Тензор напряжений Максвелла

Математическое описание электромагнетизма

Тензор напряжений Максвелла (названный в честь Джеймса Клерка Максвелла ) — симметричный тензор второго порядка , используемый в классическом электромагнетизме для представления взаимодействия между электромагнитными силами и механическим импульсом . В простых ситуациях, таких как точечный заряд, свободно движущийся в однородном магнитном поле, легко вычислить силы, действующие на заряд, по закону сил Лоренца . Когда ситуация усложняется, эта обычная процедура может стать непрактично сложной, поскольку уравнения охватывают несколько строк. Поэтому удобно собрать многие из этих членов в тензоре напряжений Максвелла и использовать тензорную арифметику для поиска ответа на поставленную задачу.

В релятивистской формулировке электромагнетизма тензор Максвелла появляется как часть электромагнитного тензора энергии-импульса , который является электромагнитной составляющей полного тензора энергии-напряжения . Последний описывает плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени .

Мотивация

Как указано ниже, электромагнитная сила выражается через и . Используя векторное исчисление и уравнения Максвелла , симметрию ищут в терминах, содержащих и , а введение тензора напряжений Максвелла упрощает результат. ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

1. Начнем с закона сил Лоренца.
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\\[3pt]&=\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau \end{aligned}}}$$
   сила на единицу объема равна
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$$
2. Далее, и можно заменить полями и , используя закон Гаусса и закон цепи Ампера : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} }$$
3. Производную по времени можно переписать во что-то, что можно интерпретировать физически, а именно в вектор Пойнтинга . Использование правила произведения и закона индукции Фарадея дает
   $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )}$$
   и теперь мы можем переписать как ${\displaystyle \mathbf {f} }$
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),}$$
   затем собирает термины и дает ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
4. Член, по-видимому, «отсутствует» в симметрии в и , чего можно добиться вставкой из-за закона Гаусса для магнетизма : ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} }$
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
   Устранение завитков (которые довольно сложно вычислить), используя тождество векторного исчисления
   $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}$$
   приводит к:
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
5. Это выражение содержит все аспекты электромагнетизма и импульса, и его относительно легко вычислить. Его можно записать более компактно , введя тензор напряжений Максвелла
   $${\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).}$$
   Все, кроме последнего члена, можно записать как тензорную дивергенцию тензора напряжений Максвелла, что дает: ${\displaystyle \mathbf {f} }$
   $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,,}$$
   Как и в теореме Пойнтинга , второй член в правой части приведенного выше уравнения можно интерпретировать как производную по времени плотности импульса ЭМ поля, а первый член — это производную по времени плотности импульса массивных частиц. Таким образом, приведенное выше уравнение будет законом сохранения импульса в классической электродинамике. где введен вектор Пойнтинга
   $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$$

в приведенном выше соотношении сохранения импульса представляет собой плотность потока импульса и играет роль, аналогичную роли в теореме Пойнтинга . ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

Приведенный выше вывод предполагает полное знание обоих и (как свободных, так и ограниченных зарядов и токов). Для случая нелинейных материалов (таких как магнитное железо с кривой BH) необходимо использовать нелинейный тензор напряжений Максвелла. ^[1] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Уравнение

В физике тензор напряжений Максвелла — это тензор напряжений электромагнитного поля . Как указано выше в единицах СИ , это определяется как:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$,

где – электрическая постоянная , – магнитная постоянная , – электрическое поле , – магнитное поле , – дельта Кронекера . В единицах измерения Гаусса CGS это определяется как: ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}$,

где намагничивающее поле . ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Альтернативный способ выражения этого тензора:

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}$

где – двоичное произведение , а последний тензор – единичная диада: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)}$

Элемент тензора напряжений Максвелла имеет единицы импульса на единицу площади в единицу времени и дает поток импульса, параллельный th оси, пересекающий поверхность, нормальную к th оси (в отрицательном направлении) в единицу времени. ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Эти единицы также можно рассматривать как единицы силы на единицу площади (отрицательное давление), а элемент тензора также можно интерпретировать как силу, параллельную th оси, действующую на поверхность, нормальную к th оси, на единицу площади. . Действительно, диагональные элементы создают напряжение (вытягивание), действующее на дифференциальный элемент площади, нормальный к соответствующей оси. В отличие от сил, возникающих из-за давления идеального газа, площадной элемент в электромагнитном поле также ощущает силу в направлении, отличном от нормального к этому элементу. Этот сдвиг задается недиагональными элементами тензора напряжений. ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

В магнитостатике

Если поле только магнитное (что в основном верно, например, для двигателей), некоторые члены выпадают, и уравнение в единицах СИ принимает вид:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$

Для цилиндрических объектов, таких как ротор двигателя, это упрощается до:

${\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.}$

где – сдвиг в радиальном (наружном от цилиндра) направлении, – сдвиг в тангенциальном (вокруг цилиндра) направлении. Это тангенциальная сила, которая вращает двигатель. – плотность потока в радиальном направлении, – плотность потока в тангенциальном направлении. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle B_{t}}$

В электростатике

В электростатике эффекты магнетизма отсутствуют. В этом случае магнитное поле исчезает, т. е . и мы получаем электростатический тензор напряжений Максвелла . Он задается в компонентной форме выражением ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}$

и в символической форме

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }$

где обычно находится соответствующий тождественный тензор . ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\big (}}$ ${\displaystyle 3\times 3{\big )}}$

собственное значение

Собственные значения тензора напряжений Максвелла определяются выражением:

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$

Эти собственные значения получаются путем итеративного применения леммы об определителе матрицы в сочетании с формулой Шермана-Моррисона .

Учитывая, что матрица характеристического уравнения , может быть записана как ${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } }$

${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

где

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$

мы устанавливаем

${\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}$

Применяя лемму об определителе матрицы один раз, мы получаем

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}$

Повторное применение дает:

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}$

Из последнего множимого в правой части мы сразу видим, что это одно из собственных значений. ${\displaystyle \lambda =-V}$

Чтобы найти обратную величину , воспользуемся формулой Шермана-Моррисона: ${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}$

Исключая член определителя, нам остается найти нули рациональной функции: ${\displaystyle \left(-\lambda -V\right)}$

${\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}$

Таким образом, как только мы решим

${\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}$

мы получаем два других собственных значения.

Смотрите также

• исчисление Риччи
• Плотность энергии электрических и магнитных полей
• Вектор Пойнтинга
• Тензор электромагнитного напряжения-энергии
• Магнитное давление
• Магнитная сила натяжения

Рекомендации

1. Брауэр, Джон Р. (13 января 2014 г.). Магнитные актуаторы и датчики. Джон Уайли и сыновья. ISBN 9781118754979.

• Дэвид Дж. Гриффитс , «Введение в электродинамику», стр. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008 г.
• Джон Дэвид Джексон, «Классическая электродинамика, 3-е изд.», John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Ричард Беккер, «Электромагнитные поля и взаимодействия», Dover Publications Inc., 1964.