stringtranslate.com

Математика складывания бумаги

Складывание карты для сетки из квадратов 2×2: существует восемь различных способов сложить такую ​​карту по ее складкам.

Дисциплина оригами или складывания бумаги получила значительное количество математических исследований. Области интересов включают в себя плоскую складчатость данной бумажной модели (можно ли сделать модель плоской, не повредив ее), а также использование бумажных складок для решения вплоть до кубических математических уравнений . [1]

Вычислительное оригами — это новая отрасль компьютерной науки, которая занимается изучением алгоритмов, решающих задачи по складыванию бумаги. Область вычислительного оригами также значительно выросла с момента своего зарождения в 1990-х годах с алгоритмом TreeMaker Роберта Лэнга, помогающим в точном складывании оснований. [2] Результаты вычислительного оригами касаются либо дизайна оригами, либо складываемости оригами. [3] В задачах по дизайну оригами цель состоит в том, чтобы спроектировать объект, который можно сложить из бумаги, учитывая определенную целевую конфигурацию. В задачах по складываемости оригами цель состоит в том, чтобы сложить что-либо, используя складки начальной конфигурации. Результаты в задачах по дизайну оригами были более доступными, чем в задачах по складываемости оригами. [3]

История

В 1893 году индийский государственный служащий Т. Сундара Роу опубликовал «Геометрические упражнения по складыванию бумаги» , в которых использовал складывание бумаги для демонстрации доказательств геометрических построений. Эта работа была вдохновлена ​​использованием оригами в системе детских садов . Роу продемонстрировал приблизительную трисекцию углов и подразумевал, что построение кубического корня невозможно. [4]

В 1922 году Гарри Гудини опубликовал книгу «Бумажная магия Гудини», в которой описывались методы оригами, неформально основанные на математических подходах, которые позднее были формализованы. [5]

Белохская складка

В 1936 году Маргарита П. Белох показала, что использование « складки Белоха », позднее использованной в шестой аксиоме Хузиты–Хатори , позволило решить общее кубическое уравнение с помощью оригами. [1]

В 1949 году в книге Р. К. Йейтса «Геометрические методы» были описаны три допустимые конструкции, соответствующие первой, второй и пятой аксиомам Хузиты–Хатори. [6] [7]

Система обучения с помощью диаграмм Ёсидзавы-Рэндлетта была введена в 1961 году. [8]

Рисунок сгиба для сгиба Миура. Параллелограммы этого примера имеют углы 84° и 96°.

В 1980 году было сообщено о конструкции, которая позволила трисекции угла. Трисекции невозможны по правилам Евклида. [9]

Также в 1980 году Корё Миура и Масамори Сакамаки продемонстрировали новую технику складывания карты, при которой сгибы сделаны по заданному шаблону параллелограмма, что позволяет расширять карту без каких-либо прямых угловых складок обычным способом. Их шаблон позволяет линиям сгиба быть взаимозависимыми, и, следовательно, карту можно распаковать одним движением, потянув за ее противоположные концы, и аналогичным образом сложить, сдвинув два конца вместе. Не требуется чрезмерно сложной серии движений, и сложенный Миура-ори может быть упакован в очень компактную форму. [10] В 1985 году Миура сообщил о методе упаковки и развертывания больших мембран в открытом космосе, [11] и уже в 2012 году эта техника была применена к солнечным панелям на космических кораблях . [12] [13]

Схема, показывающая первый и последний шаг того, как оригами может удвоить куб.

В 1986 году Мессер сообщил о конструкции, с помощью которой можно было удвоить куб , что невозможно при использовании евклидовых конструкций. [14]

Первое полное изложение семи аксиом оригами французского фолдера и математика Жака Жюстена было написано в 1986 году, но оставалось незамеченным до тех пор, пока первые шесть не были заново открыты Хумиаки Хузитой в 1989 году. [15] Первая Международная встреча по науке и технологии оригами (теперь известная как Международная конференция по оригами в науке, математике и образовании) состоялась в 1989 году в Ферраре, Италия. На этой встрече Шимеми дал конструкцию для правильного семиугольника . [16]

