Обозначение для дифференциации

Обозначения дифференциального исчисления

В дифференциальном исчислении нет единой единой записи для дифференциации . Вместо этого различные математики предлагали различные записи для производной функции или переменной . Полезность каждой записи зависит от контекста, и иногда выгодно использовать более одной записи в данном контексте. Наиболее распространенные записи для дифференциации (и ее противоположной операции, антидифференциации или неопределенной интеграции ) перечислены ниже.

Обозначение Лейбница

dy

дх

д ² г

дх ²

Первая и вторая производные y по x в обозначениях Лейбница.

Оригинальная нотация, используемая Готфридом Лейбницем, используется во всей математике. Она особенно распространена, когда уравнение y = f ( x ) рассматривается как функциональная связь между зависимыми и независимыми переменными y и x . Нотация Лейбница делает эту связь явной, записывая производную как

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$

Более того, производная f в точке x записывается следующим образом:

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).}$

Высшие производные записываются как

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Это наводящий на размышления прием обозначения, который возникает в результате формальных манипуляций символами, например:

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Значение производной y в точке x = a можно выразить двумя способами, используя обозначения Лейбница:

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ or }}{\frac {dy}{dx}}(a)}$.

Обозначение Лейбница позволяет указать переменную для дифференцирования (в знаменателе). Это особенно полезно при рассмотрении частных производных . Это также делает цепочку правил легкой для запоминания и узнавания:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Обозначение Лейбница для дифференциации не требует присвоения значения таким символам, как dx или dy (известным как дифференциалы ) самим по себе, и некоторые авторы не пытаются присвоить этим символам значение. Лейбниц рассматривал эти символы как бесконечно малые . Более поздние авторы присвоили им другие значения, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные . Обычно dx остается неопределенным или приравнивается к , в то время как dy присваивается значение в терминах dx с помощью уравнения ${\displaystyle \Delta x}$

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,}$

что также может быть написано, например

${\displaystyle df=f'(x)\cdot dx}$

(см. ниже) . Такие уравнения порождают терминологию, встречающуюся в некоторых текстах, где производная называется «дифференциальным коэффициентом» (т. е. коэффициентом dx ) .

Некоторые авторы и журналы устанавливают дифференциальный символ d прямым шрифтом вместо курсива : d x . Руководство по научному стилю ISO/IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Обозначение Лагранжа

ф ′ ( х )

Функция f от x , дифференцированная один раз в обозначениях Лагранжа.

Одно из самых распространенных современных обозначений дифференциации названо в честь Жозефа Луи Лагранжа , хотя на самом деле оно было изобретено Эйлером и только популяризировано им. В обозначении Лагранжа штрих обозначает производную. Если f — функция, то ее производная, вычисленная в точке x, записывается

${\displaystyle f'(x)}$.

Впервые он появился в печати в 1749 году. ^[1]

Более высокие производные обозначаются с помощью дополнительных штриховых знаков, как в для второй производной и для третьей производной . Использование повторяющихся штриховых знаков в конечном итоге становится громоздким. Некоторые авторы продолжают использовать римские цифры , обычно в нижнем регистре, ^{[2] [3]} как в ${\displaystyle f''(x)}$ ${\displaystyle f'''(x)}$

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,}$

для обозначения производных четвертого, пятого, шестого и более высокого порядка. Другие авторы используют арабские цифры в скобках, как в

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

Эта запись также позволяет описать n -ю производную, где n — переменная. Это записывается

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

Символы Unicode, связанные с нотацией Лагранжа, включают:

• U+2032 ◌′ ПРАЙМ (производная)
• U+2033 ◌″ ДВОЙНОЙ ПРАЙМ (двойная производная)
• U+2034 ◌‴ ТРОЙНОЙ ПРОСТОЙ (третья производная)
• U+2057 ◌⁗ ЧЕТВЕРНЫЙ ПРОСТОЙ (четвертая производная)

Когда для функции f ( x ,  y ) имеются две независимые переменные, можно следовать следующему соглашению: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}$

Обозначение Лагранжа для антидифференциации

ф ⁽⁻¹⁾ ( х )
ф ⁽⁻²⁾ ( х )

Одинарные и двойные неопределенные интегралы f по x в обозначениях Лагранжа.

