Звездная доработка

В математике , особенно при изучении топологии и открытых покрытий топологического пространства X , звездное уточнение — это особый вид уточнения открытого покрытия X. Родственной концепцией является понятие барицентрического уточнения .

Звездные уточнения используются в определении полностью нормального пространства и в одном определении однородного пространства . Это также полезно для определения характеристики паракомпактности .

Определения

Общее определение имеет смысл для произвольных покрытий и не требует топологии. Пусть это множество и пусть это покрытие есть . Учитывая подмножество звезды относительно есть объединение всех пересекающихся множеств , то есть, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle X=\bigcup {\mathcal {U}}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle S,}$ $${\displaystyle \operatorname {st} (S,{\mathcal {U}})=\bigcup {\big \{}U\in {\mathcal {U}}:S\cap U\neq \varnothing {\big \}}.}$$

Учитывая точку, мы пишем вместо ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle \operatorname {st} (\{x\},{\mathcal {U}}).}$

Покрытие является уточнением покрытия , если каждое содержится в некотором. Ниже приведены два специальных вида уточнения. Покрытие называется барицентрическим уточнением , если для каждой звезды содержится в некотором ^{[1] [2]} Покрытие называется звездным уточнением , если для каждой звезды содержится в некотором ^{[3] [2]} ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {st} (x,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {st} (U,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}.}$

Свойства и примеры

Каждое звездное уточнение покрытия является барицентрическим уточнением этого покрытия. Обратное неверно, но барицентрическое уточнение барицентрического уточнения является звездным уточнением. ^{[4] [5] [6] [7]}

Пусть дано метрическое пространство — совокупность всех открытых шаров фиксированного радиуса. Коллекция представляет собой барицентрическое уточнение, а совокупность — звездное уточнение ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{B_{\epsilon }(x):x\in X\}}$ ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$ ${\displaystyle \epsilon >0.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{B_{\epsilon /2}(x):x\in X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{B_{\epsilon /3}(x):x\in X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}.}$

Смотрите также

• Семейство наборов  – любая коллекция наборов или подмножеств набора.

Примечания

1. Дугунджи 1966, Определение VIII.3.1, с. 167.
2. Уиллард 2004, Определение 20.1.
3. Дугунджи 1966, Определение VIII.3.3, с. 167.
4. Дугунджи 1966, Предложение VIII.3.4, с. 167.
5. Уиллард 2004, Задача 20B.
6. «Барицентрическое уточнение барицентрического уточнения - это звездное уточнение» . Математический обмен стеками .
7. Брандсма, Хенно (2003). «О паракомпактности, полной нормальности и тому подобном» (PDF) .

Рекомендации

• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.