Номер палки

Наименьшее количество ребер эквивалентного полигонального пути для узла

Узел тора 2,3 (или трилистник) имеет число палочек, равное шести.

В математической теории узлов число палок — это инвариант узла , который интуитивно дает наименьшее число прямых «палок», соединенных друг с другом, необходимое для образования узла. В частности, для любого узла число палок , обозначаемое как , — это наименьшее число ребер многоугольного пути , эквивалентного . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {stick} (K)}$ ${\displaystyle K}$

Известные значения

Шесть — наименьшее число палок для любого нетривиального узла. Существует несколько узлов, число палок которых можно определить точно. Гё Тэк Джин определил число палок для узла a - тора в случае, если параметры и не слишком далеки друг от друга: ^[1] ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle T(p,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \operatorname {stick} (T(p,q))=2q}$, если ${\displaystyle 2\leq p<q\leq 2p.}$

Тот же результат был получен независимо примерно в то же время исследовательской группой Колина Адамса , но для меньшего диапазона параметров. ^[2]

Границы

Квадратный узел = трилистник + отражение трилистника.

Число палочек суммы узлов может быть ограничено сверху числами палочек слагаемых: ^[3] $${\displaystyle {\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leq {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3\,}$$

Связанные инварианты

Число прутьев узла связано с числом его пересечений следующими неравенствами: ^[4] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle c(K)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\text{c}}(K)+1}})\leq {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}(c(K)+1).}$$

Оба эти неравенства строги для узла-трилистника , у которого число пересечений равно 3, а число палочек — 6.

Ссылки

Примечания

1. Джин 1997
2. Адамс и др. 1997
3. Адамс и др. 1997, Джин 1997
4. Негами 1991, Кальво 2001, Ха и О 2011

Вводный материал

• Адамс, CC (май 2001 г.), «Зачем завязывать узел: узлы, молекулы и числа палочек», журнал Plus Magazine. Доступное введение в тему, также для читателей с небольшой математической подготовкой.
• Адамс, CC (2004), Книга узлов: Элементарное введение в математическую теорию узлов , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3678-1.

Научные статьи

• Адамс, Колин К .; Бреннан, Бевин М.; Грейлшаймер, Дебора Л.; Ву, Александр К. (1997), «Числа палочек и состав узлов и связей», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 6 (2): 149–161, doi :10.1142/S0218216597000121, MR  1452436
• Кальво, Хорхе Альберто (2001), «Геометрические пространства узлов и полигональная изотопия», Журнал теории узлов и ее последствий , 10 (2): 245–267, arXiv : math/9904037 , doi :10.1142/S0218216501000834, MR  1822491
• Эдди, Томас Д.; Шонквилер, Клейтон (2019), Новые границы числа палочек из случайной выборки ограниченных полигонов , arXiv : 1909.00917
• Джин, Гё Тэк (1997), «Индексы полигонов и индексы супермостов торических узлов и связей», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 6 (2): 281–289, doi :10.1142/S0218216597000170, MR  1452441
• Негами, Сейя (1991), «Теоремы Рамсея для узлов, связей и пространственных графов», Труды Американского математического общества , 324 (2): 527–541, doi : 10.2307/2001731 , MR  1069741
• Ха, Ёнсик; О, Сынсан (2011), «Верхняя граница количества узлов на палке», Журнал теории узлов и ее последствий , 20 (5): 741–747, arXiv : 1512.03592 , doi : 10.1142/S0218216511008966, MR  2806342

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Число палочек», MathWorld
• «Число палочек для минимального количества узлов», сайт исследований и разработок KnotPlot .