Субриманово многообразие

Тип обобщения риманова многообразия

В математике субриманово многообразие — это определенный тип обобщения риманова многообразия . Грубо говоря, для измерения расстояний в субримановом многообразии разрешается идти только по кривым, касательным к так называемым горизонтальным подпространствам .

Субримановы многообразия (и, следовательно, a fortiori , римановы многообразия) несут естественную внутреннюю метрику, называемую метрикой Карно–Каратеодори . Хаусдорфова размерность таких метрических пространств всегда является целым числом и больше их топологической размерности (если только это не риманово многообразие).

Субримановы многообразия часто встречаются при изучении ограниченных систем в классической механике , таких как движение транспортных средств по поверхности, движение рук роботов и орбитальная динамика спутников. Геометрические величины, такие как фаза Берри, могут быть поняты на языке субримановой геометрии. Группа Гейзенберга , важная для квантовой механики , несет естественную субриманову структуру.

Определения

Под распределением на мы подразумеваем подрасслоение касательного расслоения (см . также распределение ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

При заданном распределении векторное поле в называется горизонтальным . Кривая на называется горизонтальной, если для любого . ${\displaystyle H(M)\subset T(M)}$ ${\displaystyle H(M)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)\in H_{\gamma (t)}(M)}$ ${\displaystyle t}$

Распределение на называется полностью неинтегрируемым или скобкообразующим , если для любого имеем, что любой касательный вектор можно представить в виде линейной комбинации скобок Ли горизонтальных полей, т.е. векторов вида , где все векторные поля горизонтальны. Это требование также известно как условие Хермандера . ${\displaystyle H(M)}$ ${\displaystyle x\in M}$ $${\displaystyle A(x),\ [A,B](x),\ [A,[B,C]](x),\ [A,[B,[C,D]]](x),\dotsc \in T_{x}(M)}$$ ${\displaystyle A,B,C,D,\dots }$

Субриманово многообразие — это тройка , где — дифференцируемое многообразие , — полностью неинтегрируемое «горизонтальное» распределение и — гладкое сечение положительно определенных квадратичных форм на . ${\displaystyle (M,H,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$

Любое (связное) субриманово многообразие несет естественную внутреннюю метрику , называемую метрикой Карно–Каратеодори, определяемую как

${\displaystyle d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,}$

где инфимум берется вдоль всех горизонтальных кривых, таких что , . Горизонтальные кривые могут быть взяты либо непрерывными по Липшицу , Абсолютно непрерывными или в пространстве Соболева, создавая одну и ту же метрику во всех случаях. ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle H^{1}([0,1],M)}$

Тот факт, что расстояние между двумя точками всегда конечно (т. е. любые две точки соединены горизонтальной кривой), является следствием условия Хермандера, известного как теорема Чжоу–Рашевского .

Примеры

Положение автомобиля на плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами и для местоположения и углом , который описывает ориентацию автомобиля. Таким образом, положение автомобиля можно описать точкой в ​​многообразии ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Можно спросить, какое минимальное расстояние нужно проехать, чтобы добраться из одной точки в другую? Это определяет метрику Карно–Каратеодори на многообразии

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Близкий пример субримановой метрики можно построить на группе Гейзенберга : возьмем два элемента и в соответствующей алгебре Ли такие, что ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \{\alpha ,\beta ,[\alpha ,\beta ]\}}$

охватывает всю алгебру. Распределение, охватываемое левыми сдвигами и полностью неинтегрируемо . Тогда выбор любой гладкой положительной квадратичной формы на дает субриманову метрику на группе. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle H}$

Характеристики

Для каждого суб-риманова многообразия существует гамильтониан , называемый суб-римановым гамильтонианом , построенный из метрики для многообразия. Обратно, каждый такой квадратичный гамильтониан индуцирует суб-риманово многообразие.

Решения соответствующих уравнений Гамильтона–Якоби для субриманова гамильтониана называются геодезическими и обобщают римановы геодезические .

Смотрите также

• Группа Карно — класс групп Ли , образующих субримановы многообразия.
• Распределение
• Состояние Хермандера
• Оптимальное управление

Ссылки

• Аграчев, Андрей; Барилари, Давиде; Боскайн, Уго, ред. (2019), Комплексное введение в субриманову геометрию , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, doi : 10.1017/9781108677325, ISBN 9781108677325
• Беллаиш, Андре; Рислер, Жан-Жак, ред. (1996), Субриманова геометрия, Progress in Mathematics, vol. 144, Биркхойзер Верлаг, ISBN 978-3-7643-5476-3, г-н  1421821
• Громов, Михаил (1996), «Пространства Карно-Каратеодори, увиденные изнутри», в Беллайш, Андре; Рислер, Жан-Жак (ред.), Субриманова геометрия (PDF) , Progr. Math., т. 144, Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3, MR  1421823, архивировано из оригинала (PDF) 9 июля 2015 г.
• Ле Донн, Энрико, Конспект лекций по субримановой геометрии (PDF)
• Монтгомери, Ричард (2002), Экскурсия по субримановым геометриям, их геодезическим и приложениям , Математические обзоры и монографии, т. 91, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1391-9