Около 1990 года Роберт Дж. Лэнг и другие впервые попытались написать компьютерный код, который решал бы задачи оригами. [17]

Подсчет гор и долин

В 1996 году Маршалл Берн и Барри Хейс показали, что задача задания рисунка сгиба гор и долин для создания плоской структуры оригами, начиная с плоского листа бумаги, является NP-полной . [18]

В 1999 году теорема Хаги предоставила конструкции, используемые для деления стороны квадрата на рациональные дроби. [19] [20]

В конце 2001 и начале 2002 года Бритни Галливан доказала минимальную длину бумаги, необходимую для того, чтобы сложить ее пополам определенное количество раз, и сложила кусок туалетной бумаги длиной 4000 футов (1200 м) двенадцать раз. [21] [22]

В 2002 году Сара-Мари Белкастро и Том Халл привнесли в теоретическое оригами язык аффинных преобразований , расширив его с 2 до 3 только в случае построения с одной вершиной. [23]

В 2002 году Альперин решил задачу Альхазена о сферической оптике. [24] В той же статье Альперин показал конструкцию для правильного семиугольника. [24] В 2004 году была алгоритмически доказана схема сгиба для правильного семиугольника. [25] Бисекции и трисекции были использованы Альпериным в 2005 году для той же конструкции. [26]

В 2003 году Джереми Гиббонс, исследователь из Оксфордского университета, описал стиль функционального программирования в терминах оригами. Он придумал эту парадигму как «программирование оригами». Он характеризует свертку и развертывание как естественные шаблоны вычислений над рекурсивными типами данных, которые могут быть оформлены в контексте оригами. [27]

В 2005 году принципы и концепции математического и вычислительного оригами были применены для решения игры Countdown , популярной на британском телевидении, в которой участники использовали список исходных чисел для построения арифметического выражения, максимально приближенного к целевому числу. [28]

В 2009 году Альперин и Лэнг расширили теоретическое оригами до рациональных уравнений произвольной степени, используя концепцию многообразных складок. [29] [30] Эта работа была формальным расширением неопубликованной демонстрации Лэнга 2004 года квинтисекции угла. [30] [31]

Чистое оригами

Плоское складывание

Двухцветность
Углы вокруг вершины

Построение моделей оригами иногда показывают в виде схем сгибов. Главный вопрос о таких схемах сгибов заключается в том, можно ли сложить данную схему сгибов в плоскую модель, и если да, то как это сделать; это NP-полная задача . [32] Связанные задачи, когда сгибы ортогональны, называются задачами на складывание карт . Существует три математических правила для создания схем сгибов оригами, которые можно сложить на плоскости : [33]

  1. Теорема Маекавы : в любой вершине число долин и горных складок всегда отличается на два.
    Из этого следует, что каждая вершина имеет четное число складок, а значит, и области между складками можно раскрасить двумя цветами.
  2. Теорема Кавасаки или теорема Кавасаки-Жастина: в любой вершине сумма всех нечетных углов (см. изображение) составляет 180 градусов, как и четных.
  3. Лист никогда не сможет проникнуть в складку.

Бумага демонстрирует нулевую гауссову кривизну во всех точках своей поверхности и складывается естественным образом только по линиям нулевой кривизны. Изогнутые поверхности, которые невозможно сделать плоскими, можно получить, используя несложенную складку на бумаге, что легко сделать с помощью мокрой бумаги или ногтя.

Маршалл Берн и Барри Хейс доказали, что задание шаблона сгиба гор и долин для создания плоской модели является NP-полной задачей . [18] Дополнительные ссылки и технические результаты обсуждаются в Части II Геометрических алгоритмов складывания . [34]

Аксиомы Хузиты–Джустина

Некоторые классические задачи построения геометрии — а именно трисекция произвольного угла или удвоение куба — доказано неразрешимы с помощью циркуля и линейки , но могут быть решены с помощью всего лишь нескольких сгибов бумаги. [35] Бумажные сложенные полоски могут быть построены для решения уравнений до степени 4. Аксиомы Хузиты–Джастина или аксиомы Хузиты–Хатори являются важным вкладом в эту область исследований. Они описывают, что можно построить с помощью последовательности складок с максимум двумя точками или линиями одновременно. Полные методы решения всех уравнений до степени 4 путем применения методов, удовлетворяющих этим аксиомам, подробно обсуждаются в Geometric Origami . [36]

