Медленный коллектор

В математике медленное многообразие точки равновесия динамической системы встречается как наиболее распространенный пример центрального многообразия . Одним из основных методов упрощения динамических систем является уменьшение размерности системы до размерности медленного многообразия — теория центрального многообразия строго обосновывает моделирование. ^{[1] [2]} Например, некоторые глобальные и региональные модели атмосферы или океанов разрешают так называемую квазигеострофическую динамику потока на медленном многообразии динамики атмосферы/океана, ^[3] и, таким образом, имеют решающее значение для прогнозирования с помощью климатической модели .

В некоторых случаях медленное многообразие определяется как инвариантное многообразие, на котором динамика медленнее по сравнению с динамикой вне многообразия. Медленное многообразие в конкретной задаче будет подмногообразием либо устойчивого, либо неустойчивого, либо центрального многообразия, исключительно, которое имеет ту же размерность и касается собственного пространства с соответствующим собственным значением (или парой собственных значений), которое имеет наименьшую действительную часть по величине. Это обобщает определение, описанное в первом абзаце. Более того, можно определить медленное многообразие как касательное к более чем одному собственному пространству, выбрав точку отсечения в упорядочении действительных частей собственных значений по величине от наименьшего к наибольшему. На практике следует внимательно следить за тем, какое определение предлагается в литературе.

Определение

Рассмотрим динамическую систему

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {f}}({\vec {x}})}$

для эволюционирующего вектора состояния и с точкой равновесия . Тогда линеаризация системы в точке равновесия имеет вид ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}^{*}}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=A{\vec {x}}\quad {\text{where }}A={\frac {d{\vec {f}}}{d{\vec {x}}}}({\vec {x}}^{*}).}$

Матрица определяет четыре инвариантных подпространства, характеризуемых собственными значениями матрицы: как описано в записи для центрального многообразия, три из подпространств являются устойчивым, неустойчивым и центральным подпространствами, соответствующими диапазону собственных векторов с собственными значениями , имеющими действительную часть отрицательную, положительную и нулевую соответственно; четвертое подпространство является медленным подпространством, заданным диапазоном собственных векторов и обобщенных собственных векторов , соответствующих собственному значению в точности (в более общем смысле ^[4], соответствующих всем собственным значениям с , отделенным зазором от всех других собственных значений, тех, у которых ). Медленное подпространство является подпространством центрального подпространства или идентичным ему, или, возможно, пустым. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle |\lambda |\leq \alpha }$ ${\displaystyle |\lambda |\geq \beta >r\alpha }$

Соответственно, нелинейная система имеет инвариантные многообразия , составленные из траекторий нелинейной системы, соответствующих каждому из этих инвариантных подпространств. Существует инвариантное многообразие, касательное к медленному подпространству и с той же размерностью; это многообразие является медленным многообразием .

Стохастические медленные многообразия также существуют для шумных динамических систем ( стохастическое дифференциальное уравнение ), как и стохастический центр, устойчивые и неустойчивые многообразия. ^[5] Такие стохастические медленные многообразия также полезны при моделировании возникающей стохастической динамики, но есть много интересных вопросов для решения, таких как история и будущие зависимые интегралы шума. ^{[6] [7]}

Примеры

Простой случай с двумя переменными

Связанная система с двумя переменными и ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-xy\quad {\text{ and }}\quad {\frac {dy}{dt}}=-y+x^{2}-2y^{2}}$

имеет точное медленное многообразие, на котором эволюция . Помимо экспоненциально затухающих переходных процессов, это медленное многообразие и его эволюция захватывают все решения, которые находятся в окрестности начала координат. ^[8] Окрестность притяжения, грубо говоря, по крайней мере полупространство . ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle dx/dt=-x^{3}}$ ${\displaystyle y>-1/2}$

Медленная динамика среди быстрых волн

Эдвард Нортон Лоренц ввел следующую динамическую систему из пяти уравнений с пятью переменными для исследования понятия медленного многообразия квазигеострофического потока ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dU}{dt}}&=-VW+bVZ,\\[6pt]{\frac {dV}{dt}}&=UW-bUZ,\\[6pt]{\frac {dW}{dt}}&=-UV,\\[6pt]{\frac {dX}{dt}}&=-Z,\\[6pt]{\frac {dZ}{dt}}&=X+bUV.\end{aligned}}}$

Линеаризованное относительно начала координат собственное значение ноль имеет кратность три, и существует комплексно сопряженная пара собственных значений, . Следовательно, существует трехмерное медленное многообразие (окруженное «быстрыми» волнами в переменных и ). Позже Лоренц утверждал, что медленного многообразия не существует! ^[10] Но аргументы в нормальной форме ^[11] предполагают, что существует динамическая система, которая экспоненциально близка к системе Лоренца, для которой существует хорошее медленное многообразие. ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

Исключить бесконечность переменных

При моделировании мы стремимся к чрезвычайному упрощению. Этот пример использует медленное многообразие для упрощения «бесконечномерной» динамики частного дифференциального уравнения до модели одного обыкновенного дифференциального уравнения . Рассмотрим поле, подвергающееся нелинейной диффузии ${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=u{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\quad {\text{on the domain }}-1<x<1}$

