Стохастическое упорядочение

В теории вероятностей и статистике стохастический порядок количественно определяет концепцию того, что одна случайная величина «больше» другой. Обычно это частичные порядки , так что одна случайная величина не может быть ни стохастически больше, ни меньше, ни равна другой случайной величине . Существует много различных порядков, которые имеют различные применения. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Обычный стохастический порядок

Действительная случайная величина меньше случайной величины в «обычном стохастическом порядке», если ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Pr(A>x)\leq \Pr(B>x){\text{ for all }}x\in (-\infty ,\infty ),}$

где обозначает вероятность события. Иногда обозначается или . ${\displaystyle \Pr(\cdot )}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle A\leq _{\mathrm {st} }B}$

Если дополнительно для некоторых , то стохастически строго меньше , иногда обозначается . В теории принятия решений при этом обстоятельстве говорят , что B является стохастически доминирующим первого порядка над A . ${\displaystyle \Pr(A>x)<\Pr(B>x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\prec B}$

Характеристика

Следующие правила описывают ситуации, когда одна случайная величина стохастически меньше или равна другой. Строгие версии некоторых из этих правил также существуют.

1. ${\displaystyle A\preceq B}$тогда и только тогда, когда для всех неубывающих функций , . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [u(A)]\leq \operatorname {E} [u(B)]}$
2. Если не убывает и тогда ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle u(A)\preceq u(B)}$
3. Если возрастает по каждой переменной и и являются независимыми наборами случайных величин с для каждого , то и, в частности , Более того, статистики -го порядка удовлетворяют . ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u(A_{1},\dots ,A_{n})\preceq u(B_{1},\dots ,B_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}\preceq \sum _{i=1}^{n}B_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{(i)}\preceq B_{(i)}}$
4. Если две последовательности случайных величин и , причем для всех каждая сходится по распределению , то их пределы удовлетворяют . ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A\preceq B}$
5. Если , и — случайные величины такие, что и для всех и такие, что , то . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \sum _{c}\Pr(C=c)=1}$ ${\displaystyle \Pr(A>u\mid C=c)\leq \Pr(B>u\mid C=c)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Pr(C=c)>0}$ ${\displaystyle A\preceq B}$

Другие свойства

Если и то (случайные величины имеют одинаковое распределение). ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [A]=\operatorname {E} [B]}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {d}{=}} B}$

Стохастическое доминирование

Стохастические отношения доминирования представляют собой семейство стохастических упорядочений, используемых в теории принятия решений : ^[1]

• Стохастическое доминирование нулевого порядка: тогда и только тогда, когда для всех реализаций этих случайных величин и по крайней мере для одной реализации. ${\displaystyle A\prec _{(0)}B}$ ${\displaystyle A\leq B}$ ${\displaystyle A<B}$
• Стохастическое доминирование первого порядка: тогда и только тогда, когда для всех и существует такое, что . ${\displaystyle A\prec _{(1)}B}$ ${\displaystyle \Pr(A>x)\leq \Pr(B>x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Pr(A>x)<\Pr(B>x)}$
• Стохастическое доминирование второго порядка: тогда и только тогда, когда для всех , со строгим неравенством при некоторых . ${\displaystyle A\prec _{(2)}B}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[\Pr(B>t)-\Pr(A>t)]\,dt\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Существуют также более высокие понятия стохастического доминирования. С определениями выше, мы имеем . ${\displaystyle A\prec _{(i)}B\implies A\prec _{(i+1)}B}$

Многомерный стохастический порядок

Случайная величина со значением меньше случайной величины со значением в «обычном стохастическом порядке», если ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {E} [f(A)]\leq \operatorname {E} [f(B)]{\text{ for all bounded, increasing functions }}f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} }$

Существуют и другие типы многомерных стохастических порядков. Например, верхний и нижний ортантный порядок, которые похожи на обычный одномерный стохастический порядок. считается меньшим, чем в верхнем ортантном порядке, если ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Pr(A>\mathbf {x} )\leq \Pr(B>\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$