Конструкции

В результате изучения оригами посредством применения геометрических принципов, такие методы, как теорема Хаги, позволили складывать сторону квадрата точно в трети, пятые, седьмые и девятые части. Другие теоремы и методы позволили складывать другие фигуры из квадрата, такие как равносторонние треугольники , пятиугольники , шестиугольники и специальные прямоугольники, такие как золотой прямоугольник и серебряный прямоугольник . Были разработаны методы складывания большинства правильных многоугольников вплоть до правильного 19-угольника включительно. [36] Правильный n -угольник можно построить с помощью складывания бумаги тогда и только тогда, когда n является произведением различных простых чисел Пьерпонта , степеней двойки и степеней тройки .

Теоремы Хаги

BQ всегда рационален, если рационален AP.

Сторону квадрата можно разделить на произвольную рациональную дробь различными способами. Теоремы Хаги говорят, что для таких делений можно использовать определенный набор конструкций. [19] [20] Удивительно мало складок необходимо для получения больших нечетных дробей. Например, 1 ⁄ 5 можно получить тремя складками: сначала разделите сторону пополам, затем дважды используйте теорему Хаги, чтобы получить сначала 2 ⁄ 3 , а затем 1 ⁄ 5 .

Прилагаемая диаграмма демонстрирует первую теорему Хаги:

Функция, изменяющая длину AP на QC, является самообратной . Пусть x будет AP , тогда ряд других длин также будут рациональными функциями x . Например:

Обобщение теорем Хаги

Теоремы Хаги обобщаются следующим образом:

Следовательно, BQ:CQ=k:1 подразумевает AP:BP=k:2 для положительного действительного числа k. [37]

Удвоение куба

Удвоение куба: PB/PA = кубический корень из 2

Классическую задачу удвоения куба можно решить с помощью оригами. Эта конструкция принадлежит Питеру Мессеру: [38] Квадрат бумаги сначала сгибается на три равные полоски, как показано на рисунке. Затем нижний край располагается так, чтобы угловая точка P находилась на верхнем крае, а сгиб на краю встречался с другим сгибом Q. Длина PB тогда будет кубическим корнем из 2, умноженных на длину AP. [14]

Край с отметкой сгиба считается отмеченной линейкой, что не допускается в конструкциях с использованием циркуля и линейки . Использование отмеченной линейки таким образом называется в геометрии построением невзиса .

Трисекция угла

Трисекция угла CAB

Трисекция угла — еще одна из классических задач, которую нельзя решить с помощью циркуля и немаркированной линейки, но можно решить с помощью оригами. [39] Эта конструкция, о которой было сообщено в 1980 году, принадлежит Хисаши Абэ. [38] [9] Угол CAB делится на три секции путем создания складок PP' и QQ' параллельно основанию с QQ' посередине между ними. Затем точка P сгибается так, чтобы она лежала на линии AC, и в то же время точка A ложится на линию QQ' в точке A'. Угол A'AB составляет одну треть исходного угла CAB. Это потому, что PAQ, A'AQ и A'AR — три конгруэнтных треугольника. Выравнивание двух точек на двух линиях — это еще одна конструкция neusis, как в решении удвоения куба. [40] [9]

Связанные проблемы

Проблема жесткого оригами , рассматривающая складки как шарниры, соединяющие две плоские жесткие поверхности, такие как листовой металл , имеет большое практическое значение. Например, складка карты Миуры — это жесткая складка, которая использовалась для развертывания больших массивов солнечных панелей для космических спутников.

Задача о складывании салфетки — это задача о том, можно ли сложить квадрат или прямоугольник бумаги так, чтобы периметр плоской фигуры был больше периметра исходного квадрата.

Размещение точки на изогнутой складке в шаблоне может потребовать решения эллиптических интегралов. Изогнутое оригами позволяет бумаге формировать развертывающиеся поверхности , которые не являются плоскими. [41] Мокрое складывание оригами — это техника, разработанная Ёсидзавой, которая позволяет изогнутым складкам создавать еще больший диапазон форм более высокого порядка сложности.

