Большое множество (комбинаторика)

Множество целых чисел, сумма обратных величин которых расходится

В комбинаторной математике — большой набор положительных целых чисел.

${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$

такое, что бесконечная сумма обратных величин

${\displaystyle {\frac {1}{s_{0}}}+{\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{2}}}+{\frac {1}{s_{3}}}+\cdots }$

расходится . Малое множество — это любое подмножество положительных целых чисел, которое не является большим; то есть такое, сумма обратных величин которого сходится.

Большие множества появляются в теореме Мюнца–Саса и в гипотезе Эрдёша об арифметических прогрессиях .

Примеры

• Каждое конечное подмножество положительных целых чисел мало.
• Множество всех положительных целых чисел является большим множеством; это утверждение эквивалентно расхождению гармонического ряда . В более общем смысле, любая арифметическая прогрессия (т. е. множество всех целых чисел вида an  +  b , где a  ≥ 1, b  ≥ 1 и n  = 0, 1, 2, 3, ...) является большим множеством. ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,\dots \}}$
• Множество квадратных чисел невелико (см. Базельскую задачу ). Также невелико и множество кубических чисел , множество четвертых степеней и т. д. В более общем смысле, множество положительных целых значений любого многочлена степени 2 или выше образует малое множество.
• Множество {1, 2, 4, 8, ...} степеней числа 2 является малым множеством, как и любая геометрическая прогрессия (т. е. множество чисел вида ab ^n, где a  ≥ 1, b  ≥ 2 и n  = 0, 1, 2, 3, ...).
• Множество простых чисел велико . Множество простых чисел-близнецов мало (см. постоянную Бруна ).
• Множество простых степеней , которые не являются простыми (т. е. все числа вида p ⁿ с n  ≥ 2 и p простым), мало, хотя простые числа велики. Это свойство часто используется в аналитической теории чисел . В более общем смысле, множество совершенных степеней мало; даже множество мощных чисел мало.
• Множество чисел, разложения которых в данной системе счисления исключают данную цифру, мало. Например, множество

${\displaystyle \{1,2,\dots ,5,6,8,9,\dots ,15,16,18,19,\dots ,65,66,68,69,80,81,\dots \}}$

целых чисел, десятичное разложение которых не включает цифру 7, мало. Такие ряды называются рядами Кемпнера .

• Любое множество, верхняя асимптотическая плотность которого не равна нулю, является большим.
• Множество всех простых чисел в арифметической прогрессии an+b , где a и b взаимно просты, велико (см. теорему Дирихле об арифметических прогрессиях ).

Характеристики

• Каждое подмножество малого множества мало.
• Объединение конечного числа малых множеств мало, потому что сумма двух сходящихся рядов является сходящимся рядом. (В терминологии теории множеств малые множества образуют идеал .)
• Комплектация каждого малого набора велика.
• Теорема Мюнца–Саса утверждает, что множество является большим тогда и только тогда, когда множество полиномов, охватываемых множеством , плотно в топологии равномерной нормы непрерывных функций на замкнутом интервале положительных действительных чисел. Это обобщение теоремы Стоуна–Вейерштрасса . ${\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$ $${\displaystyle \{1,x^{s_{1}},x^{s_{2}},x^{s_{3}},\dots \}}$$

Открытые проблемы, связанные с большими множествами

Пол Эрдёш предположил , что все большие множества содержат произвольно длинные арифметические прогрессии . Он предложил приз в размере 3000 долларов за доказательство, больше, чем за любую из своих других гипотез , и пошутил, что это предложение приза нарушает закон о минимальной заработной плате. ^[1] Вопрос все еще открыт.

Неизвестно, как определить, является ли данное множество большим или малым в целом. В результате, существует много множеств, о которых неизвестно, являются ли они большими или малыми.

Смотрите также

• Список сумм обратных величин

Примечания

1. Карл Померанс , Пол Эрдёш, выдающийся теоретик чисел. (Часть статьи «Математика Пола Эрдёша »), в Notices of the AMS , январь 1998 г.

Ссылки

• AD Wadhwa (1975). Интересный подряд гармонического ряда. American Mathematical Monthly 82 (9) 931–933. JSTOR  2318503