль при сравнении чисел с плавающей запятой
• Джон Уокер . «Минус ноль». УНИВАК Воспоминания . Проверено 17 октября 2005 г. – дополнительные номера на компьютерах семейства UNIVAC 1100