Было получено максимальное количество раз, которое может быть сложен несжимаемый материал. При каждом сгибании определенное количество бумаги теряется из-за потенциального сгибания. Функция потерь для сгибания бумаги пополам в одном направлении была задана как , где L — минимальная длина бумаги (или другого материала), t — толщина материала, а n — количество возможных сгибов. [42] Расстояния L и t должны быть выражены в одних и тех же единицах, например, в дюймах. Этот результат был получен Бритни Галливан, старшеклассницей из Калифорнии , в декабре 2001 года. В январе 2002 года она сложила кусок туалетной бумаги длиной 4000 футов (1200 м) двенадцать раз в одном направлении, развенчав давний миф о том, что бумагу нельзя сложить пополам более восьми раз. [21] [22]

Задача о сгибании и разрезании спрашивает, какие фигуры можно получить, сложив лист бумаги и сделав один прямой полный разрез. Решение, известное как теорема о сгибании и разрезании, гласит, что можно получить любую фигуру с прямыми сторонами.

Практическая проблема заключается в том, как сложить карту так, чтобы ею можно было манипулировать с минимальными усилиями или движениями. Складка Миуры является решением проблемы, и было предложено несколько других. [43]

Вычислительное оригами

Вычислительное оригами — это раздел компьютерной науки, который занимается изучением алгоритмов решения задач по складыванию бумаги. В начале 1990-х годов оригамисты приняли участие в серии конкурсов оригами под названием Bug Wars , в которых художники пытались превзойти своих коллег, усложняя своих оригами-жуков. Большинство участников конкурса принадлежали к Origami Detectives, группе известных японских художников. [44] Роберт Лэнг , научный сотрудник из Стэнфордского университета и Калифорнийского технологического института , также принял участие в конкурсе. Конкурс помог инициировать коллективный интерес к разработке универсальных моделей и инструментов для помощи в проектировании и складывании оригами. [44]

Исследовать

Задачи по складыванию бумаги классифицируются как задачи по дизайну оригами или задачи по складываемости оригами. В настоящее время существует три основные категории исследований вычислительного оригами: результаты универсальности, эффективные алгоритмы принятия решений и результаты по вычислительной неразрешимости . [45] Результат универсальности определяет границы возможности, заданной конкретной моделью складывания. Например, достаточно большой лист бумаги можно сложить в любую древовидную основу оригами, многоугольный силуэт и многогранную поверхность. [46] Когда результаты универсальности недостижимы, эффективные алгоритмы принятия решений могут быть использованы для проверки того, является ли объект складываемым за полиномиальное время. [45] Некоторые задачи по складыванию бумаги не имеют эффективных алгоритмов. Результаты по вычислительной неразрешимости показывают, что в настоящее время не существует таких алгоритмов с полиномиальным временем для решения определенных задач складывания. Например, NP-трудно оценить, складывается ли заданный рисунок сгиба в любое плоское оригами. [47]

В 2017 году Эрик Демейн из Массачусетского технологического института и Томохиро Тачи из Токийского университета опубликовали новый универсальный алгоритм, который генерирует практические шаблоны складывания бумаги для создания любой трехмерной структуры. Новый алгоритм основан на работе, которую они представили в своей статье в 1999 году, где впервые был представлен универсальный алгоритм для складывания фигур оригами, гарантирующий минимальное количество швов. Алгоритм будет включен в Origamizer, бесплатное программное обеспечение для генерации шаблонов сгибов оригами, впервые выпущенное Тачи в 2008 году. [48]

Программное обеспечение и инструменты

Анимация складывания шлема самурая, также называемого кабуто. (На ноутбуке Джулия и GLMakie сгенерировали [49] 66-секундное видео .mp4 за 10 секунд.)

