Квадратно-интегрируемая функция

Функция, квадрат абсолютного значения которой имеет конечный интеграл

В математике функция , суммируемая с квадратом , также называемая функцией, суммируемой с квадратом , или функцией , суммируемой с квадратом , ^[1] представляет собой измеримую функцию с действительным или комплексным знаком , для которой интеграл квадрата абсолютного значения конечен. Таким образом, квадратично-интегрируемость на вещественной прямой определяется следующим образом. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{ square integrable}}\quad \iff \quad \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

Можно также говорить о квадратичной интегрируемости по ограниченным интервалам, таким как . ^[2] ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a\leq b}$

${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} {\text{ square integrable on }}[a,b]\quad \iff \quad \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

Эквивалентное определение состоит в том, чтобы сказать, что квадрат самой функции (а не ее абсолютного значения) интегрируем по Лебегу . Чтобы это было правдой, интегралы от положительных и отрицательных частей действительной части должны быть конечными, как и от мнимой части.

Векторное пространство (классов эквивалентности) функций, интегрируемых с квадратом (относительно меры Лебега), образует пространство с Среди пространств класс функций, интегрируемых с квадратом, уникален тем, что он совместим со скалярным произведением , что допускает такие понятия, как угол и ортогональность. быть определенным. Наряду с этим скалярным произведением интегрируемые с квадратом функции образуют гильбертово пространство , поскольку все пространства полны относительно своих соответствующих -норм . ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=2.}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Часто термин используется не для обозначения конкретной функции, а для классов эквивалентности функций, равных почти всюду .

Характеристики

Интегрируемые с квадратом функции (в упомянутом смысле, в котором «функция» на самом деле означает класс эквивалентности функций, которые равны почти всюду) образуют пространство внутреннего продукта с внутренним продуктом, определяемым выражением

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x}$$

• ${\displaystyle f}$и являются квадратично интегрируемыми функциями, ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$представляет собой комплексное сопряжение ${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle A}$— это множество, по которому интегрируется — в первом определении (данном во введении выше) есть , во втором — есть . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Поскольку , квадратичная интегрируемость - это то же самое, что сказать ${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$

$${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

Можно показать, что функции, интегрируемые с квадратом, образуют полное метрическое пространство относительно метрики, индуцированной скалярным произведением, определенным выше. Полное метрическое пространство также называется пространством Коши , поскольку последовательности в таких метрических пространствах сходятся тогда и только тогда, когда они являются Коши . Пространство, полное относительно метрики, индуцированной нормой, является банаховым пространством . Следовательно, пространство суммируемых с квадратом функций является банаховым пространством при метрике, индуцированной нормой, которая, в свою очередь, индуцируется скалярным произведением. Поскольку у нас есть дополнительное свойство скалярного произведения, это именно гильбертово пространство , поскольку пространство полно относительно метрики, индуцированной скалярным произведением.

Это пространство внутреннего продукта обычно обозначается и часто сокращается как Примечание, которое обозначает набор функций, интегрируемых с квадратом, но этим обозначением не определяется выбор метрики, нормы или внутреннего продукта. Набор вместе с конкретным внутренним продуктом определяет пространство внутреннего продукта. ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$ ${\displaystyle L_{2}.}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$

Пространством функций, интегрируемых с квадратом, называется пространство , в котором ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=2.}$

Примеры

Функция , определенная на, подходит для, но не для ^[1] Функция , определенная на , интегрируется с квадратом. ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$ ${\displaystyle (0,1),}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle [1,\infty ),}$

Ограниченные функции, определенные на, интегрируются с квадратом. Эти функции также доступны для любого значения ^[3] ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle p.}$

Непримеры

Функция определена, где значение at является произвольным. Более того, эта функция не подходит ни для одного значения в ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\infty ).}$

Смотрите также

• Внутреннее пространство продукта
• ${\displaystyle L^{p}}$пространство  - функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p.

Рекомендации

1. Тодд, Роуленд. «L^2-функция». MathWorld — веб-ресурс Wolfram .
2. Джованни Сансоне (1991). Ортогональные функции . Дуврские публикации. стр. 1–2. ISBN 978-0-486-66730-0.
3. «Функции Lp» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2020 г. Проверено 16 января 2020 г.