с граничными условиями Робина

${\displaystyle 2bu\pm (1-b){\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad {\text{on }}x=\pm 1.}$

Параметризация граничных условий позволяет нам охватить случай изолирующего граничного условия Неймана , случай граничного условия Дирихле и все случаи между ними. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle b=1}$

Теперь для замечательного трюка, часто используемого при изучении динамики с помощью теории бифуркации . Поскольку параметр постоянен, присоединяем тривиально верное дифференциальное уравнение ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {\partial b}{\partial t}}=0}$

Тогда в расширенном пространстве состояний развивающегося поля и параметра, , существует бесконечность равновесий, а не только одно равновесие, с (изолирующим) и постоянным, скажем . Не вдаваясь в подробности, около каждого равновесия линеаризованная диффузия имеет два нулевых собственных значения, а для всех остальных они отрицательны (меньше ). Таким образом, двумерная динамика на медленных многообразиях возникает (см. возникновение ) из нелинейной диффузии независимо от того, насколько сложны начальные условия. ${\displaystyle (b,u(x))}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle u=}$ ${\displaystyle u=a}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle -\pi ^{2}a/4}$

Здесь можно напрямую проверить, что медленное многообразие — это именно то поле , где амплитуда эволюционирует согласно закону ${\displaystyle u(x,t)=a(t)(1-bx^{2})}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {da}{dt}}=-2a^{2}b\quad {\text{and }}{\frac {db}{dt}}=0.}$

То есть после начальных переходных процессов, которые посредством диффузии сглаживают внутренние структуры, возникающее поведение представляет собой относительно медленное затухание амплитуды ( ) со скоростью, контролируемой типом граничного условия (константа ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Обратите внимание, что эта медленная многообразная модель является глобальной в , поскольку каждое равновесие обязательно находится в медленном подпространстве каждого другого равновесия, но является локальной только в параметре . Мы пока не можем быть уверены, насколько большим может быть значение , но теория уверяет нас, что результаты верны для некоторого конечного параметра . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Возможно, простейшее нетривиальное стохастическое медленное многообразие

Стохастическое моделирование гораздо сложнее — этот пример иллюстрирует только одно такое усложнение. Рассмотрим для малого параметра двухпеременную динамику этой линейной системы, нагруженной шумом от случайного блуждания : ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle W(t)}$

${\displaystyle dx=\varepsilon y\,dt\quad {\text{and}}\quad dy=-y\,dt+dW\,.}$

Можно просто заметить, что процесс Орнштейна-Уленбека формально является интегралом истории ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)}$

и затем утверждают, что это просто интеграл этого исторического интеграла. Однако это решение затем ненадлежащим образом содержит быстрые временные интегралы из-за в подынтегральном выражении в предположительно долговременной модели. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \exp(s-t)}$

В качестве альтернативы стохастическое преобразование координат извлекает звуковую модель для долгосрочной динамики. Измените переменные на где ${\displaystyle (X(t),Y(t))}$

${\displaystyle y=Y+\int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)\quad {\text{and}}\quad x=X-\varepsilon Y-\varepsilon \int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)}$

затем новые переменные развиваются в соответствии с простым

${\displaystyle dX=\varepsilon \,dW\quad {\text{and}}\quad dY=-Y\,dt.}$

В этих новых координатах мы легко выводим экспоненциально быстро, оставляя случайное блуждание в качестве долгосрочной модели стохастической динамики на стохастическом медленном многообразии, полученном путем установки . ${\displaystyle Y(t)\to 0}$ ${\displaystyle X(t)=\epsilon W(t)}$ ${\displaystyle Y=0}$

Веб-сервис создает такие медленные многообразия в конечных измерениях, как детерминированные, так и стохастические. ^[12]

Смотрите также

• Квази-геострофические уравнения

Ссылки

1. Дж. Карр, Приложения теории центрального многообразия , Applied Math. Sci. 35 , 1981, Springer-Verlag
2. Ю.А. Кузнецов, Элементы прикладной теории бифуркации , Прикладные математические науки 112 , 1995, Springer-Verlag
3. Р. Камасса, О геометрии атмосферного медленного многообразия, Physica D , 84 :357–397, 1995.
4. Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана–Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. doi :10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
5. Людвиг Арнольд, Случайные динамические системы , Springer Monographs in Mathematics, 2003.
6. А. Дж. Робертс, Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые моды в стохастических динамических системах, Physica A 387 :12–38, 2008.
7. Людвиг Арнольд и Питер Имкеллер, Нормальные формы для стохастических дифференциальных уравнений, Probab. Theory Relat. Fields , 110 :559–588, 1998.
8. AJ Roberts, Простые примеры вывода амплитудных уравнений для систем уравнений, обладающих бифуркациями, J. Austral. Math. Soc. B , 27 , 48–65, 1985.
9. EN Lorenz, О существовании медленного многообразия, Журнал атмосферных наук 43 :1547–1557, 1986.
10. Э. Лоренц и Кришнамурти, О несуществовании медленного многообразия, J. Atmos. Sci. 44 :2940–2950, ​​1987.
11. Джеймс Мердок, Нормальные формы и развертки для локальных динамических систем, Springer Monographs in Mathematics, 2003, Springer
12. А. Дж. Робертс, Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений , http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.html, 2009.