Звездный домен

Свойство точечных множеств в евклидовых пространствах

Звездная область (эквивалентно звездно-выпуклое или звездообразное множество) не обязательно является выпуклой в обычном смысле.

Кольцо не является звездообразной областью.

В геометрии множество в евклидовом пространстве называется звездной областью (или звездно-выпуклым множеством , звездообразным множеством ^[1] или радиально выпуклым множеством ), если существует такое , что для всех отрезок от до лежит в Это определение немедленно обобщается на любое действительное или комплексное векторное пространство . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S.}$

Интуитивно, если представить себе область, окруженную стеной, то это звездная область, если можно найти точку обзора в , из которой любая точка в находится в пределах прямой видимости. Похожая, но отличная, концепция — это радиальное множество . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$

Определение

Для двух точек и в векторном пространстве (например, евклидовом пространстве ) выпуклая оболочка называется замкнутым интервалом с конечными точками и и обозначается как , где для каждого вектора ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \left[x,y\right]~:=~\left\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\right\}~=~x+(y-x)[0,1],}$$ ${\displaystyle z[0,1]:=\{zt:0\leq t\leq 1\}}$ ${\displaystyle z.}$

Подмножество векторного пространства называется звездообразным в , если для любого замкнутого интервала Множество является звездообразным и называется звездной областью, если существует некоторая точка такая, что является звездообразным в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle \left[s_{0},s\right]\subseteq S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{0}.}$

Множество, имеющее форму звезды в начале координат, иногда называют звездным множеством . ^[2] Такие множества тесно связаны с функционалами Минковского .

Примеры

• Любая линия или плоскость является звездной областью. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Линия или плоскость с удаленной одной точкой не является звездной областью.
• Если — множество в множестве, полученном путем соединения всех точек с началом координат, — это звездная область. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle A}$
• Крестообразная фигура является звездной областью, но не является выпуклой.
• Звездчатый многоугольник — это звездообразная область, граница которой представляет собой последовательность соединенных отрезков прямых.

Характеристики

• Выпуклость : любое непустое выпуклое множество является звездной областью. Множество является выпуклым тогда и только тогда, когда оно является звездной областью относительно каждой точки в этом множестве.
• Замыкание и внутренняя часть: Замыкание звездного домена является звездным доменом, но внутренняя часть звездного домена не обязательно является звездным доменом.
• Стягивание : Каждая звездная область является стягиваемым множеством посредством прямолинейной гомотопии . В частности, любая звездная область является односвязным множеством.
• Сжатие : Каждый звездный домен, и только звездный домен, может быть «сжат в себя»; то есть для каждого коэффициента расширения звездный домен может быть расширен в таком соотношении, что расширенный звездный домен будет содержаться в исходном звездном домене. ^[3] ${\displaystyle r<1,}$ ${\displaystyle r}$
• Объединение и пересечение : Объединение или пересечение двух звездных доменов не обязательно является звездным доменом.
• Баланс : заданный набор (где пробегает все скаляры единичной длины ) является сбалансированным набором , если имеет форму звезды в начале координат (это означает, что и для всех и ). ${\displaystyle W\subseteq X,}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in W}$ ${\displaystyle rw\in W}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle w\in W}$
• Диффеоморфизм : Непустая открытая звездная область в диффеоморфна ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• Бинарные операторы: Если и являются звездными доменами, то таковыми являются декартово произведение и сумма . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A+B}$
• Линейные преобразования : Если — звездообразная область, то таковой является и каждое линейное преобразование . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Смотрите также

• Абсолютно выпуклое множество  – Выпуклое и сбалансированное множество
• Поглощающий набор  – набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
• Задача о художественной галерее  – Математическая задача
• Сбалансированный набор  – Построение в функциональном анализе
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  – Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество  — в геометрии множество, пересечение которого с каждой прямой представляет собой один отрезок прямой.
• Функционал Минковского  – Функция, созданная из множества
• Радиальный набор
• Звездчатый многоугольник  – Правильный невыпуклый многоугольник
• Симметричное множество  – Свойство групповых подмножеств (математика)
• Предпочтения в форме звезды

Ссылки

1. Брага де Фрейтас, Синвал; Оррильо, Хайме; Соса, Вильфредо (01 ноября 2020 г.). «От условия Эрроу – Дебре к предпочтениям формы звезды». Оптимизация . 69 (11): 2405–2419. дои : 10.1080/02331934.2019.1576664. ISSN  0233-1934.
2. Шехтер 1996, стр. 303.
3. Драммонд-Коул, Габриэль С. «Какие многоугольники можно сжать в себя?». Math Overflow . Получено 2 октября 2014 г.

• Ян Стюарт, Дэвид Толл, Комплексный анализ . Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-28763-4 , MR 0698076 
• CR Smith, Характеристика звездообразных множеств , American Mathematical Monthly , том 75, № 4 (апрель 1968 г.). стр. 386, MR 0227724, JSTOR  2313423
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.

Внешние ссылки

• Хамфрис, Алексис. "Звезда выпуклая". MathWorld .