Стационарные приращения

В теории вероятностей говорят , что стохастический процесс имеет стационарные приращения , если его изменение зависит только от временного интервала наблюдения, но не от времени начала наблюдения. Многие большие семейства стохастических процессов имеют стационарные приращения либо по определению (например, процессы Леви ), либо по построению (например, случайные блуждания ).

Определение

Стохастический процесс имеет стационарные приращения, если для всех и распределение случайных величин ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle Y_{t,h}:=X_{t+h}-X_{t}}$

зависит только от и не зависит от . ^{[1] [2]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$

Примеры

Наличие стационарных приращений является определяющим свойством для многих больших семейств стохастических процессов, таких как процессы Леви . Будучи специальными процессами Леви, как винеровский процесс , так и пуассоновский процесс имеют стационарные приращения. Другие семейства стохастических процессов, такие как случайные блуждания, имеют стационарные приращения по построению.

Примером стохастического процесса со стационарными приращениями, который не является процессом Леви, является , где являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, следующими нормальному распределению со средним значением ноль и дисперсией один. Тогда приращения независимы от , поскольку они имеют нормальное распределение со средним значением ноль и дисперсией два. В этом особом случае приращения независимы даже от длительности самого наблюдения. ${\displaystyle X=(X_{t})}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle Y_{t,h}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle h}$

Обобщенное определение для сложных индексных наборов

Концепция стационарных приращений может быть обобщена на случайные процессы с более сложными наборами индексов . Пусть будет случайным процессом, набор индексов которого замкнут относительно сложения. Тогда он имеет стационарные приращения, если для любого , случайные величины ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p,q,r\in T}$

${\displaystyle Y_{1}=X_{p+q+r}-X_{q+r}}$

и

${\displaystyle Y_{2}=X_{p+r}-X_{r}}$

имеют идентичные распределения. Если достаточно рассмотреть . ^[1] ${\displaystyle 0\in T}$ ${\displaystyle r=0}$

Ссылки

1. Klenke, Achim (2008). Теория вероятностей . Berlin: Springer. стр. 190. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
2. Калленберг, Олав (2002). Основы современной теории вероятностей (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 290.