Правило утилитаризма

Правило принятия решения о максимизации полезности

В социальном выборе и исследовании операций утилитаристское правило (также называемое правилом максимальной суммы ) — это правило, гласящее, что среди всех возможных альтернатив общество должно выбрать ту альтернативу, которая максимизирует сумму полезностей всех индивидов в обществе. ^{[1] : подпункт 2.5} Это формальное математическое представление утилитаристской философии , которое часто обосновывается ссылкой на утилитаристскую теорему Харшаньи или теорему фон Неймана–Моргенштерна .

Определение

Пусть будет набором возможных «состояний мира» или «альтернатив». Общество желает выбрать одно состояние из . Например, в выборах с одним победителем , может представлять набор кандидатов; в условиях распределения ресурсов , может представлять все возможные распределения ресурса. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Пусть будет конечным множеством, представляющим совокупность индивидов. Для каждого пусть будет функцией полезности , описывающей количество счастья, которое индивид i получает из каждого возможного состояния. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$

Правило социального выбора — это механизм, который использует данные для выбора некоторых элементов, которые являются «лучшими» для общества (вопрос о том, что означает «лучший», является основной проблемой теории социального выбора ). ${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

Правило утилитаризма выбирает элемент , который максимизирует утилитарную сумму. ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle U(x):=\sum _{i\in I}u_{i}(x).}$

Ощутимые функции полезности

Правило утилитаризма легко интерпретировать и применять, когда функции u _i представляют собой некоторую ощутимую, измеримую форму полезности. Например: ^{[1] : 44}

• Рассмотрим задачу распределения древесины среди строителей. Функции полезности могут представлять их производительную мощность — количество зданий, которые агент может построить, используя единицы древесины. Затем утилитарное правило распределяет древесину таким образом, чтобы максимизировать количество зданий. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$
• Рассмотрим задачу распределения редкого лекарства среди пациентов. Функции полезности могут представлять их шанс на выздоровление – это вероятность того, что агент выздоровеет, получив дозы лекарства. Правило утилитаризма затем распределяет лекарство таким образом, чтобы максимизировать ожидаемое число выживших. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$

Абстрактные функции полезности

Когда функции u _i представляют некоторую абстрактную форму «счастья», утилитаристское правило становится сложнее интерпретировать. Чтобы приведенная выше формула имела смысл, необходимо предположить, что функции полезности являются как кардинальными , так и межличностно сопоставимыми на кардинальном уровне. ${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$

Представление о том, что у людей есть кардинальные функции полезности, не так уж и проблематично. Кардинальная полезность неявно предполагалась в теории принятия решений с тех пор, как Даниил Бернулли проанализировал Санкт-Петербургский парадокс . Строгие математические теории кардинальной полезности (применительно к принятию рискованных решений) были разработаны Фрэнком П. Рэмси , Бруно де Финетти , фон Нейманом и Моргенштерном и Леонардом Сэвиджем . Однако в этих теориях функция полезности человека хорошо определена только с точностью до «аффинного масштабирования». Таким образом, если функция полезности является допустимым описанием его предпочтений, и если — две константы с , то «масштабированная» функция полезности является в равной степени допустимым описанием его предпочтений. Если мы определим новый пакет функций полезности, используя, возможно, различные и для всех , а затем рассмотрим утилитарную сумму ${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r_{i},s_{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s_{i}>0}$ ${\displaystyle v_{i}(x):=s_{i}\,u_{i}(x)+r_{i}}$ ${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s_{i}>0}$ ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle V(x):=\sum _{i\in I}v_{i}(x),}$

то в общем случае максимизатор не будет таким же, как максимизатор . Таким образом, в некотором смысле классический утилитаристский общественный выбор не является четко определенным в стандартной модели кардинальной полезности, используемой в теории принятия решений, если только не указан механизм для «калибровки» функций полезности различных индивидов. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

Относительный утилитаризм

Относительный утилитаризм предлагает естественный механизм калибровки. Для каждого предположим, что значения ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle m_{i}\ :=\ \min _{x\in X}\,u_{i}(x)\quad {\text{and}}\quad M_{i}\ :=\ \max _{x\in X}\,u_{i}(x)}$

