В нестандартном анализе стандартная функция части — это функция от ограниченных (конечных) гипердействительных чисел до действительных чисел. Вкратце, стандартная функция части «округляет» конечное гипердействительное до ближайшего действительного. Она сопоставляет каждому такому гипердействительному единственное действительное число, бесконечно близкое к нему, т.е. бесконечно малое . Таким образом, она является математической реализацией исторической концепции равенства, введенной Пьером де Ферма [1] , а также трансцендентального закона однородности Лейбница .
Функция стандартной части была впервые определена Абрахамом Робинсоном , который использовал обозначение для стандартной части гиперреального числа (см. Robinson 1974). Эта концепция играет ключевую роль в определении концепций исчисления, таких как непрерывность, производная и интеграл, в нестандартном анализе . Последняя теория является строгой формализацией вычислений с бесконечно малыми . Стандартная часть x иногда называется его тенью . [2]
Нестандартный анализ имеет дело в первую очередь с парой , где гиперреальные числа являются упорядоченным расширением поля реальных чисел и содержат бесконечно малые числа в дополнение к реальным числам. В гиперреальной строке каждое действительное число имеет набор чисел (называемый монадой , или гало ) гиперреальных чисел, бесконечно близких к нему. Стандартная функция части сопоставляет конечному гиперреальному x , уникальное стандартное действительное число x 0 , которое бесконечно близко к нему. Связь выражается символически записью
Стандартная часть любой бесконечно малой величины равна 0. Таким образом, если N — бесконечное гипернатуральное число , то 1/ N — бесконечно малое число, и st(1/ N ) = 0.
Если гиперреальное представлено последовательностью Коши в ультрастепенной конструкции, то
В более общем случае каждое конечное множество определяет сечение Дедекинда на подмножестве (через полный порядок на ), а соответствующее действительное число является стандартной частью u .
Стандартная часть функции "st" не определяется внутренним множеством . Есть несколько способов объяснить это. Возможно, самый простой заключается в том, что ее область определения L, которая является набором ограниченных (т. е. конечных) гиперреальных чисел, не является внутренним множеством. А именно, поскольку L ограничено (например, любым бесконечным гиперестественным числом), L должно было бы иметь наименьшую верхнюю границу, если бы L было внутренним, но L не имеет наименьшей верхней границы. С другой стороны, диапазон "st" равен , который не является внутренним; на самом деле каждое внутреннее множество в , которое является подмножеством , обязательно конечно . [3]
Все традиционные понятия исчисления можно выразить через стандартную частичную функцию следующим образом.
Стандартная часть функции используется для определения производной функции f . Если f — действительная функция, а h — бесконечно малая, и если f ′( x ) существует, то
В качестве альтернативы, если , берется бесконечно малое приращение и вычисляется соответствующее . Формируется отношение . Затем производная определяется как стандартная часть отношения:
Если задана функция на , то интеграл определяется как стандартная часть бесконечной суммы Римана , когда значение берется бесконечно малым, используя гиперконечное разбиение интервала [ a , b ].
Если задана последовательность , ее предел определяется как , где — бесконечный индекс. Здесь говорят, что предел существует, если стандартная часть остается той же независимо от выбранного бесконечного индекса.
Действительная функция непрерывна в действительной точке тогда и только тогда , когда композиция постоянна на гало . Подробнее см. микронепрерывность .
{{cite journal}}
: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )