Стандартное пространство Бореля

Математическое построение в топологии

В математике стандартное борелевское пространство — это борелевское пространство, связанное с польским пространством . За исключением случая дискретных польских пространств, стандартное борелевское пространство уникально с точностью до изоморфизма измеримых пространств .

Формальное определение

Измеримое пространство называется «стандартным борелевским», если существует метрика , которая делает его полным сепарабельным метрическим пространством таким образом, что является борелевской σ-алгеброй . ^[1] Стандартные борелевские пространства обладают несколькими полезными свойствами, которые не выполняются для общих измеримых пространств. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Характеристики

• Если и являются стандартными борелевскими, то любое биективное измеримое отображение является изоморфизмом (то есть обратное отображение также измеримо). Это следует из теоремы Суслина , поскольку множество, которое является как аналитическим , так и коаналитическим, обязательно является борелевским. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )}$
• Если и являются стандартными борелевскими пространствами, то измеримо тогда и только тогда, когда график является борелевским . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• Произведение и прямое объединение счетного семейства стандартных борелевских пространств являются стандартными.
• Каждая полная вероятностная мера на стандартном борелевском пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство .

Теорема Куратовского

Теорема . Пусть будет польским пространством , то есть топологическим пространством таким, что существует метрика на , которая определяет топологию и которая делает полное сепарабельное метрическое пространство. Тогда как борелевское пространство является борелевским изоморфным одному из (1) (2) или (3) конечного дискретного пространства. (Этот результат напоминает теорему Махарама .) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Отсюда следует, что стандартное борелевское пространство характеризуется с точностью до изоморфизма своей мощностью [ ^2] и что любое несчетное стандартное борелевское пространство имеет мощность континуума .

Изоморфизмы Бореля на стандартных борелевских пространствах аналогичны гомеоморфизмам на топологических пространствах : оба являются биективными и замкнутыми относительно композиции, а гомеоморфизм и его обратный являются оба непрерывными , а не оба измеримыми только по Борелю.

Смотрите также

• Измеримое пространство  – Базовый объект в теории меры; множество и сигма-алгебра

Ссылки

1. Mackey, GW (1957): Борелевская структура в группах и их дуальных. Trans. Am. Math. Soc. , 85, 134-165.
2. Шривастава, SM (1991), Курс по борелевским множествам , Springer Verlag , ISBN 0-387-98412-7