При взятии первообразной Лагранж следовал обозначениям Лейбница: ^[5]

${\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y'\,dx.}$

Однако, поскольку интегрирование является обратной операцией дифференцирования, обозначение Лагранжа для производных более высокого порядка распространяется и на интегралы. Повторные интегралы f можно записать как

${\displaystyle f^{(-1)}(x)}$для первого интеграла (его легко спутать с обратной функцией ), ${\displaystyle f^{-1}(x)}$

${\displaystyle f^{(-2)}(x)}$для второго интеграла,

${\displaystyle f^{(-3)}(x)}$для третьего интеграла и

${\displaystyle f^{(-n)}(x)}$для n- го интеграла.

D-обозначение

Д _х у
Д ² ф

Производная x от y и вторая производная f , обозначения Эйлера.

Эту нотацию иногда называютОбозначение Эйлера, хотя оно было введеноЛуи Франсуа Антуаном Арбогастом, кажется,Леонард Эйлерим не пользовался.^{[ необходима цитата ]}

Эта нотация использует дифференциальный оператор , обозначаемый как D ( оператор D ) ^{[6] [ неудачная проверка ]} или D̃ ( оператор Ньютона–Лейбница ). ^[7] При применении к функции f ( x ) он определяется как

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

Высшие производные обозначаются как «степени» D (где верхние индексы обозначают итеративную композицию D ) , как в ^[4]

${\displaystyle D^{2}f}$для второй производной,

${\displaystyle D^{3}f}$для третьей производной и

${\displaystyle D^{n}f}$для n -й производной.

D-нотация оставляет неявной переменную, относительно которой выполняется дифференцирование. Однако эту переменную можно сделать явной, указав ее имя в качестве индекса: если f является функцией переменной x , это делается записью ^[4]

${\displaystyle D_{x}f}$для первой производной,

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$для второй производной,

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$для третьей производной и

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$для n -й производной.

Когда f является функцией нескольких переменных, обычно используют " ∂ ", стилизованную строчную курсивную d, а не " D ". Как и выше, нижние индексы обозначают производные, которые берутся. Например, вторые частные производные функции f ( x , y ) имеют вид: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}$

См. § Частные производные.

D-обозначение полезно при изучении дифференциальных уравнений и дифференциальной алгебры .

D-обозначение для первообразных

Д⁻¹
_ху
Д ⁻² ф

Первообразная x от y и вторая первообразная f , обозначения Эйлера.

D-обозначение можно использовать для первообразных таким же образом, как обозначение Лагранжа ^[8] следующим образом ^[7]

${\displaystyle D^{-1}f(x)}$для первой первообразной,

${\displaystyle D^{-2}f(x)}$для второй первообразной, и

${\displaystyle D^{-n}f(x)}$для n -й первообразной.

Обозначения Ньютона

ẋẍ

Первая и вторая производные x , обозначение Ньютона.

Нотация Исаака Ньютона для дифференциации (также называемая точечной нотацией , флюксиями или иногда, грубо говоря, нотацией мухи ^[9] для дифференциации) ставит точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией t , то производная y по t равна

${\displaystyle {\dot {y}}}$

Высшие производные представлены с использованием нескольких точек, как в

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

Ньютон развил эту идею довольно далеко: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

Символы Unicode, связанные с нотацией Ньютона, включают в себя:

