Стохастическое исчисление — это раздел математики , который оперирует случайными процессами . Он позволяет определить последовательную теорию интегрирования для интегралов случайных процессов относительно случайных процессов. Эта область была создана и начата японским математиком Киёси Ито во время Второй мировой войны .
Наиболее известным стохастическим процессом, к которому применяется стохастическое исчисление, является процесс Винера (названный в честь Норберта Винера ), который используется для моделирования броуновского движения , описанного Луи Башелье в 1900 году и Альбертом Эйнштейном в 1905 году, а также других физических процессов диффузии в пространстве частиц, подверженных воздействию случайных сил. С 1970-х годов процесс Винера широко применяется в финансовой математике и экономике для моделирования эволюции во времени цен акций и процентных ставок по облигациям.
Основными разновидностями стохастического исчисления являются исчисление Ито и его вариационное родственное исчисление Маллявэна . По техническим причинам интеграл Ито наиболее полезен для общих классов процессов, но связанный с ним интеграл Стратоновича часто полезен при формулировке задач (особенно в инженерных дисциплинах). Интеграл Стратоновича можно легко выразить через интеграл Ито, и наоборот. Главное преимущество интеграла Стратоновича состоит в том, что он подчиняется обычному правилу цепочки и, следовательно, не требует леммы Ито . Это позволяет выражать проблемы в инвариантной относительно системы координат форме, что бесценно при разработке стохастического исчисления на многообразиях, отличных от R n . Теорема о доминирующей сходимости не верна для интеграла Стратоновича; следовательно, очень трудно доказать результаты без повторного выражения интегралов в форме Ито.
Интеграл Ито является центральным для изучения стохастического исчисления. Интеграл определяется для полумартингала X и локально ограниченного предсказуемого процесса H. [ необходима ссылка ]
Интеграл Стратоновича или интеграл Фиска–Стратоновича семимартингала по другому семимартингалу Y можно определить через интеграл Ито как
где [ X , Y ] t c обозначает необязательную квадратичную ковариацию непрерывных частей X и Y , которая представляет собой необязательную квадратичную ковариацию за вычетом скачков процессов и , т.е.
Альтернативная запись
также используется для обозначения интеграла Стратоновича.
Важное применение стохастического исчисления — в математических финансах , где часто предполагается, что цены активов следуют стохастическим дифференциальным уравнениям . Например, модель Блэка-Шоулза оценивает опционы так, как будто они следуют геометрическому броуновскому движению , иллюстрируя возможности и риски применения стохастического исчисления.
Помимо классических интегралов Ито и Фиска–Стратоновича, существует множество различных понятий стохастических интегралов, таких как интеграл Хицуды–Скорохода , интеграл Маркуса, интеграл Огавы и другие.
![{\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d114cfa898ce74dfe2012e84aa6f63bab93c7db)
![{\displaystyle \left[X,Y\right]_{t}^{c}:=[X,Y]_{t}-\sum \limits _{s\leq t}\Delta X_{s}\Delta Y_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970cea5a9194d4786fdd4991327b6bfc62928ebd)
