Таблица синусов Мадхавы

Математическая таблица

Таблица синусов Мадхавы — это таблица тригонометрических синусов , составленная керальским математиком - астрономом XIV века Мадхавой из Сангамаграма (ок. 1340 – ок. 1425). В таблице перечислены джья-ы или R-синусы двадцати четырех углов от 3,75 ° до 90 ° с шагом 3,75 ° (1/24 прямого угла , 90 °). R-синус — это просто синус, умноженный на выбранный радиус и заданный как целое число. В этой таблице, как и в более ранней таблице Арьябхаты , R принимается равным 21600 ÷ 2 π ≈ 3437,75.

Таблица закодирована буквами санскритского алфавита с использованием системы Катапаяди , что придает записям вид стихов поэмы.

Оригинальная работа Мадхавы, содержащая таблицу, не была найдена. Таблица воспроизведена в Aryabhatiyabhashya Нилаканты Сомаяджи ^[1] (1444–1544), а также в комментарии Юктидипика/Лагхувиврити к Tantrasamgraha Шанкары Вариара (около 1500–1560). ^{[2] : 114–123}

Приведенные ниже стихи даны в «Культурных основах математики» Ч. К. Раджу ^{[2] : 114–123.} Они также даны в малаяламском комментарии к «Каранападдхати» П. К. Кору ^[3] , но немного по-другому.

Таблица

Вот эти стихи:

Дэвид Нэнси Уинстон в Нью-Йорке ।
Он играл в Сан-Франциско в Нью-Йорке. १ ॥
Он Нэнсон Кэнсон Уинстон .
Мэн Нэнси и Рэнди. २ ॥
В фильме Нэнси Нэнси Нэнси.
В 2007 году он выступил в роли президента США Дональда Трампа. ॥ ३ ॥
Он и Джон Мэн Сэнсэй Сон.
Он Рэйчел Джон Уилсон и Сан-Франциско. ४ ॥
И Лол, и Нэнсон Нэнсон Сан-Франциско.
Роналду Нэнси Блин. ५ ॥
Он и Клинтон в Нью-Йорке.
Кэнсон Нэнсон и Уиллис भृगुः ॥ ६ ॥
Уиллоу Клинтон и Миссисипи.
Сэнсэй и Сэнсэй विकाः ॥ ७ ॥

Четверти первых шести стихов представляют собой записи для двадцати четырех углов от 3,75° до 90° с шагом 3,75° (первый столбец). Второй столбец содержит значения Rsine, закодированные как санскритские слова (на языке деванагари). Третий столбец содержит то же самое в транслитерациях ISO 15919. Четвертый столбец содержит числа, декодированные в угловые минуты, угловые секунды и угловые трети в современных цифрах. Современные значения, масштабированные по традиционному «радиусу» (21600 ÷ 2π , с современным значением π с двумя десятичными в угловых третях, приведены в пятом столбце.

Последний стих означает: «Это великие R-синусы, как сказал Мадхава, включающие угловые минуты, секунды и терции. Вычитание из каждого предыдущего даст R-синусы-разности».

Сравнивая, можно заметить, что значения Мадхавы приведены точно, округленные до заявленной точности в трети, за исключением Rsin(15°), где, как кажется, ему следовало бы округлить до 889′45″16‴.

Обратите внимание, что в системе Катапаяди цифры пишутся в обратном порядке, так, например, буквальная запись, соответствующая 15°, — это 51549880, которая переворачивается и читается как 0889′45″15‴. Обратите внимание, что 0 не несет значения, а используется только для размера стихотворения.

Простой способ понимания таблицы

Не вдаваясь в философию того, почему было выбрано значение R  = 21600 ÷ 2π и т.д., простейший способ связать таблицы jya с нашей современной концепцией таблиц синусов заключается в следующем:

Даже сегодня таблицы синусов даются в виде десятичных дробей с определенной точностью. Если sin(15°) дается как 0,1736, это означает, что рациональное число 1736 ÷ 10000 является хорошим приближением фактического числа бесконечной точности. Единственное отличие состоит в том, что в более ранние дни они не стандартизировали десятичные значения (или степени десяти в качестве знаменателя) для дробей. Поэтому они использовали другие знаменатели, основанные на других соображениях (которые здесь не обсуждаются).