и меньше, чем в нижнем ортантном порядке, если ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Pr(A\leq \mathbf {x} )\leq \Pr(B\leq \mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$

Все три типа порядка также имеют интегральные представления, то есть для конкретного порядка меньше, чем тогда и только тогда, когда для всех в классе функций . ^[3] тогда называется генератором соответствующего порядка. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [f(A)]\leq \operatorname {E} [f(B)]}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Другие приказы о доминировании

Следующие стохастические порядки полезны в теории случайного общественного выбора . Они используются для сравнения результатов функций случайного общественного выбора, чтобы проверить их на эффективность или другие желаемые критерии. ^[4] Порядки доминирования ниже упорядочены от наиболее консервативного к наименее консервативному. Они проиллюстрированы на случайных величинах с конечной поддержкой {30,20,10}.

Детерминированное доминирование , обозначаемое , означает, что каждый возможный результат по крайней мере так же хорош, как каждый возможный результат : для всех x  <  y , . Другими словами: . Например, . ${\displaystyle A\succeq _{\mathrm {dd} }B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Pr[A=x]\cdot \Pr[B=y]=0}$ ${\displaystyle \Pr[A\geq B]=1}$ ${\displaystyle 0.6\times 30+0.4\times 20\succeq _{\mathrm {dd} }0.5\times 20+0.5\times 10}$

Билинейная доминантность , обозначаемая , означает, что для каждого возможного результата вероятность получения лучшего и худшего результата по крайней мере так же велика, как и вероятность обратного результата: для всех x<y, например, . ${\displaystyle A\succeq _{\mathrm {bd} }B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Pr[A=x]\cdot \Pr[B=y]\leq \Pr[A=y]\cdot \Pr[B=x]}$ ${\displaystyle 0.5\times 30+0.5\times 20\succeq _{\mathrm {bd} }0.33\times 30+0.33\times 20+0.34\times 10}$

Стохастическое доминирование (уже упомянутое выше), обозначаемое , означает, что для каждого возможного результата x вероятность того, что получится по крайней мере x, по крайней мере так же велика, как вероятность того, что получится по крайней мере x : для всех x, . Например, . ${\displaystyle A\succeq _{\mathrm {sd} }B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Pr[A\geq x]\geq \Pr[B\geq x]}$ ${\displaystyle 0.5\times 30+0.5\times 10\succeq _{\mathrm {sd} }0.5\times 20+0.5\times 10}$

Доминирование парного сравнения , обозначаемое , означает, что вероятность того, что это даст лучший результат, чем больше, чем наоборот: . Например, . ${\displaystyle A\succeq _{\mathrm {pc} }B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Pr[A\geq B]\geq \Pr[B\geq A]}$ ${\displaystyle 0.67\times 30+0.33\times 10\succeq _{\mathrm {pc} }1.0\times 20}$

Нисходящее лексикографическое доминирование, обозначаемое , означает, что имеет большую вероятность, чем возвратить наилучший результат, или оба и имеет ту же вероятность возвратить наилучший результат, но имеет большую вероятность, чем возвратить второй лучший результат и т. д. Восходящее лексикографическое доминирование определяется аналогично на основе вероятности возвратить наихудшие результаты. См. лексикографическое доминирование . ${\displaystyle A\succeq _{\mathrm {dl} }B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Другие стохастические ордера

Порядок оценки опасности

Коэффициент риска неотрицательной случайной величины с абсолютно непрерывной функцией распределения и функцией плотности определяется как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle r(t)={\frac {d}{dt}}(-\log(1-F(t)))={\frac {f(t)}{1-F(t)}}.}$

При наличии двух неотрицательных переменных и с абсолютно непрерывным распределением и , а также с функциями интенсивности риска и , соответственно, говорят, что она меньше, чем в порядке интенсивности риска (обозначается как ), если ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\preceq _{\mathrm {hr} }Y}$