хорошо определены. (Например, это всегда будет верно, если является конечным, или если является компактным пространством и является непрерывной функцией.) Затем определите ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle w_{i}(x)\ :=\ {\frac {u_{i}(x)-m_{i}}{M_{i}-m_{i}}}}$

для всех . Таким образом, является «перемасштабированной» функцией полезности, которая имеет минимальное значение 0 и максимальное значение 1. Относительное утилитаристское правило общественного выбора выбирает элемент, в котором утилитаристская сумма максимизируется ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle w_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle W(x):=\sum _{i\in I}w_{i}(x).}$

Как абстрактная функция общественного выбора относительный утилитаризм анализировался Као (1982), ^[2] Диллоном (1998), ^[3] Карни (1998), ^[4] Диллоном и Мертенсом (1999), ^[5] Сигалом (2000), ^[6] Собелем (2001) ^[7] и Пивато (2008). ^[8] (Као (1982) называет его «модифицированным решением Томсона».)

Правило утилитаризма и эффективность по Парето

Каждая эффективная по Парето функция общественного выбора обязательно является утилитарной функцией выбора, результат, известный как утилитарная теорема Харсаньи. В частности, любая эффективная по Парето функция общественного выбора должна быть линейной комбинацией функций полезности каждой индивидуальной функции полезности (со строго положительными весами).

Правило утилитаризма в конкретных контекстах

В контексте голосования утилитаристское правило приводит к нескольким методам голосования:

• Диапазонное голосование (также называемое голосованием по баллам или утилитарным голосованием) реализует относительно-утилитарное правило, позволяя избирателям явно выражать свою полезность по каждой альтернативе на общей нормализованной шкале.
• Неявное утилитаристское голосование пытается приблизиться к утилитаристскому правилу, позволяя избирателям выражать только порядковые рейтинги кандидатов.

В контексте распределения ресурсов утилитаристское правило приводит к:

• Особое правило разделения единого однородного ресурса ;
• Несколько правил и алгоритмов утилитарного разрезания торта – деления разнородного ресурса;
• Особое правило справедливого распределения предметов . ^[9]
• Проблема максимизации благосостояния .

Смотрите также

• Неявное утилитарное голосование
• Эгалитарное правило
• Правило пропорциональной справедливости
• Задача максимизации полезности

Ссылки

1. Moulin, Hervé (2003). Справедливое разделение и коллективное благосостояние . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-13423-1.
2. Цао, Сирэнь (1982-12-01). «Функции предпочтения и решения по торгам». 1982 21-я конференция IEEE по принятию решений и управлению . IEEE. стр. 164–171. doi :10.1109/cdc.1982.268420. S2CID  30395654.
3. Диллон, Амрита (1998), «Расширенные правила Парето и относительный утилитаризм», Социальный выбор и благосостояние , 15 (4): 521–542, doi :10.1007/s003550050121, S2CID  54899024
4. Карни, Эди (1998), «Беспристрастность: определение и представление», Econometrica , 66 (6): 1405–1415, doi :10.2307/2999622, JSTOR  2999622
5. Диллон, Амрита; Мертенс, Жан-Франсуа (1999), «Относительный утилитаризм», Econometrica , 67 (3): 471–498, doi :10.1111/1468-0262.00033
6. Сигал, Узи (2000), «Давайте согласимся, что все диктатуры одинаково плохи», Журнал политической экономии , 108 (3): 569–589, doi :10.1086/262129, S2CID  154610036
7. Собель, Джоэл (2001), «Манипуляция предпочтениями и относительный утилитаризм», Игры и экономическое поведение , 37 : 196–215, CiteSeerX 10.1.1.395.509 , doi :10.1006/game.2000.0839 
8. Пивато, Маркус (2008), «Двойная оптимальность решения относительного утилитарного торга», Социальный выбор и благосостояние , 32 (1): 79–92, CiteSeerX 10.1.1.537.5572 , doi :10.1007/s00355-008-0313-0, S2CID  15475740 
9. Азиз, Харис; Хуан, Синь; Маттей, Николас; Сегал-Халеви, Эрель (13.10.2022). «Вычисление благосостояния — максимизация справедливого распределения неделимых благ». Европейский журнал операционных исследований . 307 (2): 773–784. arXiv : 2012.03979 . doi : 10.1016/j.ejor.2022.10.013. ISSN  0377-2217. S2CID  235266307.