Следовательно, значения синуса, представленные в таблицах, можно просто принять как приближенные значения заданных целочисленных значений, деленных на R, выбранный для таблицы.

Другой возможный момент путаницы — использование угловых мер, таких как угловая минута и т. д., при выражении R-синусов. Современные синусы — это безразмерные отношения. Jya-s или R-синусы — это то же самое, умноженное на меру длины или расстояния. Однако, поскольку эти таблицы в основном использовались для астрономии, а расстояние на небесной сфере выражается в угловых мерах, эти значения также приводятся аналогичным образом. Однако единица измерения на самом деле не важна и не должна восприниматься слишком серьезно, поскольку значение в любом случае будет использоваться как часть рационального числа, и единица измерения будет отменена.

Однако это также приводит к использованию шестидесятеричных подразделений в уточнении Мадхавой более ранней таблицы Арьябхаты. Вместо того, чтобы выбрать большее R , он дал дополнительную точность, определенную им поверх ранее данных минут, используя секунды и трети. Как и прежде, их можно просто воспринимать как другой способ выражения дробей и не обязательно как меры углов.

Другой (более сложный) способ понять ценности

Диаграмма, поясняющая значение значений в таблице Мадхавы

Рассмотрим некоторый угол, мера которого равна  A. Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром O. Пусть дуга PQ окружности стягивает угол A с центром O. Опустим перпендикуляр QR из Q на OP; тогда длина отрезка RQ будет значением тригонометрического синуса угла  A. Пусть PS будет дугой окружности, длина которой равна длине отрезка RQ. Для различных углов A таблица Мадхавы дает меры соответствующих углов POS в угловых минутах , угловых секундах и шестидесятых долях угловой секунды . ${\displaystyle \angle }$

В качестве примера, пусть A будет углом, мера которого составляет 22,50°. В таблице Мадхавы запись, соответствующая 22,50°, является мерой в угловых минутах, угловых секундах и шестидесятых долях угловой секунды угла, радианная мера которого равна значению sin 22.50°, что составляет 0,3826834;

Умножьте 0,3826834 радиан на 180/ π, чтобы преобразовать в 21,92614 градуса, что составляет

1315 угловых минут 34 угловых секунды 07 шестидесятых угловой секунды, сокращенно 13153407.

Для угла, мера которого равна A , пусть

${\displaystyle \angle POS=m{\text{ arcminutes, }}s{\text{ arcseconds, }}t{\text{ sixtieths of an arcsecond}}}$

Затем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(A)&=RQ\\&={\text{length of arc }}PS\\&=\angle POS{\text{ in radians}}\\\end{aligned}}}$

Вывод тригонометрических синусов из таблицы

Каждая из строк в таблице определяет восемь цифр. Пусть цифры, соответствующие углу A (читаются слева направо), будут:

${\displaystyle d_{1}\quad d_{2}\quad d_{3}\quad d_{4}\quad d_{5}\quad d_{6}\quad d_{7}\quad d_{8}}$

Тогда, согласно правилам системы Катапаяди, их следует рассматривать справа налево, и мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=d_{8}\times 1000+d_{7}\times 100+d_{6}\times 10+d_{5}\\s&=d_{4}\times 10+d_{3}\\t&=d_{2}\times 10+d_{1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle B=m^{\prime }s^{\prime \prime }t^{\prime \prime \prime }={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(m+{\frac {s}{60}}+{\frac {t}{60\times 60}}\right)}$

Значение вышеуказанного угла B, выраженное в радианах , будет соответствовать значению синуса A.