• U+0307 ◌̇ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТОЧЕК НАД (производная)
• U+0308 ◌̈ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДИАЭРЕЗИСА (двойная производная)
• U+20DB ◌⃛ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕК НАД (третья производная) ← заменено на «объединение диэрезис» + «объединение точки над».
• U+20DC ◌⃜ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК СВЕРХУ (четвертая производная) ← заменено на «объединение диэрезисов» дважды.
• U+030D ◌̍ ОБЪЕДИНЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (интеграл)
• U+030E ◌̎ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВОЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (второй интеграл)
• U+25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК (целый)
• U+20DE ◌⃞ ОБЪЕДИНЯЮЩИЙ КВАДРАТ (целый)
• U+1DE0 ◌ᷠ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЛАТИНСКОЙ СТРОЧНОЙ БУКВЫ N ( n -я производная)

Обозначение Ньютона обычно используется, когда независимая переменная обозначает время . Если местоположение y является функцией t , то обозначает скорость ^[11] и обозначает ускорение . ^[12] Это обозначение популярно в физике и математической физике . Оно также появляется в областях математики, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения . ${\displaystyle {\dot {y}}}$ ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

При вычислении производной зависимой переменной y = f ( x ) существует альтернативная запись: ^[13]

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.}$

Ньютон разработал следующие частные дифференциальные операторы, используя боковые точки на изогнутой X ( ⵋ ). Определения, данные Уайтсайдом, приведены ниже: ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

Обозначение Ньютона для интегрирования

х̍х̎

Первая и вторая первообразные x в одной из нотаций Ньютона.

Ньютон разработал множество различных обозначений для интегрирования в своей работе «Quadratura curvarum» (1704) и более поздних работах : он писал маленькую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной ( y̍ ), префиксный прямоугольник ( ▭ y ) или заключение члена в прямоугольник ( y ) для обозначения текущего или временного интеграла ( absement ).

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}}$

Для обозначения кратных интегралов Ньютон использовал две маленькие вертикальные черты или штрихи ( y̎ ), или комбинацию предыдущих символов ▭ y̍  y̍ , для обозначения второго интеграла по времени (абсциссы).

${\displaystyle {\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}}$

Интегралы времени более высокого порядка были следующими: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}}$

Эта математическая нотация не получила широкого распространения из-за трудностей с печатью и споров по поводу исчисления Лейбница и Ньютона .

Частные производные

ф _хф _ху

Функция f, дифференцированная по x , затем по x и y .

Когда необходимы более конкретные типы дифференциации, например, в многомерном исчислении или тензорном анализе , обычно используются другие обозначения.

Для функции f одной независимой переменной x мы можем выразить производную, используя нижние индексы независимой переменной:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}$

Этот тип записи особенно полезен для вычисления частных производных функции нескольких переменных.

⁠∂f/∂x⁠

Функция f, дифференцированная по x .

Частные производные обычно отличаются от обычных производных заменой дифференциального оператора d на символ " ∂ ". Например, мы можем указать частную производную f ( x ,  y ,  z ) по x , но не по y или z несколькими способами:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

Важность этого различия заключается в том, что нечастная производная, такая как , в зависимости от контекста, может интерпретироваться как скорость изменения относительно , ​​когда всем переменным разрешено изменяться одновременно, тогда как в случае частной производной, такой как , явно указывается, что изменяться должна только одна переменная. ${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Другие обозначения можно найти в различных разделах математики, физики и техники; см., например, соотношения Максвелла в термодинамике . Символ представляет собой производную температуры T по объему V при сохранении постоянной энтропии (индекс) S , в то время как — производная температуры по объему при сохранении постоянного давления P. Это становится необходимым в ситуациях, когда число переменных превышает число степеней свободы, так что приходится выбирать, какие еще переменные следует оставить фиксированными. ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}$

Частные производные более высокого порядка по одной переменной выражаются как

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}}$

и т. д. Смешанные частные производные можно выразить как

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.}$

В последнем случае переменные записываются в обратном порядке между двумя обозначениями, что объясняется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}}$

Так называемая многоиндексная нотация используется в ситуациях, когда указанная выше нотация становится громоздкой или недостаточно выразительной. При рассмотрении функций на мы определяем многоиндекс как упорядоченный список неотрицательных целых чисел: . Затем мы определяем для нотацию ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}$

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f}$

Таким образом, некоторые результаты (например, правило Лейбница ), которые утомительно записывать другими способами, можно выразить кратко — некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексах . ^[17]

Обозначения в векторном исчислении

Векторные исчисления касаются дифференциации и интегрирования векторных или скалярных полей . Распространены несколько обозначений , специфичных для случая трехмерного евклидова пространства .

