Покрытие (топология)

Подмножества, объединение которых равно всему множеству

В математике , и в частности в теории множеств , покрытие (или покрытие ) множества — это семейство подмножеств , объединение которых есть все из . Более формально, если — индексированное семейство подмножеств ( индексированное множеством ), то является покрытием , если . Таким образом, совокупность является покрытием , если каждый элемент из принадлежит хотя бы одному из подмножеств . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ ${\displaystyle U_{\alpha }\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\supseteq X}$ ${\displaystyle \lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

Подпокрытие покрытия множества — это подмножество покрытия, которое также покрывает множество. Покрытие называется открытым покрытием, если каждый его элемент является открытым множеством .

Покрытие в топологии

Покрытия обычно используются в контексте топологии . Если множество является топологическим пространством , то покрытие представляет собой набор подмножеств , объединение которых является всем пространством . В этом случае мы говорим, что покрывает или что множества покрывают . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$

Кроме того, если — (топологическое) подпространство , то покрытие — это совокупность подмножеств , объединение которых содержит , т.е. является покрытием , если ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

То есть мы можем покрывать либо множествами в себе, либо множествами в родительском пространстве . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Пусть C — покрытие топологического пространства X. Подпокрытие C — это подмножество C , которое по - прежнему покрывает X.

Мы говорим, что C — этооткрытое покрытие, если каждый из его элементов являетсяоткрытым множеством(т.е. каждоеU _α содержится вT, гдеT— топология наX).

Говорят, что покрытие X локально конечно, если каждая точка X имеет окрестность , пересекающую только конечное число множеств в покрытии. Формально, C = { U _α } локально конечно, если для любого существует некоторая окрестность N ( x ) множества x такая, что множество ${\displaystyle x\in X,}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$

конечно. Покрытие X называется точечно конечным , если каждая точка X содержится только в конечном числе множеств покрытия. Покрытие является точечно конечным, если оно локально конечно, хотя обратное не обязательно верно.

Уточнение

Уточнение покрытия топологического пространства — это новое покрытие такого , что каждое множество из содержится в некотором множестве из . Формально, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$является уточнением, если для всех существует такое, что ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \beta \in B}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

Другими словами, существует отображение уточнения, удовлетворяющее для каждого Это отображение используется, например, в когомологиях Чеха . ^[1] ${\displaystyle \phi :B\to A}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$ ${\displaystyle \beta \in B.}$ ${\displaystyle X}$

Каждое подпокрытие также является уточнением, но обратное не всегда верно. Подпокрытие создается из множеств, которые находятся в обложке, но исключая некоторые из них; тогда как уточнение создается из любых множеств, которые являются подмножествами множеств в обложке.

Отношение уточнения на множестве покрытий является транзитивным и рефлексивным , т.е. предпорядком . Оно никогда не бывает асимметричным для . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\neq \emptyset }$

Вообще говоря, уточнение данной структуры — это другое, которое в некотором смысле содержит ее. Примеры можно найти при разбиении интервала ( одно уточнение ), рассматривая топологии ( стандартная топология в евклидовом пространстве является уточнением тривиальной топологии ). При подразделении симплициальных комплексов (первое барицентрическое подразделение симплициального комплекса является уточнением), ситуация немного иная: каждый симплекс в более тонком комплексе является гранью некоторого симплекса в более грубом, и оба имеют равные базовые многогранники. ${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$

Еще одно понятие утонченности – это звездная утонченность .

Подкавер

Простой способ получить подпокрытие — исключить множества, содержащиеся в другом множестве в покрытии. Рассмотрим конкретно открытые покрытия. Пусть будет топологическим базисом и будет открытым покрытием Сначала возьмем Тогда — уточнение . Далее, для каждого мы выбираем содержащее (требуя аксиомы выбора). Тогда — подпокрытие Следовательно, мощность подпокрытия открытого покрытия может быть такой же малой, как и мощность любого топологического базиса. Следовательно, в частности, вторая счетность подразумевает, что пространство является Линделёфовым . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$

Компактность

Язык покрытий часто используется для определения нескольких топологических свойств, связанных с компактностью . Топологическое пространство X называется

Компактный

если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие (или, что эквивалентно, каждое открытое покрытие имеет конечное измельчение);

Линделёф

если каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие (или, что эквивалентно, каждое открытое покрытие имеет счетное измельчение);

Метакомпактный

если каждое открытое покрытие имеет конечно-точечное открытое измельчение;

Паракомпактный

если каждое открытое покрытие допускает локально конечное открытое измельчение.

Дополнительные варианты смотрите в статьях выше.

Размер покрытия

Говорят, что топологическое пространство X имеет размерность покрытия n , если каждое открытое покрытие X имеет конечноточечное открытое измельчение, такое что ни одна точка X не включена более чем в n+ 1 множеств в измельчении, и если n является минимальным значением, для которого это верно. ^[2] Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет размерность бесконечного покрытия.

Смотрите также

• Атлас (топология)  – набор диаграмм, описывающих многообразие.
• Борнология  – Математическое обобщение ограниченности
• Покрывающее пространство  – Тип непрерывного отображения в топологии
• Топология Гротендика  – структура категории C, которая заставляет объекты C действовать как открытые множества топологического пространства.
• Разбиение множества  – Математические способы группировки элементов множества
• Задача о покрытии множества  – Классическая задача комбинаторики
• Звездная детализация  – математическая детализацияPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Подстилающий слой  – Геометрический объект

Примечания

1. Ботт, Ту (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . стр. 111.
2. Манкрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

Ссылки

1. Введение в топологию , второе издание, Теодор В. Гамелин и Роберт Эверист Грин. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6 
2. Общая топология , Джон Л. Келли . D. Van Nostrand Company, Inc. Принстон, Нью-Джерси. 1955.

Внешние ссылки

• «Покрытие (множества)», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]