Наклонное поле

Визуальное представление решений дифференциального уравнения

Поле наклона , где синие, красные и бирюзовые линии — это , , и , соответственно. ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=x^{2}-x-2}$ ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x+4}$ ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x}$ ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x-4}$

Поле наклона (также называемое полем направления ^[1] ) — это графическое представление решений дифференциального уравнения первого порядка ^[2] скалярной функции. Решения поля наклона — это функции, изображенные в виде сплошных кривых. Поле наклона показывает наклон дифференциального уравнения на определенных вертикальных и горизонтальных интервалах на плоскости xy и может использоваться для определения приблизительного наклона касательной в точке на кривой, где кривая является некоторым решением дифференциального уравнения.

Определение

Стандартный случай

Поле наклона можно определить для следующего типа дифференциальных уравнений:

${\displaystyle y'=f(x,y),}$

что можно геометрически интерпретировать как задание наклона касательной к графику решения дифференциального уравнения ( интегральной кривой ) в каждой точке ( x , y ) как функции координат точки. ^[3]

Его можно рассматривать как творческий способ построения графика функции действительных значений двух действительных переменных в виде плоской картинки. В частности, для заданной пары вектор с компонентами рисуется в точке на плоскости. Иногда вектор нормализуется, чтобы сделать график более наглядным для человеческого глаза. Для рисунка обычно используется набор пар, образующих прямоугольную сетку. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle [1,f(x,y)]}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle [1,f(x,y)]}$ ${\displaystyle x,y}$

Изоклина (серия линий с одинаковым наклоном) часто используется для дополнения поля наклона. В уравнении вида изоклина — это линия в плоскости, полученная путем подстановки равной константе. ${\displaystyle y'=f(x,y)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

Общий случай системы дифференциальных уравнений

Дана система дифференциальных уравнений,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\{\frac {dx_{2}}{dt}}&=f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\&\;\;\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}}$

Поле наклона представляет собой массив отметок наклона в фазовом пространстве (в любом количестве измерений в зависимости от количества соответствующих переменных; например, два в случае линейного ОДУ первого порядка , как показано справа). Каждая отметка наклона центрирована в точке и параллельна вектору ${\displaystyle (t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{pmatrix}}.}$

Число, положение и длина отметок наклона могут быть произвольными. Положения обычно выбираются так, чтобы точки образовывали равномерную сетку. Стандартный случай, описанный выше, представляет собой . Общий случай поля наклона для систем дифференциальных уравнений нелегко визуализировать для . ${\displaystyle (t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>2}$

Общее применение

С помощью компьютеров сложные поля наклона могут быть быстро созданы без скуки, и поэтому только недавно их практическое применение стало использоваться просто для того, чтобы почувствовать, каким должно быть решение, прежде чем искать явное общее решение. Конечно, компьютеры также могут просто решить для одного, если оно существует.

Если явного общего решения нет, компьютеры могут использовать поля наклона (даже если они не показаны) для численного нахождения графических решений. Примерами таких процедур являются метод Эйлера или, лучше, методы Рунге–Кутты .

Программное обеспечение для построения полей уклонов

Различные программные пакеты могут строить графики полей уклона.

Код поля направления вОктава GNU/МАТЛАБ

funn = @( x , y ) y - x ; % function f(x, y) = yx [ x , y ] = meshgrid ( - 5 : 0.5 : 5 ); % intervals for x and y slopes = funn ( x , y ); % matrix of slopes values ​​dy = slopes ./ sqrt ( 1 + slopes .^ 2 ); % normalize the line element... dx = units ( length ( dy )) ./ sqrt ( 1 + slopes .^ 2 ); % ...величины для dy и dx h = quiver ( x , y , dx , dy , 0.5 ); % plot the direction field set ( h , "maxheadsize" , 0.1 ); % alter head size                                    

Пример кода дляМаксима

/* поле для y'=xy (кликните по точке, чтобы получить интегральную кривую). Plotdf требует Xmaxima */plotdf(x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]);

Пример кода дляМатематика

(* поле для y'=xy *) VectorPlot [{ 1 , x * y -5 x },{ x , -2 , 2 },{ y , -2 , 2 }]

Пример кода дляSageMath[4]

вар('x,y')plot_slope_field(x*y, (x,-2,2), (y,-2,2))

Примеры

• у' = х/у
• 
  Наклонное поле
• 
  Интегральные кривые
• 
  Изоклины (синие), поле уклонов (черные) и некоторые кривые решения (красные)

Смотрите также

• Примеры дифференциальных уравнений
• Вектор поля
• Преобразование Лапласа, применяемое к дифференциальным уравнениям
• Список тем по динамическим системам и дифференциальным уравнениям
• Качественная теория дифференциальных уравнений

Ссылки

1. Бойс, Уильям (2001). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (7-е изд.). Wiley. стр. 3. ISBN 9780471319993.
2. Владимир А. Добрушкин (2014). Прикладные дифференциальные уравнения: Основной курс. CRC Press. стр. 13. ISBN 978-1-4987-2835-5.
3. Андрей Д. Полянин; Александр В. Манжиров (2006). Справочник по математике для инженеров и ученых. CRC Press. С. 453. ISBN 978-1-58488-502-3.
4. «Построение полей — Справочное руководство Sage 9.4: 2D-графика».

• Бланшар, Пол; Девани, Роберт Л .; и Холл, Глен Р. (2002). Дифференциальные уравнения (2-е изд.). Брукс/Коул: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Поле наклона". MathWorld .
• Построитель наклонного поля (Java)
• Построитель наклонного поля (JavaScript)