Изменение формы тензора

В полилинейной алгебре перестройка тензоров — это любая биекция между набором индексов тензора порядка и набором индексов тензора порядка , где . Использование индексов предполагает тензоры в координатном представлении относительно базиса. Координатное представление тензора можно рассматривать как многомерный массив, и поэтому биекция из одного набора индексов в другой представляет собой перестановку элементов массива в массив другой формы. Такая перестановка представляет собой особый вид линейного отображения между векторным пространством тензоров порядка и векторным пространством тензоров порядка. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L<M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

Определение

Для положительного целого числа обозначение относится к набору первых M положительных целых чисел. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,M\}}$

Для каждого целого числа , где для положительного целого числа , пусть обозначает -мерное векторное пространство над полем . Тогда существуют изоморфизмы векторного пространства (линейные отображения) ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 1\leq m\leq M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle I_{m}}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}&\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}I_{\pi _{2}}}\otimes F^{I_{\pi _{3}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}I_{\pi _{3}}}\otimes F^{I_{\pi _{2}}}\otimes F^{I_{\pi _{4}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\,\,\,\vdots \\&\simeq F^{I_{1}I_{2}\ldots I_{M}},\end{aligned}}}$$

где — любая перестановка , а — симметрическая группа элементов . С помощью этих (и других) изоморфизмов векторного пространства тензор можно интерпретировать несколькими способами как тензор порядка, где . ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{M}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\leq M}$

Координатное представление

Первый изоморфизм векторного пространства в списке выше, , дает координатное представление абстрактного тензора. Предположим, что каждое из векторных пространств имеет базис . Выражение тензора относительно этого базиса имеет вид где коэффициенты являются элементами . Координатное представление имеет вид где — стандартный базисный вектор . Это можно рассматривать как M -мерный массив, элементами которого являются коэффициенты . ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle \{v_{1}^{m},v_{2}^{m},\ldots ,v_{I_{m}}^{m}\}}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}v_{i_{1}}^{1}\otimes v_{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes v_{i_{M}}^{M},}$$ ${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ $${\displaystyle \sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}\mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M},}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{m}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$ ${\displaystyle F^{I_{m}}}$ ${\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}}$

Общие уплощения

Для любой перестановки существует канонический изоморфизм между двумя тензорными произведениями векторных пространств и . Скобки обычно опускаются в таких произведениях из-за естественного изоморфизма между и , но, конечно, могут быть введены повторно, чтобы подчеркнуть определенную группировку факторов. В группировке есть группы с факторами в группе (где и ). ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{M}}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{M}}$ ${\displaystyle V_{\pi (1)}\otimes V_{\pi (2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (M)}}$ ${\displaystyle V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$ ${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}}$ $${\displaystyle (V_{\pi (1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{1})})\otimes (V_{\pi (r_{1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{2})})\otimes \cdots \otimes (V_{\pi (r_{L-1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{L})}),}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle r_{l}-r_{l-1}}$ ${\displaystyle l^{\text{th}}}$ ${\displaystyle r_{0}=0}$ ${\displaystyle r_{L}=M}$

Пусть для каждого удовлетворяющего , -уплощение тензора , обозначаемое , получается применением двух процессов выше в каждой из групп факторов. То есть, координатное представление группы факторов получается с использованием изоморфизма , который требует указания базисов для всех векторных пространств . Затем результат векторизуется с использованием биекции для получения элемента , где , произведение размерностей векторных пространств в группе факторов. Результатом применения этих изоморфизмов в каждой группе факторов является элемент , который является тензором порядка . ${\displaystyle S_{l}=(\pi (r_{l-1}+1),\pi (r_{l-1}+2),\ldots ,\pi (r_{l}))}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 1\leq l\leq L}$ ${\displaystyle (S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle l^{\text{th}}}$ ${\displaystyle (V_{\pi (r_{l-1}+1)}\otimes V_{\pi (r_{l-1}+2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{l})})\simeq (F^{I_{\pi (r_{l-1}+1)}}\otimes F^{I_{\pi (r_{l-1}+2)}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi (r_{l})}})}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle \mu _{l}:[I_{\pi (r_{l-1}+1)}]\times [I_{\pi (r_{l-1}+2)}]\times \cdots \times [I_{\pi (r_{l})}]\to [I_{S_{l}}]}$ ${\displaystyle F^{I_{S_{l}}}}$ ${\textstyle I_{S_{l}}:=\prod _{i=r_{l-1}+1}^{r_{l}}I_{\pi (i)}}$ ${\displaystyle l^{\text{th}}}$ ${\displaystyle F^{I_{S_{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{S_{L}}}}$ ${\displaystyle L}$