${\displaystyle \sin A={\frac {\pi }{180}}B}$

Как было сказано ранее, это то же самое, что деление закодированного значения на принятое значение R :

${\displaystyle \sin A={\frac {B}{\frac {21600^{\prime }}{2\pi }}}}$

Пример

В таблице приведены следующие цифры, соответствующие углу  A = 45,00°:

${\displaystyle 5\quad 1\quad 1\quad 5\quad 0\quad 3\quad 4\quad 2}$

Это дает угол с мерой:

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=2\times 1000+4\times 100+3\times 10+0{\text{ arcminutes}}\\&=2430{\text{ arcminutes}}\\s&=5\times 10+1{\text{ arcseconds}}\\&=51{\text{ arcseconds}}\\t&=1\times 10+5{\text{ sixtieths of an arcsecond}}\\&=15{\text{ sixtieths of an arcsecond}}\end{aligned}}}$

Из чего получаем:

${\displaystyle B={\frac {1^{\circ }}{60}}\left(2430+{\frac {51}{60}}+{\frac {15}{60\times 60}}\right)={\frac {116681}{2880}}}$

Значение синуса A  = 45,00°, приведенное в таблице Мадхавы, представляет собой просто B, преобразованное в радианы:

${\displaystyle \sin 45^{\circ }={\frac {\pi }{180}}B={\frac {\pi }{180}}\times {\frac {116681}{2880}}}$

Оценивая вышесказанное, можно найти, что sin 45° равен 0,70710681… Это с точностью до 6 знаков после запятой.

Метод вычисления Мадхавы

Ни одна работа Мадхавы, подробно описывающая методы, которые он использовал для вычисления таблицы синусов, не сохранилась. Однако из трудов более поздних математиков Кералы, включая Нилакантху Сомаяджи ( Тантрасаграха ) и Джьештадеву ( Юктибхаша ), которые дают обширные ссылки на достижения Мадхавы, предполагается, что Мадхава вычислил свою таблицу синусов, используя разложение в степенной ряд sin x :

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

Смотрите также

• Серия Мадхава
• Исправление термина Мадхавы
• Значение числа π по Мадхаве
• Таблица синусов Арьябхаты
• Таблица хорд Птолемея

Ссылки

1. Арьябхатиам Арьябхаттачарьи с Бхашьей Нилакантхи Сомасутвана, Часть 1 - Ганитапада, под редакцией К. Самбасивы Шастри, Тривандрумская санскритская серия № 101. п. 55. https://archive.org/details/Trivandrum_Sanskrit_Series_TSS http://www.sanskritebooks.org/2013/02/trivandrum-sanskrit-series-anantasayana-samskrita-granthavali/
2. CK Raju (2007). Культурные основы математики: Природа математического доказательства и передача исчисления из Индии в Европу в XVI в. н. э . История философии, науки и культуры в индийской цивилизации. Том X Часть 4. Нью-Дели: Центр исследований цивилизаций и образования Pearson в Южной Азии. ISBN 978-81-317-0871-2.
3. Путхумана Сомаяджи . Каранападхати (с комментарием П.К. Кору на малаяламе) . Черпу , Керала , Индия : Astro Printing and Publishing Company.(Опубликовано в 1953 году)

Дополнительные ссылки

• Bag, AK (1976). "Ряды синусов и косинусов Мадхавы" (PDF) . Indian Journal of History of Science . 11 (1). Indian National Academy of Science: 54–57. Архивировано из оригинала (PDF) 5 июля 2015 г. . Получено 21 августа 2016 г. .
• Для отчета о вычислении Мадхавой таблицы синусов см.: Van Brummelen, Glen (2009). Математика небес и земли: ранняя история тригонометрии. Принстон: Princeton University Press . стр. 113–120. ISBN 978-0-691-12973-0.
• Подробное обсуждение вычисления таблицы синусов Мадхавы с историческими ссылками: CK Raju (2007). Культурные основы математики: Природа математического доказательства и передача исчисления из Индии в Европу в XVI в. н. э . История философии, науки и культуры в индийской цивилизации. Том X Часть 4. Дели: Центр исследований цивилизаций. С. 114–123.