Предположим, что ( x , y , z ) — заданная декартова система координат , что A — векторное поле с компонентами , а T — скалярное поле . ${\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$

Дифференциальный оператор, введенный Уильямом Роуэном Гамильтоном , обозначаемый как ∇ и называемый del или nabla, символически определяется в виде вектора,

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,}$

где терминология символически отражает, что оператор ∇ также будет рассматриваться как обычный вектор.

∇ φ

Градиент скалярного поля φ .

• Градиент : Градиентскалярного поля— это вектор, который символически выражается умножением ∇ на скалярное поле, ${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

∇∙ А

Дивергенция векторного поля A.

• Дивергенция : Дивергенциявекторного поля A является скаляром, который символически выражается скалярным произведением ∇ и вектора A , ${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

∇ ² φ

Лапласиан скалярного поля φ .

• Лапласиан : Лапласианскалярного поля— это скаляр, который символически выражается скалярным произведением ∇ ² и скалярного поля φ , ${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

∇× А

Ротор векторного поля A.

• Вращение : Вращение, или, векторного поля A является вектором, который символически выражается векторным произведением ∇ и вектора A , ${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Многие символические операции производных могут быть обобщены простым способом с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения одной переменной имеет прямой аналог в умножении скалярных полей путем применения оператора градиента, как в

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

Многие другие правила исчисления с одной переменной имеют аналоги в векторном исчислении для градиента, дивергенции, ротора и Лапласа.

Дальнейшие обозначения были разработаны для более экзотических типов пространств. Для вычислений в пространстве Минковского оператор Даламбера , также называемый даламбертианом, волновым оператором или оператором ящика, представляется как , или как , когда не противоречит символу для лапласиана. ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Delta }$

Смотрите также

• Аналитическое общество  – британская группа XIX века, которая продвигала использование лейбницевского или аналитического исчисления в противовес ньютоновскому исчислению.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Производная  – Мгновенная скорость изменения (математика)
• Флюксия  – историческая математическая концепция; форма производной
• Матрица Гессе  – (Математическая) матрица вторых производных
• Матрица Якоби  – Матрица всех частных производных первого порядка векторнозначной функции.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Список математических символов по предметам  – Значения символов, используемых в математикеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Оперативное исчисление

