В геометрии квадратная мозаика , квадратная мозаика или квадратная сетка — это правильная мозаика евклидовой плоскости . Он имеет символ Шлефли {4,4}, что означает, что вокруг каждой вершины есть 4 квадрата . Конвей назвал это кадрилью .
Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, поэтому четыре квадрата в одной точке составляют полные 360 градусов. Это одно из трех правильных замощений плоскости . Два других — это треугольная мозаика и шестиугольная мозаика .
Существует 9 различных однородных раскрасок квадратной мозаики. Именование цветов по индексам на 4 квадратах вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. (i) случаи имеют простое отражение симметрия и (ii) симметрия скользящего отражения. Три можно увидеть в той же области симметрии, что и приведенные раскраски: 1112 i из 1213, 1123 i из 1234 и 1112 ii , уменьшенную из 1123 ii .
Это замощение топологически связано как часть последовательности правильных многогранников и замощений, простирающихся в гиперболическую плоскость : {4,p}, p=3,4,5...
Это замощение также топологически связано как часть последовательности правильных многогранников и замощений с четырьмя гранями на вершину, начиная с октаэдра , с символом Шлефли {n, 4} и диаграммой Коксетера.
, где n стремится к бесконечности.
Как и в случае с однородными многогранниками, существует восемь однородных мозаик , которые могут быть основаны на правильной квадратной мозаике.
При рисовании плиток, окрашенных в красный цвет на исходных гранях, желтый в исходных вершинах и синий по исходным краям, все восемь форм различны. Однако при одинаковом рассмотрении граней существует только три топологически различных формы: квадратная мозаика , усеченная квадратная мозаика , курносая квадратная мозаика .
Можно построить и другие четырехугольные мозаики, топологически эквивалентные квадратным мозаикам (4 квадрата вокруг каждой вершины).
Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани ( грань-транзитивность ) и вершинную транзитивность , существует 18 вариаций, из которых 6 идентифицируются как треугольники, не соединяющие ребра, или как четырехугольник с двумя коллинеарными ребрами. Данная симметрия предполагает, что все лица одного цвета. [1]
Квадратную мозаику можно использовать как упаковку кругов , размещая круги одинакового диаметра в центре каждой точки. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки ( число поцелуя ). [2] Плотность упаковки составляет π/4=78,54% покрытия. Имеются 4 однородные расцветки круглых упаковок.
Есть 3 правильных сложных апейрогона , разделяющих вершины квадратной мозаики. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены следующим образом: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Ребра имеют p вершин, а фигуры вершин являются r -угольными. [3]