Векторизация

С помощью биективного отображения изоморфизм векторного пространства между и строится посредством отображения , где для каждого натурального числа такого, что , вектор обозначает i -й стандартный базисный вектор . При таком преобразовании тензор просто интерпретируется как вектор в . Это известно как векторизация и аналогично векторизации матриц . Стандартный выбор биекции таков, что ${\displaystyle \mu :[I_{1}]\times \cdots \times [I_{M}]\to [I_{1}\cdots I_{M}]}$ ${\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$ ${\displaystyle F^{I_{1}\cdots I_{M}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \cdots \mathbf {e} _{i_{m}}^{m}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M}\mapsto \mathbf {e} _{\mu (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M})},}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq I_{1}\cdots I_{M}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle F^{i_{1}\cdots i_{M}}}$ ${\displaystyle F^{I_{1}\cdots I_{M}}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \operatorname {vec} ({\mathcal {A}})={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},1,\ldots ,1}&a_{1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}^{T},}$$

что согласуется с тем, как оператор двоеточия в Matlab и GNU Octave преобразует тензор более высокого порядка в вектор. В общем случае векторизация — это вектор . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [a_{\mu ^{-1}(i)}]_{i=1}^{I_{1}\cdots I_{M}}}$

Векторизация обозначается как или является -преобразованием, где и . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle vec({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{[:]}}$ ${\displaystyle [S_{1},S_{2}]}$ ${\displaystyle S_{1}=(1,2,\ldots ,M)}$ ${\displaystyle S_{2}=\emptyset }$

Режим-мСглаживание / Режим-мМатриксизация

Пусть будет координатным представлением абстрактного тензора относительно базиса. Модифицирование матрицы (также известное как уплощение ) представляет собой преобразование матрицы , в котором и . Обычно стандартное преобразование матрицы обозначается как ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle [S_{1},S_{2}]}$ ${\displaystyle S_{1}=(m)}$ ${\displaystyle S_{2}=(1,2,\ldots ,m-1,m+1,\ldots ,M)}$

$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{[m]}={\mathcal {A}}_{[S_{1},S_{2}]}}$$

Это изменение формы иногда называют matrixizing , matricizing , flattening или unfolding в литературе. Стандартный выбор для биекций — это тот, который согласуется с функцией reshape в Matlab и GNU Octave, а именно ${\displaystyle \mu _{1},\ \mu _{2}}$

$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{[m]}:={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},1,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\a_{1,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},2,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{1,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},I_{m},I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}}$$

Определение Матричная мода- m ^{: [1]} Матричная мода- m тензора определяется как матрица . Как показывает упорядочение в скобках, векторы-столбцы мода- m упорядочиваются путем прогонки всех других индексов мод через их диапазоны, причем меньшие индексы мод изменяются быстрее, чем большие; таким образом $${\displaystyle [{\mathbf {A} }_{[m]}]_{jk}=a_{i_{1}\dots i_{m}\dots i_{M}},\;\;{\text{ where }}j=i_{m}{\text{ and }}k=1+\sum _{n=0 \atop n\neq m}^{M}(i_{n}-1)\prod _{l=0 \atop l\neq m}^{n-1}I_{l}.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}\times ...I_{M}},}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{[m]}\in F^{I_{m}\times (I_{1}\dots I_{m-1}I_{m+1}\dots I_{M})}}$

Ссылки

1. Василеску, М. Алекс О. (2009), «Мультилинейная (тензорная) алгебраическая структура для компьютерной графики, компьютерного зрения и машинного обучения» (PDF) , Университет Торонто , стр. 21