Ссылки

1. Гросс, Иоганн; Брейткопф, Бернхард Кристоф; Мартин, Иоганн Кристиан; Гледич, Иоганн Фридрих (сентябрь 1749 г.). «Обозначения для дифференцирования». Нова Акта Эрудиторум : 512.
2. Моррис, Карла С. (2015-07-28). Основы исчисления . Старк, Роберт М., 1930-2017. Хобокен, Нью-Джерси. ISBN 9781119015314. OCLC  893974565.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Осборн, Джордж А. (1908). Дифференциальное и интегральное исчисление. Бостон: DC Heath and co. С. 63-65.
4. Дифференциальное и интегральное исчисление ( Август Де Морган , 1842). С. 267-268
5. Лагранж , Новый метод для решения les équations Literales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
6. "Оператор D - Дифференциальное исчисление - Справочник по математике с рабочими примерами". www.codecogs.com . Архивировано из оригинала 2016-01-19.
7. Weisstein, Eric W. "Differential Operator". Из MathWorld --A Wolfram Web Resource. "Differential Operator". Архивировано из оригинала 21.01.2016 . Получено 07.02.2016 .
8. Weisstein, Eric W. "Повторный интеграл". Из MathWorld --A Wolfram Web Resource. "Повторный интеграл". Архивировано из оригинала 2016-02-01 . Получено 2016-02-07 .
9. Зилл, Деннис Г. (2009). "1.1". Первый курс дифференциальных уравнений (9-е изд.). Белмонт, Калифорния : Brooks/Cole . стр. 3. ISBN 978-0-495-10824-5.
10. Обозначения Ньютона воспроизведены из:
    • Производные с 1-й по 5-ю: Quadratura curvarum ( Ньютон , 1704), стр. 7 (стр. 5r в оригинальной рукописи: "Newton Papers: On the Quadrature of Curves". Архивировано из оригинала 28-02-2016 . Получено 05-02-2016 .).
    • Производные с 1-й по 7-ю, n -ю и ( n +1)-ю: Метод флюксий ( Ньютон , 1736), стр. 313-318 и стр. 265 (стр. 163 в оригинальной рукописи: "Newton Papers: Fluxions". Архивировано из оригинала 2017-04-06 . Получено 2016-02-05 .)
    • Производные с 1-го по 5-й: Трактат о флюксиях (Колин Маклорин, 1742), стр. 613
    • Производные с 1-й по 4-ю и n -ю: статьи «Дифференциал» и «Флюксион», Словарь чистой и смешанной математики (Питер Барлоу, 1814)
    • Производные с 1-й по 4-ю, 10-ю и n -ю степени: статьи 622, 580 и 579 в «Истории математических обозначений» (Ф. Каджори, 1929)
    • Производные с 1-й по 6-ю и n -ю: Математические работы Исаака Ньютона, том 7, 1691-1695 (DT Whiteside, 1976), стр. 88 и 17
    • Производные от 1-й до 3-й и n- й: История анализа (Ханс Нильс Янке, 2000), стр. 84-85
    Точка для n- й производной может быть опущена ( ) ${\displaystyle {\overset {\,n}{y}}}$
11. Weisstein, Eric W. "Overdot". Из MathWorld --A Wolfram Web Resource. "Overdot". Архивировано из оригинала 2015-09-05 . Получено 2016-02-05 .
12. Weisstein, Eric W. "Double Dot". Из MathWorld --A Wolfram Web Resource. "Double Dot". Архивировано из оригинала 2016-03-03 . Получено 2016-02-05 .
13. Статья 580 в книге Флориана Каджори «История математических обозначений» (1929), Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-486-67766-4 
14. «Модели математической мысли в конце семнадцатого века», Архив истории точных наук, т. 1, № 3 (DT Whiteside, 1961), стр. 361-362,378
15. С. Б. Энгельсман дал более строгие определения в книге «Семейства кривых и происхождение частичной дифференциации» (2000), стр. 223-226.
16. Обозначение Ньютона для интегрирования воспроизведено из:
    • Интегралы с 1-го по 3-й: Quadratura curvarum ( Ньютон , 1704), стр. 7 (стр. 5r в оригинальной рукописи: "Newton Papers: On the Quadrature of Curves". Архивировано из оригинала 28-02-2016 . Получено 05-02-2016 .)
    • Интегралы с 1-го по 3-й: Метод флюксий ( Ньютон , 1736), стр. 265-266 (стр. 163 в оригинальной рукописи: "Newton Papers: Fluxions". Архивировано из оригинала 2017-04-06 . Получено 2016-02-05 .)
    • 4-е интегралы: Доктрина флюксий (Джеймс Ходжсон, 1736), стр. 54 и 72
    • Интегралы с 1-го по 2-й: Статьи 622 и 365 в «Истории математических обозначений» (Ф. Каджори, 1929)
    Обозначение n -го интеграла выводится из n- й производной. Его можно использовать в Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Брук Тейлор, 1715)
17. Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4419-7400-6. OCLC  682907530.

Внешние ссылки

• «Earliest Uses of Symbols of Calculus», поддерживается Джеффом Миллером (Архивировано 26 июля 2020 г. на Wayback Machine ).