Квантовое рассеяние

Диссипация в квантовых системах

Квантовая диссипация — раздел физики , изучающий квантовые аналоги процесса необратимой потери энергии, наблюдаемой на классическом уровне. Его главная цель — вывести законы классической диссипации из рамок квантовой механики . Он разделяет многие черты с предметами квантовой декогеренции и квантовой теории измерения .

Модели

Типичный подход к описанию диссипации заключается в разделении всей системы на две части: квантовую систему, где происходит диссипация, и так называемую среду или ванну, в которую будет течь энергия первой. Способ, которым обе системы связаны, зависит от деталей микроскопической модели и, следовательно, описания ванны. Чтобы включить необратимый поток энергии (т. е. избежать повторений Пуанкаре , в которых энергия в конечном итоге течет обратно в систему), требуется, чтобы ванна содержала бесконечное число степеней свободы. Обратите внимание, что в силу принципа универсальности ожидается , что конкретное описание ванны не повлияет на существенные черты диссипативного процесса, поскольку модель содержит минимальные ингредиенты для обеспечения эффекта.

Самый простой способ моделирования ванны был предложен Фейнманом и Верноном в основополагающей статье 1963 года. ^[1] В этом описании ванна представляет собой сумму бесконечного числа гармонических осцилляторов, что в квантовой механике представляет собой набор свободных бозонных частиц.

Модель Калдейры–Леггета или гармонической ванны

В 1981 году Амир Калдейра и Энтони Дж. Леггетт предложили простую модель для детального изучения того, как возникает диссипация с квантовой точки зрения. ^[2] Она описывает квантовую частицу в одном измерении, связанную с ванной. Гамильтониан выглядит следующим образом:

${\displaystyle H={\frac {P^{2}}{2M}}+V(X)+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)-X\sum _{i}{C_{i}q_{i}}+X^{2}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{2m_{i}\omega _{i}^{2}}}}$,

Первые два члена соответствуют гамильтониану квантовой частицы с массой и импульсом , в потенциале в позиции . Третий член описывает ванну как бесконечную сумму гармонических осцилляторов с массами и импульсом , в позициях . - частоты гармонических осцилляторов. Следующий член описывает способ, которым система и ванна связаны. В модели Калдейры–Леггетта ванна связана с положением частицы. - коэффициенты, которые зависят от деталей связи. Последний член является контрчленом, который должен быть включен, чтобы гарантировать, что диссипация является однородной во всем пространстве. Поскольку ванна связана с положением, если этот член не включен, модель не является трансляционно инвариантной , в том смысле, что связь различна, где бы ни находилась квантовая частица. Это приводит к нефизической перенормировке потенциала, которую можно подавить, используя реальные потенциалы. ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$

Для хорошего описания механизма рассеивания необходимо использовать спектральную функцию ванны, определяемую следующим образом:

${\displaystyle J(\omega )={\frac {\pi }{2}}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{m_{i}\omega _{i}}}\delta (\omega -\omega _{i})}$

Спектральная функция ванны накладывает ограничение на выбор коэффициентов . Когда эта функция имеет вид , ^{[ необходимо разъяснение ],} можно показать, что соответствующий классический вид диссипации является омическим. Более общая форма — . В этом случае, если диссипация называется «суперомической», а если — субомической. Примером суперомической ванны является электромагнитное поле при определенных обстоятельствах. ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle J(\omega )=\eta \omega }$ ${\displaystyle J(\omega )\propto \omega ^{s}}$ ${\displaystyle s>1}$ ${\displaystyle s<1}$

Как уже упоминалось, основная идея в области квантовой диссипации заключается в объяснении способа, которым классическая диссипация может быть описана с точки зрения квантовой механики. Чтобы получить классический предел модели Калдейры–Леггетта, необходимо проинтегрировать ванну (или проследить ее ), что можно понимать как взятие среднего значения по всем возможным реализациям ванны и изучение эффективной динамики квантовой системы. В качестве второго шага необходимо взять предел, чтобы восстановить классическую механику . Чтобы продолжить эти технические шаги математически, обычно используется описание квантовой механики интегралом по траектории . Результирующие классические уравнения движения следующие: ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

${\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\int _{0}^{T}dt'\alpha (t-t')(X(t)-X(t'))}$

где:

${\displaystyle \alpha (t-t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }J(\omega )e^{-\omega |t-t'|}d\omega }$

— ядро, характеризующее эффективную силу, которая влияет на движение частицы при наличии диссипации. Для так называемых марковских ванн, не сохраняющих память о взаимодействии с системой, и для омической диссипации уравнения движения упрощаются до классических уравнений движения частицы с трением:

${\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\eta {\frac {dX(t)}{dt}}}$

Таким образом, можно увидеть, как модель Калдейры–Леггетта выполняет цель получения классической диссипации из квантово-механического каркаса. Модель Калдейры–Леггетта использовалась для изучения проблем квантовой диссипации с момента ее введения в 1981 году, а также широко использовалась в области квантовой декогеренции .

Диссипативная двухуровневая система

Диссипативная двухуровневая система является частной реализацией модели Калдейры–Леггетта, которая заслуживает особого внимания из-за ее интереса к области квантовых вычислений . Целью модели является изучение эффектов диссипации в динамике частицы, которая может прыгать между двумя различными положениями, а не непрерывной степенью свободы. Это сокращенное гильбертово пространство позволяет описать проблему в терминах ⁠1/2⁠ - операторы спина . Иногда в литературе это называют моделью спин-бозона, и она тесно связана с моделью Джейнса–Каммингса .

