В линейной алгебре две матрицы A и B размером n на n называются подобными , если существует обратимая матрица P размером n на n такая, что Подобные матрицы представляют собой одно и то же линейное отображение при двух (возможно) различных базисах , где P — матрица смены базиса . [1] [2]
Преобразование A ↦ P −1 AP называется преобразованием подобия или сопряжением матрицы A. В общей линейной группе подобие, таким образом, совпадает с сопряжением , и подобные матрицы также называются сопряженными ; однако в данной подгруппе H общей линейной группы понятие сопряжения может быть более ограничительным, чем подобие, поскольку оно требует, чтобы P было выбрано так, чтобы оно лежало в H.
При определении линейного преобразования может быть так, что изменение базиса может привести к более простой форме того же преобразования. Например, матрица, представляющая поворот в R 3 , когда ось вращения не совмещена с осью координат, может быть сложной для вычисления. Если бы ось вращения была совмещена с положительной осью z , то это было бы просто где - угол поворота. В новой системе координат преобразование будет записано как где x' и y' - соответственно исходные и преобразованные векторы в новом базисе, содержащем вектор, параллельный оси вращения. В исходном базисе преобразование будет записано как где векторы x и y и неизвестная матрица преобразования T находятся в исходном базисе. Чтобы записать T в терминах более простой матрицы, мы используем матрицу изменения базиса P, которая преобразует x и y как и :
Таким образом, матрица в исходном базисе, , задается как . Преобразование в исходном базисе оказывается произведением трех легко выводимых матриц. По сути, преобразование подобия выполняется в три этапа: переход к новому базису ( P ), выполнение простого преобразования ( S ) и возврат к старому базису ( P −1 ).
Подобие — это отношение эквивалентности на пространстве квадратных матриц.
Поскольку матрицы подобны тогда и только тогда, когда они представляют один и тот же линейный оператор относительно (возможно) разных базисов, подобные матрицы разделяют все свойства своего общего базового оператора:
Из-за этого для данной матрицы A интересно найти простую «нормальную форму» B , которая подобна A — тогда изучение A сводится к изучению более простой матрицы B. Например, A называется диагонализируемой , если она подобна диагональной матрице . Не все матрицы диагонализируемы, но, по крайней мере, над комплексными числами (или любым алгебраически замкнутым полем ), каждая матрица подобна матрице в жордановой форме . Ни одна из этих форм не уникальна (диагональные элементы или жордановы блоки могут быть переставлены), поэтому они не являются настоящими нормальными формами ; более того, их определение зависит от возможности факторизации минимального или характеристического многочлена A (эквивалентно нахождению его собственных значений). Рациональная каноническая форма не имеет этих недостатков: она существует над любым полем, действительно уникальна и может быть вычислена с использованием только арифметических операций в поле; A и B подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую рациональную каноническую форму. Рациональная каноническая форма определяется элементарными делителями A ; их можно немедленно считать из матрицы в жордановой форме, но их также можно определить напрямую для любой матрицы, вычислив нормальную форму Смита над кольцом многочленов матрицы (с многочленными элементами) XI n − A (той же, определитель которой определяет характеристический многочлен). Обратите внимание, что эта нормальная форма Смита не является нормальной формой самой A ; более того, она также не похожа на XI n − A , а получается из последней левым и правым умножением на различные обратимые матрицы (с многочленными элементами).
Подобие матриц не зависит от базового поля: если L — поле, содержащее K как подполе , а A и B — две матрицы над K , то A и B подобны как матрицы над K тогда и только тогда, когда они подобны как матрицы над L. Это так, потому что рациональная каноническая форма над K является также рациональной канонической формой над L. Это означает, что можно использовать жордановы формы, которые существуют только над большим полем, чтобы определить, подобны ли заданные матрицы.
В определении подобия, если матрица P может быть выбрана в качестве матрицы перестановки , то A и B являются подобными по перестановке; если P может быть выбрана в качестве унитарной матрицы, то A и B являются унитарно эквивалентными. Спектральная теорема утверждает, что каждая нормальная матрица унитарно эквивалентна некоторой диагональной матрице. Теорема Шпехта утверждает, что две матрицы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они удовлетворяют определенным следовым равенствам.
![{\displaystyle {\begin{align}&&y'&=Sx'\\[1.6ex]&\Rightarrow &Py&=SPx\\[1.6ex]&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde6e55baccc7f62dd0356f63bf343f525eeca88)