Существует несколько программных инструментов проектирования, которые используются для проектирования оригами. Пользователи указывают желаемую форму или функциональность, а программный инструмент конструирует шаблон сгиба и/или 2D или 3D модель результата. Исследователи из Массачусетского технологического института , Технологического института Джорджии , Калифорнийского университета в Ирвайне , Университета Цукубы и Токийского университета разработали и опубликовали общедоступные инструменты в области вычислительного оригами. TreeMaker, ReferenceFinder, OrigamiDraw и Origamizer входят в число инструментов, которые использовались в проектировании оригами. [50]

Существуют и другие программные решения, связанные с построением моделей вычислительного оригами с использованием небумажных материалов, такие как Cadnano в ДНК-оригами . [51]

Приложения

Вычислительное оригами нашло применение в робототехнике, машиностроении, биотехнологии и медицине, промышленном дизайне. [52] Приложения для оригами также были разработаны в изучении языков программирования и парадигм программирования, в частности, в области функционального программирования. [53]

Роберт Лэнг участвовал в проекте с исследователями из EASi Engineering в Германии по разработке складных конструкций автомобильных подушек безопасности. [54] В середине 2000-х годов Лэнг работал с исследователями из Ливерморской национальной лаборатории имени Лоуренса, чтобы разработать решение для космического телескопа Джеймса Уэбба , в частности, для его больших зеркал, чтобы они поместились в ракету, используя принципы и алгоритмы вычислительного оригами. [55]

В 2014 году исследователи из Массачусетского технологического института, Гарвардского университета и Института биологической инженерии Висса опубликовали метод создания самоскладывающихся машин и приписали успех проекта достижениям в области вычислительного оригами. Сообщалось, что их робот, вдохновленный оригами, складывается за 4 минуты и уходит без вмешательства человека, что демонстрирует потенциал автономной самоконтролируемой сборки в робототехнике. [56]

Другие приложения включают ДНК-оригами и РНК-оригами , складывание производственных инструментов и хирургию с помощью крошечных роботов-оригами. [57]

Применение вычислительного оригами было представлено различными производственными компаниями и рекламными роликами. Известно, что Лэнг работал с Toyota Avalon, чтобы показать анимированную последовательность оригами, с Mitsubishi Endeavor, чтобы создать мир полностью из фигурок оригами, и с McDonald's, чтобы сформировать многочисленные фигурки оригами из оберток чизбургеров. [58]

Смотрите также

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Математика оригами» .