Гамильтониан для диссипативной двухуровневой системы имеет вид:

${\displaystyle H=\Delta {\frac {\sigma _{x}}{2}}+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)+{\frac {\sigma _{z}}{2}}\sum _{i}{C_{i}q_{i}}}$,

где и — матрицы Паули , а — амплитуда прыжка между двумя возможными положениями. Обратите внимание, что в этой модели контрчлен больше не нужен, поскольку связь с дает уже однородную диссипацию. ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S_{z}}$

Модель имеет множество приложений. В квантовой диссипации она используется как простая модель для изучения динамики диссипативной частицы, заключенной в двухъямном потенциале. В контексте квантовых вычислений она представляет собой кубит, связанный с окружением, что может вызывать декогеренцию . При изучении аморфных твердых тел она обеспечивает основу стандартной теории для описания их термодинамических свойств.

Диссипативная двухуровневая система также представляет собой парадигму в изучении квантовых фазовых переходов . Для критического значения связи с ванной она показывает фазовый переход из режима, в котором частица делокализована между двумя положениями, в другой, в котором она локализована только в одном из них. Переход имеет вид Костерлица–Таулесса , как можно увидеть, выведя уравнения потока ренормгруппы для прыжкового члена.

Рассеивание энергии в гамильтоновом формализме

Другой подход к описанию рассеивания энергии заключается в рассмотрении зависящих от времени гамильтонианов. Вопреки распространенному заблуждению, полученная унитарная динамика может описывать рассеивание энергии, поскольку определенные степени свободы теряют энергию, а другие ее приобретают. ^[4] Однако квантово-механическое состояние системы остается чистым , поэтому такой подход не может описывать дефазировку , если не выбрана подсистема и не проанализирована приведенная матрица плотности этой открытой квантовой системы. ^[5] Дефазировка приводит к квантовой декогеренции или рассеиванию информации и часто важна при описании открытых квантовых систем . Однако этот подход обычно используется, например, при описании оптических экспериментов. Там световой импульс (описываемый зависящим от времени полуклассическим гамильтонианом) может изменять энергию в системе путем стимулированного поглощения или испускания. ^{[ требуется цитата ]}

Смотрите также

• Модель рассеивания для расширенной среды
• Модель Джейнса–Каммингса
• Открытая квантовая система
• Уравнение Линдблада
• Квантовая декогеренция
• Дефазировка

Ссылки

1. Фейнман, РП; Вернон, ФЛ (1963). «Теория общей квантовой системы, взаимодействующей с линейной диссипативной системой» (PDF) . Annals of Physics . 24 : 118–173. Bibcode :1963AnPhy..24..118F. doi :10.1016/0003-4916(63)90068-X. ISSN  0003-4916.
2. Caldeira, AO; Leggett, AJ (1981). «Влияние диссипации на квантовое туннелирование в макроскопических системах». Physical Review Letters . 46 (4): 211–214. Bibcode : 1981PhRvL..46..211C. doi : 10.1103/PhysRevLett.46.211. ISSN  0031-9007.
3. Цеков, Р.; Рукенштейн, Э. (1994). «Стохастическая динамика подсистемы, взаимодействующей с твердым телом, с применением к диффузионным процессам в твердых телах». J. Chem. Phys . 100 (2): 1450–1455. Bibcode :1994JChPh.100.1450T. doi :10.1063/1.466623.
4. Грюбеле, М.; Вонг, В. (2002). «Субэкспоненциальная декогеренция спинового бозона в конечной ванне». Химическая физика . 284 (1–2): 29–44. Bibcode : 2002CP....284...29W. doi : 10.1016/S0301-0104(02)00534-7.
5. Грюбеле, М.; Вонг, В. (2001). «Неэкспоненциальная дефазировка в локальной случайной матричной модели». Physical Review A. 63 ( 2): 22502. Bibcode : 2001PhRvA..63b2502W. doi : 10.1103/PhysRevA.63.022502.

Источники

• У. Вайс, Квантовые диссипативные системы (1992), World Scientific.
• Leggett, AJ; Chakravarty, S.; Dorsey, AT; Fisher, Matthew PA; Garg, Anupam; Zwerger, W. (1 декабря 1986 г.). «Динамика диссипативной двухуровневой системы». Reviews of Modern Physics . 59 (1). Американское физическое общество (APS): 1–85. doi :10.1103/revmodphys.59.1. hdl : 2142/94708 . ISSN  0034-6861.
• П. Хэнги и Г. Л. Ингольд, Фундаментальные аспекты квантового броуновского движения , Хаос, т. 15, ARTN 026105 (2005); http://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/Papers/378.pdf

Внешние ссылки

• Визуализация квантовой динамики: гамильтониан спинового бозона. Архивировано 13 февраля 2015 г. на Wayback Machine , Джаред Остмейер и Хулио Хеа-Банаклоче, Университет Арканзаса.
• Визуализация квантовой динамики: модель Джейнса-Каммингса. Архивировано 01.07.2014 на Wayback Machine , Джаред Остмейер и Хулио Хеа-Банаклоче, Университет Арканзаса.