Квадратная матрица

Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов

Квадратная матрица порядка 4. Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы. Например, главная диагональ приведенной выше матрицы 4×4 содержит элементы a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 . ${\displaystyle a_{ii}}$

В математике квадратная матрица — это матрица с одинаковым количеством строк и столбцов. Матрица размера n на n известна как квадратная матрица порядка . Любые две квадратные матрицы одного порядка можно складывать и перемножать. ${\displaystyle n}$

Квадратные матрицы часто используются для представления простых линейных преобразований , таких как сдвиг или вращение . Например, если это квадратная матрица, представляющая вращение ( матрица вращения ), и вектор -столбец , описывающий положение точки в пространстве, произведение дает другой вектор-столбец, описывающий положение этой точки после этого вращения. Если – вектор-строка , то то же самое преобразование можно получить, используя , где – транспонирование . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle R\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} R^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle R}$

Основная диагональ

Элементы ( i = 1, ..., n ) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Они лежат на воображаемой линии, идущей из верхнего левого угла в правый нижний угол матрицы. Например, главная диагональ приведенной выше матрицы 4×4 содержит элементы a ₁₁ = 9 , a ₂₂ = 11 , a ₃₃ = 4 , a ₄₄ = 10 . ${\displaystyle a_{ii}}$

Диагональ квадратной матрицы, идущая от правого верхнего угла к левому нижнему, называется антидиагональю или контрдиагональю .

Специальные виды

Диагональная или треугольная матрица

Если все элементы за пределами главной диагонали равны нулю, матрица называется диагональной . Если все элементы ниже (соответственно выше) главной диагонали равны нулю, она называется верхней (соответственно нижней) треугольной матрицей . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Единичная матрица

Единичная матрица размера — это матрица, в которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, например. Это квадратная матрица порядка , а также особый вид диагональной матрицы . Термин «идентичная матрица» относится к свойству умножения матриц для любой матрицы . ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A}$$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$

Обратимая матрица и ее обратная

Квадратная матрица называется обратимой или неособой, если существует матрица такая, что ^{[1] [2]} Если существует, то она уникальна и называется обратной матрицей , обозначаемой . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle AB=BA=I_{n}.}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Симметричная или кососимметричная матрица

Квадратная матрица , равная ее транспонированной, т.е. , является симметричной матрицей . Если вместо , то называется кососимметричной матрицей . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle A}$

Для комплексной квадратной матрицы часто подходящим аналогом транспонирования является сопряженное транспонирование , определяемое как транспонирование комплексно-сопряженного числа . Комплексная квадратная матрица, удовлетворяющая условиям , называется эрмитовой матрицей . Если вместо , то называется косоэрмитовой матрицей . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}=A}$ ${\displaystyle A^{*}=-A}$ ${\displaystyle A}$

По спектральной теореме вещественные симметричные (или комплексные эрмитовы) матрицы имеют ортогональный (или унитарный) собственный базис ; т. е. каждый вектор выражается как линейная комбинация собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения действительны. ^[3]

Определенная матрица

Симметричная n × n -матрица называется положительно-определенной (соответственно отрицательно-определенной; неопределенной), если для всех векторов соответствующая ей квадратичная форма принимает только положительные значения (соответственно только отрицательные значения; как некоторые отрицательные, так и некоторые положительные значения) . ^[4] Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно только неположительные) значения, то симметричную матрицу называют положительно-полуопределенной (соответственно отрицательно-полуопределенной); следовательно, матрица является неопределенной именно тогда, когда она не является ни положительно-полуопределенной, ни отрицательно-полуопределенной. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }$$

Симметричная матрица является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны. ^[5] В таблице справа показаны две возможности для матриц 2×2.

Разрешение в качестве входных данных двух разных векторов вместо этого дает билинейную форму, связанную с A : ^[6] $${\displaystyle B_{A}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {y} .}$$

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица — это квадратная матрица с вещественными элементами, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами (т. е. ортонормированными векторами). Эквивалентно, матрица A является ортогональной, если ее транспонирование равно обратному : что означает , что I — единичная матрица . $${\displaystyle A^{\textsf {T}}=A^{-1},}$$ $${\displaystyle A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,}$$

Ортогональная матрица A обязательно обратима (с обратным A ⁻¹ = A ^T ), унитарна ( A ⁻¹ = A * ) и нормальна ( A * A = AA * ). Определитель любой ортогональной матрицы равен +1 или -1. Специальная ортогональная группа состоит из ортогональных матриц размера n × n с определителем +1. ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица .

Нормальная матрица

Действительная или комплексная квадратная матрица называется нормальной , если . Если действительная квадратная матрица симметрична, кососимметрична или ортогональна, то она нормальна. Если комплексная квадратная матрица является эрмитовой, косоэрмитовой или унитарной, то она нормальна. Нормальные матрицы представляют интерес главным образом потому, что они включают только что перечисленные типы матриц и образуют самый широкий класс матриц, для которых справедлива спектральная теорема . ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$

Операции

След

След tr ( A ) квадратной матрицы A представляет собой сумму ее диагональных элементов. Хотя умножение матриц не является коммутативным, след произведения двух матриц не зависит от порядка множителей: Это непосредственно следует из определения умножения матриц: Кроме того, след матрицы равен следу ее транспонирования, т.е. , $${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).}$$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).}$$

Определитель

Линейное преобразование по заданной указанной матрице. Определитель этой матрицы равен -1, так как площадь зеленого параллелограмма справа равна 1, но карта меняет ориентацию на противоположную , поскольку она меняет ориентацию векторов против часовой стрелки на ориентацию по часовой стрелке. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Определитель квадратной матрицы — это число , кодирующее определенные свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Его абсолютное значение равно площади (в ) или объему (в ) изображения единичного квадрата (или куба), а его знак соответствует ориентации соответствующей линейной карты: определитель положителен тогда и только тогда, когда ориентация сохранился. ${\displaystyle \det(A)}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Определитель матриц 2×2 имеет вид Определитель матриц 3×3 состоит из 6 членов ( правило Сарруса ). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы на все измерения. ^[8] $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$$

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей: ^[9] Добавление кратного числа любой строки в другую строку или кратного числа любого столбца в другой столбец не меняет определитель. Перестановка двух строк или двух столбцов влияет на определитель, умножая его на -1. ^[10] С помощью этих операций любую матрицу можно преобразовать в нижнюю (или верхнюю) треугольную матрицу, и для таких матриц определитель равен произведению элементов на главной диагонали; это обеспечивает метод вычисления определителя любой матрицы. Наконец, разложение Лапласа выражает определитель через миноры , т. е. определители меньших матриц. ^[11] Это расширение можно использовать для рекурсивного определения определителей (взяв в качестве исходного случая определитель матрицы 1×1, который является ее уникальным элементом, или даже определитель матрицы 0×0, который равен 1), можно считать, что это эквивалентно формуле Лейбница. Определители можно использовать для решения линейных систем с использованием правила Крамера , где деление определителей двух связанных квадратных матриц приравнивается к значению каждой из переменных системы. ^[12] $${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}$$

Собственные значения и собственные векторы

Число λ и ненулевой вектор, удовлетворяющие условиям, называются собственным значением и собственным вектором соответственно . ^{[13] [14]} Число λ является собственным значением n × n -матрицы A тогда и только тогда, когда A − λ I _n не обратимо, что эквивалентно [ ^15] Многочлен p _A в неопределенном X , заданном формулой вычисление определителя det ( XI _n − A ) называется характеристическим полиномом A . Это монический полином степени n . Следовательно, полиномиальное уравнение p _A (λ) = 0 имеет не более n различных решений, т. е. собственных значений матрицы. ^[16] Они могут быть сложными, даже если элементы A реальны. Согласно теореме Кэли-Гамильтона , p _A ( A ) = 0 , то есть результат подстановки самой матрицы в собственный характеристический полином дает нулевую матрицу . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$$

Смотрите также

• Матрица Картана

Примечания

1. Браун 1991, Определение I.2.28.
2. Браун 1991, Определение I.5.13.
3. Хорн и Джонсон 1985, Теорема 2.5.6.
4. Хорн и Джонсон 1985, Глава 7
5. Хорн и Джонсон 1985, Теорема 7.2.1.
6. Horn & Johnson 1985, пример 4.0.6, с. 169
7. Артин, Алгебра , 2-е издание, Пирсон, 2018, раздел 8.6.
8. Браун 1991, Определение III.2.1
9. Браун 1991, Теорема III.2.12.
10. Браун 1991, следствие III.2.16
11. Мирский 1990, Теорема 1.4.1.
12. Браун 1991, Теорема III.3.18.
13. Eigen означает «собственный» на немецком и голландском языках .
14. Браун 1991, Определение III.4.1
15. Браун 1991, Определение III.4.9
16. Браун 1991, следствие III.4.10

Рекомендации

• Браун, Уильям К. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер , ISBN 978-0-8247-8419-5
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-38632-6
• Мирский, Леонид (1990), Введение в линейную алгебру, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с квадратными матрицами, на Викискладе?