Матрица пространственных весов

Матрица соседей

Концепция пространственного веса используется в пространственном анализе для описания соседских отношений между регионами на карте. ^[1] Если местоположение является соседом местоположения , то в противном случае . Обычно (хотя и не всегда) мы не считаем сайт соседом самого себя ^[2], поэтому . Эти коэффициенты кодируются в матрице пространственного веса ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle w_{ij}\neq 0}$ ${\displaystyle w_{ij}=0}$ ${\displaystyle w_{ii}=0}$

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}w_{11}&w_{12}&\ldots &w_{1N}\\w_{21}&w_{22}&\ldots &w_{2N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\w_{N1}&w_{N2}&\ldots &w_{NN}\\\end{pmatrix}}}$

Где — количество рассматриваемых сайтов. Матрица пространственных весов является ключевой величиной при вычислении многих пространственных индексов, таких как I Морана , C Гири , статистика Getis-Ord и статистика Join Count . ${\displaystyle N}$

Веса, основанные на смежности

Описанные на регулярной сетке общие схемы связности. Ненулевые значения обозначены красными линиями. Например, в случае ладьи, только для строки матрицы весов и аналогично в других случаях. ${\displaystyle w_{Aj}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle w_{AN},w_{AS},w_{AE},w_{AW}\neq 0}$

Этот подход рассматривает пространственные сайты как узлы в графе со связями, определяемыми общей границей или вершиной. ^[3] Элементы матрицы пространственных весов определяются путем установки для всех связанных пар узлов, при этом все остальные элементы устанавливаются в 0. Это делает матрицу пространственных весов эквивалентной матрице смежности соответствующей сети. Обычно ^[2] нормализуют матрицу по строкам , ${\displaystyle w_{ij}=1}$ ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle w_{ij}\rightarrow w_{ij}/\sum _{j}w_{ij}}$

В этом случае сумма всех элементов равна количеству сайтов. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle N}$

African quadripoint. Используя Rook neighbors, Зимбабве является соседом Замбии и Ботсваны. Используя Queen neighbors, Зимбабве также является соседом Ботсваны. Bishop neighbors редко используются для полигональных данных.

Существует три распространенных метода связывания сайтов ^[3], названных в честь шахматных фигур, которые делают похожие ходы:

• Ладья: сайты являются соседями, если они имеют общее ребро
• Епископ: узлы являются соседями, если они имеют общую вершину
• Королева: узлы являются соседями, если они имеют общее ребро или вершину.

В некоторых случаях статистика может существенно различаться в зависимости от используемого определения, особенно для дискретных данных на сетке. ^[3] Существуют также другие случаи, когда выбор соседей не очевиден и может повлиять на результат анализа. Биванд и Вонг ^[4] описывают ситуацию, когда значение пространственных индексов ассоциации (например, I Морана ) зависит от включения или исключения паромной переправы между округами. Существуют также случаи, когда регионы встречаются в трипойнте или квадрипойнте , где соседства Рук и Куин могут различаться.

Веса, основанные на расстоянии

Другой способ определения пространственных соседей основан на расстоянии между сайтами. Один простой выбор — установить для каждой пары, разделенной расстоянием меньше некоторого порога . ^[5] Клифф и Орд ^[1] предлагают общую форму ${\displaystyle w_{ij}=1}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle w_{ij}=g(d_{ij},\beta _{ij})}$

Где — некоторая функция расстояния между и , а — доля периметра в контакте с . Функция ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \beta _{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle w_{ij}=d_{ij}^{-\alpha }\beta _{ij}^{b}}$

затем предлагается. Часто термин не включается, и наиболее распространенными значениями для являются 1 и 2. ^[3] Другой распространенный выбор для функции распада расстояния — ^[6] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle w_{ij}=\exp(-d_{ij})}$

хотя можно использовать ряд различных функций ядра . Экспоненциальные и другие функции ядра обычно устанавливают, что необходимо учитывать в приложениях. ${\displaystyle w_{ii}=1}$

Можно сделать матрицу пространственного веса функцией «класса расстояния»: ^[7] где обозначает «класс расстояния», например, соответствующий первому, второму, третьему и т. д. соседям. В этом случае функции матрицы пространственного веса становятся зависимыми от класса расстояния. Например, I Морана равен ${\displaystyle w_{ij}\rightarrow w_{ij}(d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle I(d)={\frac {N}{|W(d)|}}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{ij}(d)(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

Это определяет тип пространственной коррелограммы , в данном случае, поскольку I Морана измеряет пространственную автокорреляцию, измеряет, как автокорреляция данных изменяется в зависимости от класса расстояния. Вспоминая первый закон географии Тоблера , «все связано со всем, но близкие вещи связаны больше, чем далекие», он обычно уменьшается с расстоянием. ${\displaystyle I(d)}$

К распространенным функциям расстояния относятся ^[5] евклидово расстояние , манхэттенское расстояние и расстояние по дуге большого круга .

Пространственная задержка

Одним из применений матрицы пространственного веса является вычисление пространственного лага ^[8]

${\displaystyle [Wx]_{i}=\sum _{j}w_{ij}x_{j}}$

Для стандартизированных по строке весов, изначально установленных на и с , — это просто среднее значение, наблюдаемое у соседей . Эти отстающие переменные затем можно использовать в регрессионном анализе для включения зависимости выходной переменной от значений на соседних участках. ^[9] Стандартное уравнение регрессии имеет вид ${\displaystyle w_{ij}=1}$ ${\displaystyle w_{ii}=0}$ ${\displaystyle [Wx]_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle y_{i}=\sum _{k}x_{ik}\beta _{k}+\epsilon _{i}}$

Модель пространственного лага добавляет к этому вектор пространственного лага.

${\displaystyle y_{i}=\rho \sum _{j}w_{ij}y_{j}+\sum _{k}x_{ik}\beta _{k}+\epsilon _{i}}$

где — параметр, который контролирует степень автокорреляции . ^[10] Это похоже на модель авторегрессии в анализе временных рядов . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle y}$

Смотрите также

• Пространственный анализ
• Моран I
• Гири С
• Статистика количества присоединений

Ссылки

1. Клифф, AD и Орд, JK (1981). Пространственные процессы: модели и приложения. Pion. ISBN 9780850860818.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. «Пространственные веса, основанные на смежности».
3. Дейл М.Р., Фортин М.Дж. Пространственный анализ: руководство для экологов. Cambridge University Press; 2014 11 сентября.
4. Биванд RS, Вонг DW. Сравнение реализаций глобальных и локальных индикаторов пространственной ассоциации. Тест. 2018 сен;27(3):716-48.
5. "Пространственные веса диапазона расстояний".
6. «Пространственные веса как функции расстояния».
7. Лежандр П., Лежандр Л. Численная экология. Elsevier; 2012 21 июля.
8. «Применение пространственных весов».
9. Анселин Л., Гриффит Д. А. Действительно ли пространственные эффекты имеют значение в регрессионном анализе?. Статьи по региональной науке. 1988 янв. 1;65(1):11-34.
10. Seya H, Yoshida T, Yamagata Y. Пространственные эконометрические модели. InSpatial Analysis Using Big Data 2020 1 января (стр. 113-158). Academic Press.