Унитарная матрица

Комплексная матрица, сопряженная транспонированная матрица которой равна ее обратной

В линейной алгебре обратимая комплексная квадратная матрица U является унитарной , если ее обратная матрица U ⁻¹ равна ее сопряженной транспонированной матрице U ^* , то есть если

$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}$$

где I — единичная матрица .

В физике, особенно в квантовой механике, сопряженное транспонирование называется эрмитовым сопряжением матрицы и обозначается крестиком ( †), поэтому уравнение выше записывается так:

$${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.}$$

Комплексная матрица U является специальной унитарной, если она унитарна и ее матричный определитель равен 1 .

Для действительных чисел аналогом унитарной матрицы является ортогональная матрица . Унитарные матрицы имеют важное значение в квантовой механике, поскольку они сохраняют нормы , а значит, и амплитуды вероятностей .

Характеристики

Для любой унитарной матрицы U конечного размера справедливо следующее:

• Для двух комплексных векторов x и y умножение на U сохраняет их скалярное произведение ; то есть, ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ .
• U — нормальное ( ). ${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}$
• U диагонализуема ; то есть U унитарно подобна диагональной матрице, как следствие спектральной теоремы . Таким образом, U имеет разложение вида , где V унитарна, а D диагональна и унитарна. ${\displaystyle U=VDV^{*},}$
• ${\displaystyle \left|\det(U)\right|=1}$, То есть будет находиться на единичной окружности комплексной плоскости. ${\displaystyle \det(U)}$
• Его собственные подпространства ортогональны.
• U можно записать как U = e ^iH , где e обозначает экспоненту матрицы , i — мнимая единица, а H — эрмитова матрица .

Для любого неотрицательного целого числа n множество всех унитарных матриц размера n  ×  n с матричным умножением образует группу , называемую унитарной группой U( n ) .

Каждая квадратная матрица с единичной евклидовой нормой является средним арифметическим двух унитарных матриц. ^[1]

Эквивалентные условия

Если U — квадратная комплексная матрица, то следующие условия эквивалентны: ^[2]

1. ${\displaystyle U}$является унитарным.
2. ${\displaystyle U^{*}}$ является унитарным.
3. ${\displaystyle U}$обратим с . ${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$
4. Столбцы образуют ортонормированный базис относительно обычного скалярного произведения. Другими словами, . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U^{*}U=I}$
5. Строки образуют ортонормированный базис относительно обычного скалярного произведения. Другими словами, . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle UU^{*}=I}$
6. ${\displaystyle U}$является изометрией относительно обычной нормы. То есть для всех , где . ${\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$
7. ${\displaystyle U}$является нормальной матрицей (эквивалентно, существует ортонормированный базис, образованный собственными векторами ) с собственными значениями, лежащими на единичной окружности . ${\displaystyle U}$

Элементарные конструкции

Унитарная матрица 2 × 2

Одно общее выражение унитарной матрицы 2 × 2 имеет вид

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}$$

которая зависит от 4 действительных параметров (фаза a , фаза b , относительная величина между a и b и угол φ ). Форма настроена так, что определитель такой матрицы равен $${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}$$

Подгруппа таких элементов называется специальной унитарной группой SU(2). ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ \det(U)=1\ }$

Среди нескольких альтернативных форм матрицу U можно записать в следующем виде: $${\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}$$

где и выше, а углы могут принимать любые значения. ${\displaystyle \ e^{i\alpha }\cos \theta =a\ }$ ${\displaystyle \ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,}$ ${\displaystyle \ \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta \ }$

Вводя и имеем следующую факторизацию: ${\displaystyle \ \alpha =\psi +\delta \ }$ ${\displaystyle \ \beta =\psi -\delta \ ,}$

$${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.}$$

Это выражение подчеркивает связь между унитарными матрицами 2 × 2 и ортогональными матрицами 2 × 2 угла θ .

Другая факторизация — ^[3]

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}$$

Возможны многие другие факторизации унитарной матрицы в базовых матрицах. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9]}

Смотрите также

• Эрмитова матрица и

Косоэрмитова матрица

• Матричное разложение
• Ортогональная группа O( n )
• Специальная ортогональная группа SO( n )
• Ортогональная матрица
• Полуортогональная матрица
• Квантовый логический вентиль
• Специальная унитарная группа SU( n )
• Симплектическая матрица
• Унитарная группа U( n )
• Унитарный оператор

Ссылки

1. Ли, Чи-Квонг; Пун, Эдвард (2002). «Аддитивное разложение действительных матриц». Линейная и полилинейная алгебра . 50 (4): 321–326. doi :10.1080/03081080290025507. S2CID  120125694.
2. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ . Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9781139020411. ISBN 9781139020411.
3. Фюр, Хартмут; Жешотник, Зиемовит (2018). «Заметка о факторинге унитарных матриц». Линейная алгебра и ее приложения . 547 : 32–44. дои : 10.1016/j.laa.2018.02.017 . ISSN  0024-3795. S2CID  125455174.
4. Уильямс, Колин П. (2011). «Квантовые вентили». В Уильямс, Колин П. (ред.). Исследования в области квантовых вычислений . Тексты по информатике. Лондон, Великобритания: Springer. стр. 82. doi :10.1007/978-1-84628-887-6_2. ISBN 978-1-84628-887-6.
5. Нильсен, MA ; Чуан, Айзек (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press . стр. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC  43641333.
6. Баренко, Адриано; Беннетт, Чарльз Х.; Клив, Ричард; ДиВинченцо, Дэвид П.; Марголус, Норман; Шор, Питер; и др. (1 ноября 1995 г.). «Элементарные вентили для квантовых вычислений». Physical Review A. 52 ( 5). Американское физическое общество (APS): 3457–3467, особенно стр. 3465. arXiv : quant-ph/9503016 . doi : 10.1103/physreva.52.3457. ISSN  1050-2947. PMID  9912645. S2CID  8764584.
7. Марвиан, Иман (10 января 2022 г.). «Ограничения на реализуемые унитарные операции, налагаемые симметрией и локальностью». Nature Physics . 18 (3): 283–289. arXiv : 2003.05524 . doi :10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN  1745-2481. S2CID  245840243.
8. Ярлског, Сесилия (2006). «Рекурсивная параметризация и инвариантные фазы унитарных матриц». arXiv : math-ph/0510034 .
9. Alhambra, Álvaro M. (10 января 2022 г.). «Запрещено симметрией». News & Views. Nature Physics . 18 (3): 235–236. doi :10.1038/s41567-021-01483-x. ISSN  1745-2481. S2CID  256745894. Физика больших систем часто понимается как результат локальных операций между ее компонентами. Теперь показано, что эта картина может быть неполной в квантовых системах, взаимодействия которых ограничены симметриями.

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. "Унитарная матрица". MathWorld . Тодд Роуленд.
• Иванова, О.А. (2001) [1994], "Унитарная матрица", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• "Покажите, что собственные значения унитарной матрицы имеют модуль 1". Stack Exchange . 28 марта 2016 г.