${\displaystyle r(t)\geq q(t)}$для всех , ${\displaystyle t\geq 0}$

или эквивалентно, если

${\displaystyle {\frac {1-F(t)}{1-G(t)}}}$уменьшается в . ${\displaystyle t}$

Порядок отношения правдоподобия

Пусть и две непрерывные (или дискретные) случайные величины с плотностями (или дискретными плотностями) и , соответственно, так что увеличивается по объединению носителей и ; в этом случае меньше, чем в порядке отношения правдоподобия ( ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle {\frac {g(t)}{f(t)}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\preceq _{\mathrm {lr} }Y}$

Изменчивость порядков

Если две переменные имеют одинаковое среднее значение, их все равно можно сравнивать по тому, насколько «разбросаны» их распределения. Это в ограниченной степени отражается дисперсией , но более полно — рядом стохастических порядков. ^{[ необходима цитата ]}

Выпуклый порядок

Выпуклый порядок — это особый вид порядка изменчивости. При выпуклом порядке меньше, чем тогда и только тогда, когда для всех выпуклых , . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [u(A)]\leq \operatorname {E} [u(B)]}$

Порядок преобразования Лапласа

Порядок преобразования Лапласа сравнивает как размер, так и изменчивость двух случайных величин. Подобно выпуклому порядку, порядок преобразования Лапласа устанавливается путем сравнения математического ожидания функции случайной величины, где функция принадлежит специальному классу: . Это делает порядок преобразования Лапласа интегральным стохастическим порядком с набором генераторов, заданным набором функций, определенным выше, с положительным действительным числом. ${\displaystyle u(x)=-\exp(-\alpha x)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Реализуемая монотонность

Рассматривая семейство распределений вероятностей на частично упорядоченном пространстве, индексированное с помощью (где — другое частично упорядоченное пространство), можно определить понятие полной или реализуемой монотонности. Это означает, что существует семейство случайных величин на том же вероятностном пространстве, такое, что распределение равно и почти наверняка всякий раз, когда . Это означает существование монотонной связи . См. ^[5] ${\displaystyle ({P}_{\alpha })_{\alpha \in F}}$ ${\displaystyle (E,\preceq )}$ ${\displaystyle \alpha \in F}$ ${\displaystyle (F,\preceq )}$ ${\displaystyle (X_{\alpha })_{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle {P}_{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\preceq X_{\beta }}$ ${\displaystyle \alpha \preceq \beta }$

Смотрите также

• Стохастическое доминирование
• Стохастический

Ссылки

1. Перракис, Стилианос (2019). Стохастическое доминирование опционного ценообразования . Palgrave Macmillan, Cham. doi :10.1007/978-3-030-11590-6_1. ISBN 978-3-030-11589-0.
2. Определение 2.3 в Тибо Люкс, Антонин Папапантолеон: «Улучшенные границы Фреше-Хёффдинга для d-копул и приложения в финансах без моделей». Annals of Applied Probability 27, 3633-3671, 2017
3. Альфред Мюллер, Дитрих Стоян: Методы сравнения стохастических моделей и рисков. Wiley, Chichester 2002, ISBN 0-471-49446-1 , S. 2. 
4. Феликс Брандт (2017-10-26). «Бросание кубика: последние результаты в вероятностном социальном выборе». В Эндрисс, Улле (ред.). Тенденции в вычислительном социальном выборе . Lulu.com. ISBN 978-1-326-91209-3.
5. Стохастическая монотонность и реализуемая монотонность Джеймс Аллен Филл и Мотоя Мачида, Анналы вероятности, т. 29, № 2 (апрель 2001 г.), стр. 938–978, Опубликовано: Институт математической статистики, Стабильный URL: https://www.jstor.org/stable/2691998

Библиография

• М. Шакед и Дж. Г. Шантикумар, Стохастические порядки и их применение , Associated Press, 1994.
• EL Lehmann. Упорядоченные семейства распределений. Анналы математической статистики , 26:399–419, 1955.