Примечания и ссылки

  1. ^ ab Hull, Thomas C. (2011). «Решение кубических уравнений со складками: работа Белоха и Лилла» (PDF) . American Mathematical Monthly . 118 (4): 307–315. doi :10.4169/amer.math.monthly.118.04.307. MR  2800341. S2CID  2540978.
  2. ^ "оригами - История оригами | Britannica". Энциклопедия Britannica . Получено 2022-05-08 .
  3. ^ ab "Лекция: Последние результаты в области вычислительного оригами". Origami USA: Мы — американское национальное общество, посвященное оригами, искусству складывания фигурок из бумаги . Получено 08.05.2022.
  4. ^ T. Sundara Row (1917). Beman, Wooster; Smith, David (ред.). Геометрические упражнения по складыванию бумаги . The Open Court Publishing Company .
  5. ↑ Гудини, Гарри . Бумажная магия Гудини.
  6. ^ Джордж Эдвард Мартин (1997). Геометрические построения . Springer. стр. 145. ISBN 978-0-387-98276-2.
  7. ^ Роберт Карл Йейтс (1949). Геометрические инструменты . Университет штата Луизиана.
  8. ^ Ник Робинсон (2004). Библия оригами . Chrysalis Books. стр. 18. ISBN 978-1-84340-105-6.
  9. ^ abc Халл, Том (1997). "сравнение построений с помощью линейки и циркуля и оригами". origametry.net .
  10. ^ Бэйн, Ян (1980), «Карта Миура-Ори», New Scientist. Воспроизведено в British Origami , 1981, и онлайн на веб-сайте British Origami Society.
  11. ^ Миура, К. (1985), Метод упаковки и развертывания больших мембран в космосе , Технический отчет 618, Институт космических и астронавтических наук
  12. ^ "2D Array". Японское агентство аэрокосмических исследований. Архивировано из оригинала 25 ноября 2005 г.
  13. ^ Нишияма, Ютака (2012), «Складывание Миуры: применение оригами в исследовании космоса» (PDF) , Международный журнал чистой и прикладной математики , 79 (2): 269–279
  14. ^ аб Питер Мессер (1986). «Задача 1054» (PDF) . Crux Mathematicorum . 12 (10): 284–285 – через Канадское математическое общество.
  15. ↑ Джастин, Жак, «Резолюция по смещению уравнения тройной степени и геометрических приложений», перепечатано в Трудах Первой международной конференции по науке и технологии оригами , под ред. Х. Хузиты (1989), стр. 251–261.
  16. ^ Бенедетто Шимеми, Правильный семиугольник путем складывания, Труды оригами, науки и технологии, ред. Х. Хузита., Феррара, Италия, 1990
  17. ↑ Ньютон, Лиз (1 декабря 2009 г.). «Сила оригами». Кембриджский университет. + plus magazine.
  18. ^ ab Берн, Маршалл; Хейс, Барри (1996). «Сложность плоского оригами». Труды седьмого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам (Атланта, Джорджия, 1996) . ACM, Нью-Йорк. стр. 175–183. MR  1381938.
  19. ^ ab Hatori, Koshiro. «Как разделить сторону квадратной бумаги». Японское академическое общество оригами.
  20. ^ Аб К. Хага, Оригамика, Часть 1, Nippon Hyoron Sha, 1999 (на японском языке)
  21. ^ ab Weisstein, Eric W. "Folding". MathWorld .
  22. ^ ab D'Agostino, Susan (2020). Как освободить своего внутреннего математика. Oxford University Press . стр. 22. ISBN 9780198843597.
  23. ^ Белкастро, Сара-Мари ; Халл, Томас С. (2002). «Моделирование складывания бумаги в три измерения с использованием аффинных преобразований». Линейная алгебра и ее приложения . 348 (1–3): 273–282. doi : 10.1016/S0024-3795(01)00608-5 .
  24. ^ ab Alperin, Roger C. (2002). "Ch.12". В Hull, Thomas (ред.). Mathematical Origami: Another View of Alhazen's Optical Problem . стр. 83–93. doi :10.1201/b15735. ISBN 9780429064906.
  25. ^ Робу, Джудит; Ида, Тецуо; Цепенеу, Дорин; Такахаши, Хидеказу; Бухбергер, Бруно (2006). «Вычислительное построение оригами правильного семиугольника с автоматическим доказательством его правильности». Автоматизированная дедукция в геометрии . Конспект лекций по информатике. Том 3763. С. 19–33. doi :10.1007/11615798_2. ISBN 978-3-540-31332-8.
  26. ^ Альперин, Роджер С. (2005). «Трисекции и полностью реальное оригами». The American Mathematical Monthly . 112 (3): 200–211. arXiv : math/0408159 . doi :10.2307/30037438. JSTOR  30037438.
  27. ^ Гиббонс, Джереми (2003). «Программирование оригами» (PDF) .
