В геометрии звездчатый многоугольник — это тип невыпуклого многоугольника . Правильные звездчатые многоугольники были глубоко изучены; в то время как звездчатые многоугольники в целом, по-видимому, не были формально определены, некоторые известные из них могут возникнуть посредством операций усечения правильных простых или звездчатых многоугольников.
Бранко Грюнбаум выделил два основных использования этой терминологии Иоганном Кеплером : одно из них соответствует правильным звездчатым многоугольникам с пересекающимися ребрами , которые не порождают новых вершин, а другое — изотоксальным вогнутым простым многоугольникам . [1]
Полиграммы включают многоугольники, такие как пентаграмма , а также составные фигуры, такие как гексаграмма .
Одно из определений звездчатого многоугольника , используемое в черепашьей графике , — это многоугольник, имеющий q ≥ 2 поворотов ( q называется числом поворотов или плотностью ), как в спиролатералях . [2]
Названия звездных многоугольников объединяют числовую приставку , например, penta- , с греческим суффиксом -gram (в этом случае образуя слово pentagram ). Префикс обычно является греческим кардинальным , но существуют синонимы, использующие другие префиксы. Например, девятиконечный многоугольник или эннеаграмма также известен как нонаграмма , используя порядковое числительное nona из латинского . [ необходима цитата ] Суффикс -gram происходит от γραμμή ( grammḗ ), что означает линию. [3] Название звездный многоугольник отражает сходство этих форм с дифракционными шипами реальных звезд.
Правильный звездчатый многоугольник — это самопересекающийся, равносторонний и равноугольный многоугольник .
Правильный звездчатый многоугольник обозначается символом Шлефли { p / q }, где p (число вершин) и q ( плотность ) являются взаимно простыми числами (не имеют общих множителей) и где q ≥ 2. Плотность многоугольника также можно назвать его числом поворота : суммой углов поворота всех вершин, деленной на 360°.
Группа симметрии { p / q } — это диэдральная группа Dp порядка 2p , не зависящая от q .
Правильные звездчатые многоугольники впервые были систематически изучены Томасом Брэдвардином , а позднее Иоганном Кеплером . [4]
Правильные звездчатые многоугольники можно создать, соединив одну вершину правильного p -стороннего простого многоугольника с другой вершиной, не смежной с первой, и продолжая процесс до тех пор, пока исходная вершина не будет достигнута снова. [5] В качестве альтернативы, для целых чисел p и q его можно рассматривать как построенный путем соединения каждой q -й точки из p точек, равномерно расположенных в круговом размещении. [6] Например, в правильном пятиугольнике пятиконечную звезду можно получить, проведя линию из 1-й в 3-ю вершину, из 3-й в 5-ю вершину, из 5-й во 2-ю вершину, из 2-й в 4-ю вершину и из 4-й в 1-ю вершину.
Если q ≥ p /2, то построение { p / q } приведет к тому же многоугольнику, что и { p /( p − q )}; соединение каждой третьей вершины пятиугольника даст идентичный результат, что и соединение каждой второй вершины. Однако вершины будут достигнуты в противоположном направлении, что имеет значение, когда ретроградные многоугольники включаются в многогранники более высокой размерности. Например, антипризма, образованная из прямой пентаграммы {5/2}, приводит к пентаграммической антипризме ; аналогичное построение из ретроградной «перекрещенной пентаграммы» {5/3} приводит к пентаграммической перекрещенной антипризме . Другим примером является тетрагемигексаэдр , который можно рассматривать как «перекрещенный треугольник» {3/2} куплоид .
Если p и q не являются взаимно простыми, то получится вырожденный многоугольник с совпадающими вершинами и ребрами. Например, {6/2} будет выглядеть как треугольник, но может быть помечен двумя наборами вершин: 1-3 и 4-6. Это следует рассматривать не как два перекрывающихся треугольника, а как двойной завиток одиночного уникурсального шестиугольника. [7] [8]
В качестве альтернативы правильный звездчатый многоугольник также может быть получен как последовательность звёздчатых форм выпуклого правильного основного многоугольника. Конструкции, основанные на звёздчатости, также позволяют получать правильные многоугольные соединения в случаях, когда плотность q и количество вершин p не являются взаимно простыми. Однако при построении звёздчатых многоугольников из звёздчатости, если q > p /2, линии будут расходиться бесконечно, а если q = p /2, линии будут параллельны, и в обоих случаях не будет дальнейшего пересечения в евклидовом пространстве. Однако, возможно, удастся построить некоторые такие многоугольники в сферическом пространстве, подобно моногону и двуугольнику ; такие многоугольники, по-видимому, ещё не были подробно изучены.
Если удалить пересекающиеся отрезки прямых из правильного звездчатого n -угольника, то полученная фигура перестанет быть правильной, а может рассматриваться как изотоксальный вогнутый простой 2 n -угольник, чередующийся с вершинами на двух разных радиусах. Бранко Грюнбаум в своей книге Tilings and patterns представляет такую звезду, которая соответствует контуру правильной полиграммы { n / d }, как | n / d |, или, в более общем смысле, с помощью { n 𝛼 }, что обозначает изотоксальный вогнутый или выпуклый простой 2 n -угольник с внешним внутренним углом 𝛼.
Эти многоугольники часто встречаются в узорах мозаики. Параметрический угол 𝛼 (в градусах или радианах) можно выбрать так, чтобы он соответствовал внутренним углам соседних многоугольников в узоре мозаики. В своей работе 1619 года Harmonices Mundi среди периодических мозаик Иоганн Кеплер включает непериодические мозаики, такие как мозаика с тремя правильными пятиугольниками и одним правильным звездчатым пятиугольником, расположенными вокруг определенных вершин, 5.5.5.5/2, и связанные с современными мозаиками Пенроуза . [9]
Внутренность звездчатого многоугольника может быть обработана по-разному. Три таких обработки проиллюстрированы для пентаграммы. Бранко Грюнбаум и Джеффри Шепард рассматривают две из них, как правильные звездчатые n -угольники и как изотоксальные вогнутые простые 2 n -угольники. [9]
Эти три метода лечения:
При вычислении площади многоугольника каждый из этих подходов дает разный результат.
Звездчатые многоугольники занимают видное место в искусстве и культуре. Такие многоугольники могут быть правильными или нет , но они всегда высоко симметричны . Вот некоторые примеры: