В математике , особенно в областях абстрактной алгебры, известных как универсальная алгебра , теория групп , теория колец и теория модулей , подпрямое произведение — это подалгебра прямого произведения , которая полностью зависит от всех своих факторов, однако не обязательно является всем прямым произведением. Понятие было введено Биркгофом в 1944 году и оказалось мощным обобщением понятия прямого произведения. [ требуется цитата ]
Определение
Подпрямое произведение — это подалгебра (в смысле универсальной алгебры ) A прямого произведения Π i A i такая, что каждая индуцированная проекция (композиция p j s : A → A j проекции p j : Π i A i → A j с включением подалгебры s : A → Π i A i ) является сюръективной .
Прямое ( подпрямое ) представление алгебры A — это прямое (подпрямое) произведение , изоморфное A.
Алгебра называется подпрямо неприводимой, если она не подпрямо представима «более простыми» алгебрами. Подпрямо неприводимые относятся к подпрямому произведению алгебр примерно так же, как простые числа относятся к умножению целых чисел.
Примеры
- Любая дистрибутивная решетка L подпрямо представима как подалгебра прямой степени двухэлементной дистрибутивной решетки. Это можно рассматривать как алгебраическую формулировку представимости L как множества множеств, замкнутых относительно бинарных операций объединения и пересечения, через интерпретацию самой прямой степени как множества степеней. В конечном случае такое представление является прямым (т. е. всей прямой степенью) тогда и только тогда, когда L является дополненной решеткой , т. е. булевой алгеброй.
- То же самое справедливо для любой полурешетки , когда "полурешетка" заменяется на "дистрибутивную решетку" и "подполурешетка" на "подрешетку" во всем предыдущем примере. То есть, каждая полурешетка может быть представлена как подпрямая степень двухэлементной полурешетки.
- Цепочка натуральных чисел вместе с бесконечностью, как алгебра Гейтинга , подпрямо представима как подалгебра прямого произведения конечных линейно упорядоченных алгебр Гейтинга. Ситуация с другими алгебрами Гейтинга более подробно рассматривается в статье о подпрямых неприводимых .
- Группа целых чисел при сложении подпрямо представима любым (обязательно бесконечным) семейством произвольно больших конечных циклических групп . В этом представлении 0 — последовательность единичных элементов представляющих групп, 1 — последовательность генераторов, выбранных из соответствующей группы, а сложение и отрицание целых чисел — соответствующие групповые операции в каждой группе, применяемые покоординатно. Представление является точным (никакие два целых числа не представлены одной и той же последовательностью) из-за требования к размеру, а проекции — на , поскольку каждая координата в конечном итоге исчерпывает свою группу.
- Каждое векторное пространство над заданным полем подпрямо представимо одномерным пространством над этим полем, причем конечномерные пространства непосредственно представимы таким образом. (Для векторных пространств, как и для абелевых групп , прямое произведение с конечным числом множителей является синонимом прямой суммы с конечным числом множителей, откуда подпрямое произведение и подпрямая сумма также являются синонимами для конечного числа множителей.)
- Подпрямые произведения используются для представления многих малых совершенных групп в (Holt & Plesken 1989).
Смотрите также
Ссылки
- Биркгоф, Гарретт (1944), «Подпрямые объединения в универсальной алгебре», Бюллетень Американского математического общества , 50 (10): 764–768, doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08235-9 , ISSN 0002-9904, MR 0010542
- Холт, Дерек Ф.; Плескен, В. (1989), Совершенные группы , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853559-1, МР 1025760
