Разрешимая алгебра Ли

В математике алгебра Ли разрешима , если ее производный ряд оканчивается нулевой подалгеброй. Производная алгебра Ли алгебры Ли является подалгеброй , обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

который состоит из всех линейных комбинаций скобок Ли пар элементов . Производный ряд представляет собой последовательность подалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

Если полученный ряд в конечном итоге приходит к нулевой подалгебре, то алгебра Ли называется разрешимой. ^[1] Производный ряд для алгебр Ли аналогичен производному ряду для коммутаторов в теории групп , а разрешимые алгебры Ли являются аналогами разрешимых групп .

Любая нильпотентная алгебра Ли заведомо разрешима , но обратное неверно. Разрешимые алгебры Ли и полупростые алгебры Ли образуют два больших и обычно дополняющих друг друга класса, как показывает разложение Леви . Разрешимые алгебры Ли — это именно те, которые можно получить из полупрямых произведений , начиная с 0 и добавляя по одному измерению за раз. ^[2]

Максимальная разрешимая подалгебра называется борелевской подалгеброй . Наибольший разрешимый идеал алгебры Ли называется радикалом .

Характеристики

Пусть – конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0 . Следующие ниже эквивалентны. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• (i) разрешима. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (ii) , присоединенное представление , разрешимо. ${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (iii) Существует конечная последовательность идеалов : ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$

• (iv) нильпотентен. ^[3] ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• (v) Для -мерности существует конечная последовательность подалгебр : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$

с каждым идеалом в . ^[4] Последовательность такого типа называется элементарной последовательностью . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$

• (vi) Существует конечная последовательность подалгебр , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$

такое, что является идеалом и является абелевым. ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$

• (vii) Форма Киллинга удовлетворяет всем X in и Y in . ^[6] Это критерий Картана разрешимости . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B(X,Y)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

Характеристики

Теорема Ли утверждает, что если является конечномерным векторным пространством над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики и является разрешимой алгеброй Ли, и если является представлением над , то существует одновременный собственный вектор эндоморфизмов для всех элементов . ^[7] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \pi (X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

• Любая подалгебра Ли и фактор разрешимой алгебры Ли разрешимы. ^[8]
• Учитывая алгебру Ли и идеал в ней, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$разрешима тогда и только тогда, когда оба и разрешимы. ^{[8] [2]} ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

Аналогичное утверждение верно для нильпотентных алгебр Ли, если содержится в центре. Таким образом, расширение разрешимой алгебры разрешимой алгеброй разрешимо, а центральное расширение нильпотентной алгебры нильпотентной алгеброй нильпотентно. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• Разрешимая ненулевая алгебра Ли имеет ненулевой абелев идеал — последний ненулевой член производного ряда. ^[2]
• Если разрешимы идеалы, то разрешимы и . ^[1] Следовательно, если конечномерно, то существует единственный разрешимый идеал, содержащий все разрешимые идеалы в . Этот идеал является радикалом . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Разрешимая алгебра Ли имеет единственный наибольший нильпотентный идеал , называемый нильрадикалом , набор всех таких нильпотентных идеалов. Если D является любым производным , то . ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$

Вполне разрешимые алгебры Ли

Алгебра Ли называется вполне разрешимой или расщепляемой разрешимой, если она имеет элементарную последовательность {(V) Как указано выше} идеалов в от до . Конечномерная нильпотентная алгебра Ли вполне разрешима, а вполне разрешимая алгебра Ли разрешима. Над алгебраически замкнутым полем разрешимая алгебра Ли вполне разрешима, но -мерная вещественная алгебра Ли группы евклидовых изометрий плоскости разрешима, но не вполне разрешима. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 3}$

Разрешимая алгебра Ли расщепляема тогда и только тогда, когда собственные значения находятся в для всех в . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Примеры

Абелевы алгебры Ли

Любая абелева алгебра Ли разрешима по определению, так как ее коммутатор . Сюда входит алгебра Ли диагональных матриц в , которые имеют вид ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

для . Структура алгебры Ли в векторном пространстве , заданная тривиальной скобкой для любых двух матриц, дает еще один пример. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [m,n]=0}$ ${\displaystyle m,n\in {\text{End}}(V)}$

Нильпотентные алгебры Ли

Другой класс примеров происходит из нильпотентных алгебр Ли, поскольку присоединенное представление разрешимо. Некоторые примеры включают верхнедиагональные матрицы, такие как класс матриц вида

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}}$

называется алгеброй Ли строго верхнетреугольных матриц . Кроме того, алгебра Ли верхних диагональных матриц образует разрешимую алгебру Ли. Сюда входят матрицы вида ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

и обозначается . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$

Разрешимая, но не раздельно разрешимая

Пусть – набор матриц вида ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

Тогда разрешимо, но не расщепимо. ^[2] Она изоморфна алгебре Ли группы сдвигов и вращений на плоскости. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Непример

Полупростая алгебра Ли никогда не разрешима, поскольку ее радикал , который является наибольшим разрешимым идеалом в , тривиален. ^{[1] стр. 11} ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ ${\displaystyle {\text{Rad}}({\mathfrak {l}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$

Разрешимые группы Ли

Поскольку термин «разрешимая» также используется для обозначения разрешимых групп в теории групп , существует несколько возможных определений разрешимой группы Ли . Для группы Ли существует ${\displaystyle G}$

• прекращение обычного производного ряда группы (как абстрактной группы); ${\displaystyle G}$
• прекращение замыканий производного ряда;
• имеющая разрешимую алгебру Ли

Смотрите также

• Критерий Картана
• Убийственная форма
• Теорема Ли-Колчина
• Солвмногообразие
• Картирование Диксмье

Примечания

1. Хамфрис 1972
2. Кнапп 2002
3. Кнапп, 2002 г., Предложение 1.39.
4. Кнапп, 2002 г., Предложение 1.23.
5. Фултон и Харрис 1991
6. Кнапп, 2002 г., Предложение 1.46.
7. Кнапп, 2002. Теорема 1.25.
8. Серр, Гл. I, § 6, Определение 2. harvnb error: no target: CITEREFSerre (help)
9. Кнапп, 2002 г., Предложение 1.40.

Внешние ссылки

• Статья EoM Алгебра Ли, разрешимая
• Статья EoM Группа лжи, решаемая

Рекомендации

• Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. МР  1153249.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90053-5.
• Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения . Прогресс в математике. Том. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Биркхойзер. ISBN 0-8176-4259-5..
• Жан-Пьер Серр: Комплексные полупростые алгебры Ли, Springer, Берлин, 2001. ISBN 3-5406-7827-1