Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry — книга математика Нормана Дж. Уайлдбергера 2005 года о предлагаемом альтернативном подходе к евклидовой геометрии и тригонометрии , называемом рациональной тригонометрией . В книге предлагается заменить обычные основные величины тригонометрии, евклидово расстояние имеру угла , на квадрат расстояния и квадрат синуса угла соответственно. Это логически эквивалентно стандартной разработке (поскольку заменяющие величины могут быть выражены через стандартные и наоборот). Автор утверждает, что его подход имеет некоторые преимущества, такие как избежание необходимости в иррациональных числах .
Книга была «по сути самостоятельно опубликована» [1] Вильдбергером через его издательскую компанию Wild Egg. Формулы и теоремы в книге считаются корректной математикой, но утверждения о практическом или педагогическом превосходстве в первую очередь продвигаются самим Вильдбергером и получили неоднозначные отзывы.
Основная идея Divine Proportions заключается в замене расстояний квадратом евклидового расстояния , которое Вильдбергер называет квадрантом , и замене угловых мер квадратами их синусов, которое Вильдбергер называет спредом между двумя линиями. Divine Proportions определяет обе эти концепции непосредственно из декартовых координат точек, которые определяют отрезок прямой или пару пересекающихся линий. Определенные таким образом, они являются рациональными функциями этих координат и могут быть вычислены напрямую без необходимости извлечения квадратных корней или обратных тригонометрических функций, необходимых при вычислении расстояний или угловых мер. [1]
Для Вильдбергера, финитиста , эта замена имеет предполагаемое преимущество, заключающееся в избежании концепций пределов и актуальной бесконечности, используемых при определении действительных чисел , которые Вильдбергер называет необоснованными. [2] [1] Это также позволяет распространять аналогичные концепции непосредственно из рациональных чисел на другие числовые системы, такие как конечные поля, используя те же формулы для квадранта и спреда. [1] Кроме того, этот метод избегает неоднозначности двух дополнительных углов, образованных парой линий, поскольку оба угла имеют одинаковый спред. Эта система, как утверждается, более интуитивна и легче расширяется от двух до трех измерений. [3] Однако в обмен на эти преимущества теряется аддитивность расстояний и углов: например, если отрезок прямой разделен на две части, его длина равна сумме длин двух частей, но объединение квадрантов частей более сложно и требует квадратных корней. [1]
Divine Proportions разделена на четыре части. Часть I представляет обзор использования квадранта и спреда для замены расстояния и угла, а также приводит аргументы в пользу их преимуществ. Часть II формализует утверждения, сделанные в части I, и строго доказывает их. [1] Вместо того, чтобы определять линии как бесконечные множества точек, они определяются их однородными координатами , которые могут использоваться в формулах для проверки инцидентности точек и линий. Подобно синусу, косинус и тангенс заменяются рациональными эквивалентами, называемыми «крест» и «скручивание», и Divine Proportions разрабатывает различные аналоги тригонометрических тождеств , включающих эти величины, [3] включая версии теоремы Пифагора , закона синусов и закона косинусов . [4]
Часть III развивает геометрию треугольников и конических сечений с использованием инструментов, разработанных в двух предыдущих частях. [1] Хорошо известные результаты, такие как формула Герона для вычисления площади треугольника по длинам его сторон или теорема о вписанном угле в форме, согласно которой углы, опирающиеся на хорду окружности из других точек на окружности, равны, переформулируются в терминах квадранта и распространения и, таким образом, обобщаются на произвольные числовые поля. [3] [5] Наконец, Часть IV рассматривает практические приложения в физике и геодезии и разрабатывает расширения для многомерного евклидова пространства и полярных координат . [1]
Divine Proportions не предполагает большого математического образования у своих читателей, но его многочисленные длинные формулы, частое рассмотрение конечных полей и (после части I) акцент на математической строгости, вероятно, будут препятствиями для популярной математической аудитории. Вместо этого, он в основном написан для преподавателей математики и исследователей. Однако его также могут читать студенты-математики, и он содержит упражнения, позволяющие использовать его в качестве основы для курса математики. [1] [6]
Особенностью книги, которая была наиболее положительно принята рецензентами, была ее работа по распространению результатов в геометрии расстояний и углов на конечные поля. Рецензент Лора Уизвелл нашла эту работу впечатляющей и была очарована результатом, что наименьшее конечное поле, содержащее правильный пятиугольник, равно . [1] Майкл Хенле называет расширение геометрии треугольника и конического сечения на конечные поля в части III книги «изящной теорией большой общности» [4] , и Уильям Баркер также одобрительно пишет об этом аспекте книги, называя его «особенно новым» и, возможно, открывающим новые направления исследований. [6]
Уизвелл поднимает вопрос о том, сколько из подробных результатов, представленных без указания авторства в этой работе, на самом деле являются новыми. [1] В этом свете Майкл Хенле отмечает, что использование квадрата евклидова расстояния «часто оказывалось удобным в других местах»; [4] например, оно используется в геометрии расстояний , статистике наименьших квадратов и выпуклой оптимизации . Джеймс Франклин указывает, что для пространств из трех или более измерений, моделируемых традиционно с использованием линейной алгебры , использование распространения по Божественным пропорциям не сильно отличается от стандартных методов, включающих скалярные произведения вместо тригонометрических функций. [5]
Преимущество методов Вильдбергера, отмеченное Генле, заключается в том, что, поскольку они включают только простую алгебру, доказательства и просты для понимания, и просты для проверки компьютером. Однако он предполагает, что утверждения книги о большей простоте в ее общей теории основаны на ложном сравнении, в котором квадрант и спред взвешиваются не против соответствующих классических понятий расстояний, углов и синусов, а против гораздо более широкого набора инструментов из классической тригонометрии. Он также указывает, что для студента с научным калькулятором формулы, которые избегают квадратных корней и тригонометрических функций, не являются проблемой, [4] а Баркер добавляет, что новые формулы часто включают большее количество отдельных этапов вычислений. [6] Хотя многочисленные рецензенты считали, что сокращение количества времени, необходимого для обучения студентов тригонометрии, было бы очень кстати, [3] [5] [7] Пол Кэмпбелл скептически относится к тому, что эти методы на самом деле ускорят обучение. [7] Джерри Леверша сохраняет открытость ума, написав, что «будет интересно увидеть некоторые учебники, предназначенные для школьников [которые Вильдбергер] обещал выпустить, и... контролируемые эксперименты с участием студентов-подопытных кроликов». [3] Однако эти учебники и эксперименты не были опубликованы.
Уизвелла не убеждает утверждение, что традиционная геометрия имеет фундаментальные недостатки, которых избегают эти методы. [1] Соглашаясь с Уизвеллом, Баркер указывает, что могут быть и другие математики, разделяющие философские подозрения Вильдбергера относительно бесконечности, и что эта работа должна представлять для них большой интерес. [6]
Последний вопрос, поднятый многочисленными рецензентами, — это инерция: предположив ради аргумента, что эти методы лучше, достаточно ли они хороши, чтобы оправдать большие индивидуальные усилия по повторному изучению геометрии и тригонометрии в этих терминах, а также институциональные усилия по переработке школьной программы для использования их вместо классической геометрии и тригонометрии? Хенле, Баркер и Леверша приходят к выводу, что книга не обосновала это, [3] [4] [6] но Сандра Арлингхаус рассматривает эту работу как возможность для таких областей, как ее математическая география, «которые относительно мало инвестировали в традиционную институциональную жесткость», продемонстрировать перспективность такой замены. [8]