  28. ^ Bird, Richard; Mu, Shin-Cheng (сентябрь 2005 г.). «Обратный отсчет: исследование случая в программировании оригами». Journal of Functional Programming . 15 (5): 679–702. doi : 10.1017/S0956796805005642 (неактивен 25.09.2024). ISSN  1469-7653. S2CID  46359986.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на сентябрь 2024 г. ( ссылка )
  29. ^ Лэнг, Роберт Дж.; Альперин, Роджер К. (2009). «Аксиомы одно-, двух- и многоскладчатого оригами» (PDF) . Оригами 4 . Оригами 4 : Четвертая международная встреча по науке, математике и образованию в области оригами . стр. 383–406. doi :10.1201/b10653-38. ISBN 9780429106613.
  30. ^ ab Берчингер, Томас Х.; Слоут, Джозеф; Спенсер, Оливия Клэр; Виницкий, Сэмюэл. Математика оригами (PDF) . Карлтонский колледж.
  31. ^ Лэнг, Роберт Дж. (2004). "Квинтиссекция угла" (PDF) . langorigami.com . Получено 16 января 2021 г. .
  32. ^ Томас С. Халл (2002). "Комбинаторика плоских складок: обзор". Труды Третьей международной конференции по науке, математике и образованию в области оригами . AK Peters. arXiv : 1307.1065 . ISBN 978-1-56881-181-9.
  33. ^ "Роберт Лэнг складывает совершенно новое оригами".
  34. ^ Демейн, Эрик Д .; О'Рурк, Джозеф (2007). Геометрические алгоритмы складывания . Кембридж: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511735172. ISBN 978-0-521-85757-4. МР  2354878.
  35. ^ Том Халл. «Оригами и геометрические конструкции».
  36. ^ аб Геретшлегер, Роберт (2008). Геометрическое оригами . Великобритания: Арбелос. ISBN 978-0-9555477-1-3.
  37. ^ Хироши Окумура (2014). «Заметка о теоремах Хаги в складывании бумаги» (PDF) . Forum Geometricorum . 14 : 241–242.
  38. ^ ab Lang, Robert J (2008). «От хлопающих птиц до космических телескопов: современная наука оригами» (PDF) . Usenix Conference, Бостон, Массачусетс.
  39. ↑ Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Dancso, Zsuzsanna (12 декабря 2014 г.). «Numberphile: Как разделить угол на три равные части с помощью оригами». YouTube . Получено 2 октября 2021 г. .
  40. ^ Майкл Дж. Винклер; Катрин Д. Уолд; Ханс Георг Бок (2011). «Практическая геометрия с оригами». Origami 5. CRC Press. стр. 225. ISBN 978-1-56881-714-9.
  41. ^ "Siggraph: "Изогнутое оригами"". Архивировано из оригинала 2017-05-08 . Получено 2008-10-08 .
  42. ^ Корпал, Гауриш (25 ноября 2015 г.). «Складывание бумаги пополам». Под прямым углом . 4 (3). Учителя Индии: 20–23.
  43. ^ Халл, Томас (2002). «В поисках практического сложения карт». Math Horizons . 9 (3): 22–24. doi :10.1080/10724117.2002.11975147. JSTOR  25678354. S2CID  126397750.
  44. ^ ab "The Origami Lab". The New Yorker . 2007-02-12 . Получено 2022-05-09 .
  45. ^ ab Demaine, Erik (2001). «Последние результаты в вычислительном оригами» (PDF).
  46. ^ Лэнг, Роберт. «Вычислительный алгоритм для проектирования оригами» (PDF) .
  47. ^ Шнайдер, Джонатан (10 декабря 2004 г.). «Плоская складчатость оригами-схем складок» (PDF).
  48. ^ "Оригами что угодно". Новости MIT | Массачусетский технологический институт . 22 июня 2017 г. Получено 2022-05-08 .
  49. ^ "Julia и проективная геометрическая алгебра". Код Julia, анимирующий кабуто, в примере 3.4. 31 марта 2024 г.{{cite web}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
  50. ^ TASON. "Вычислительное оригами" . Получено 2022-05-08 .
  51. ^ "Каднано". каднано . Проверено 8 мая 2022 г.
  52. ^ Журнал, Смитсоновский институт; Моррисон, Джим. «Как оригами революционизирует промышленный дизайн». Журнал Смитсоновского института . Получено 08.05.2022 .
  53. ^ Гиббонс, Джереми (2003). «Программирование оригами» (PDF) .
  54. ^ TASON. "Складывание подушки безопасности" . Получено 2022-05-08 .
  55. ^ "Webb and Origami - Webb Telescope/NASA". webb.nasa.gov . Получено 2022-05-08 .
  56. ^ Фелтон, С.; Толли, М.; Демейн, Э.; Рус, Д.; Вуд, Р. (2014-08-08). «Метод построения самоскладывающихся машин». Science . 345 (6197): 644–646. Bibcode :2014Sci...345..644F. doi :10.1126/science.1252610. ISSN  0036-8075. PMID  25104380. S2CID  18415193.
  57. ^ Бревин, Боб (2004-05-10). "Вычислительное оригами". Computerworld . Получено 2022-05-08 .
  58. ^ "The Origami Resolution". Чертовски интересно . Получено 2022-05-08 .

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Математика оригами» .